自分用に、基本的な代数的構造の定義をメモしておきます。
代数系
集合 $A$ に２項演算 $*:A\times A \rightarrow A$ が定義されているとき、これらをペアで考えた系 $(A\ ;*)$ を代数系という。
また、$*$ が $A$ の２項演算であるとき、$A$ は２項演算 $*$ について閉じている、または２項演算 $*$ が定義されているという。
基本的な各性質
- 交換律：$\forall a, b \in A, a*b=b*a$
- 結合律：$\forall a, b, c \in A, a*(b*c)=(a*b)*c$
- 単位元の存在：$\exists e \in A, \forall a \in A, a*e=e*a=a$
- 逆元の存在：$\forall a \in A, \exists x_a, \in A, a*x_a=x_a*a=e$
を踏まえ、以下の条件を満たした代数系はそれぞれ半群、モノイド、群と呼ばれる。
半群
- 結合律が成立する
モノイド
- 結合律が成立する
- 単位元が存在する
群
- 結合律が成立する
- 単位元が存在する
- 逆元が存在する
（可換群 または アーベル群）
- 結合律が成立する
- 単位元が存在する
- 逆元が存在する
- 交換律が成立する
つぎに、集合 $A$ に２つの演算 $+$ と $\times$ が定義された代数系 $(A\ ;+,\times)$ を考える。
- 分配律：$\forall a, b, c \in A,$
\begin{align}
a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\
(a + b) \times c = a \times c + b \times c \\
\end{align}
として、以下の条件を満たす代数系をそれぞれ環、体と呼ぶ。
環
- $(A\ ;+)$ は可換群である
- $(A\ ;\times)$ は半群である
- 分配律が成立する
体
- $(A\ ;+)$ は可換群である（加法単位元 $o$）
- $F^* = A \setminus \lbrace o \rbrace$ として、$(F^*\ ; \times)$ は群である
- 分配律が成立する
参考文献
- 石村園子（2007）『やさしく学べる離散数学』共立出版株式会社