回帰分析手順

#回帰分析手順
以下の仮説が成り立つと仮定して分析を行う

「説明変数$ x $のときの目的変数$ y $」は、
平均が$ Ax+B $で標準偏差が$ \sigma $の正規分布に従う

$ Ax+B $：母回帰

##単回帰式

 y = ax + b　

グラフ化

$ x $と$ y $をグラフ化する

回帰式を求める

$ y = ax + b $の $ a $と$ b $を求める
例）最小二乗法

###最小二乗法
残差平方和$ \sum(y-\hat{y})^2 $が最小になる$ a $と$ b $を求める
$ y $は実測値、$ \hat{y} $は予測値

\begin{align}
a &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}}\\
b &= \bar{y}-\bar{x}a
\end{align}

$ S_{xx} $は$ x $ の偏差平方和
$ S_{xy} $は$ x $と$ y $の偏差積和
$ \bar{y} $、$ \bar{x} $はそれぞれ$ y $と$ x $の平均値

\begin{align}
S_{xx} &= \sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\\
S_{xy} &= \sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
\end{align}

回帰式の精度確認

重相関係数

R = \frac{S_{y\hat{y}}}{\sqrt{S_{yy} \times S_{\hat{y}\hat{y}}}}

$ S_{y\hat{y}} $は$ y $と$ \hat{y} $ の偏差積和
$ S_{yy} $は$ y $の偏差平方和

\begin{align}
S_{y\hat{y}} &= \sum^n_{i=1}(y_i-\bar{y})(\hat{y_i}-\bar{\hat{y}})\\
S_{yy} &= \sum^n_{i=1}(y_i-\bar{y})^2\\
S_{\hat{y}\hat{y}} &= \sum^n_{i=1}(\hat{y_i}-\bar{\hat{y}})^2
\end{align}

決定係数

重相関係数の二乗($ R^2 $)
寄与率ともいわれる
0から1までの値をとり、1に近づくほど精度が高い

以下の式も成り立つ

R^2 = 1 - \frac{S_e}{S_{yy}}

回帰係数の検定

母回帰を推定

予測