フーリエ級数展開

ある有限長の関数$f(x)$は下記のように$\cos,\sin$の和でかける。なお、厳密には"="とかけるかどうかは、$f(x)$に細かい条件が課されるのであるが、ここではゆるふわ理解のため"="と記している。

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)

ところで、括弧の$\cos,\sin$の和の部分は、三角関数の和の公式を使えば下記のようにかける。

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2+b_k^2} \sin(\theta_k + kx)

ここで $\theta_k = \tan^{-1}(a_k/b_k)$である.　ここでは$\sin$のみで記載しているが$\cos$のみで記載もできる。
つまり、位相0の$\cos, \sin$の和で表現することもできるが、位相$\theta_k\neq 0$ の$\sin$波の和としても表現することができる。任意の関数は様々な周波数のsin波(大きさと位相)を足し合わせているということである。cosとsinを足しているのはこれをある形式で表現したのみである。

複素フーリエ級数展開

オイラーの方程式から下記の関係がある。

\cos(\theta) = \frac{1}{2} ( e^{i\theta} + e^{-i\theta}) \\
\sin(\theta) = \frac{1}{2j} ( e^{i\theta} - e^{-i\theta})

これをフーリエ級数展開の式に代入してやると、

f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left\{ \frac{a_k - j b_k}{2}e^{j k x} + \frac{a_k + j b_k}{2}e^{- j k x} \right\}

この時点では、複素数を導入はしているものの、$f(x)$は実数関数であり、右辺の各周波数の項目も$j$がかかる項目を抽出すると当然0となっている。

\frac{-b_k \cos(kx)+a_k \sin(kx)}{2} j + \frac{b_k \cos(kx)-a_k \sin(kx)}{2} j = 0

ここで、仮に$k$をマイナス(マイナスの周波数)まで拡張することを考えると、

f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left\{ \frac{a'_k - j b'_k}{2}e^{j k x} \right\}

ただし、

a'_k = a_k, b'_k = b_k ( k \ge 0 )\\
a'_k = a_{-k}, b'_k = -b_{-k} ( k \lt 0 )\\

としている(条件A)。さて、ここで、$(a'_k - j b'_k)/2 = c_k \in \mathbb{Z}$とおくと、

f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k x}

となる。実はk<0の時の条件(A)は結果が実関数となるための条件であり、この条件を緩和する(外す)ことで表現する関数$f(x)$を複素関数まで広げられることを意味している。条件(A)は、$ c_k = c_{-k}^{*} $を意味しており、実数関数の場合には複素フーリエ級数展開は「そのような結果を与える」ことを意味している。