【時系列解析】ホワイトノイズ

時系列データのホワイトノイズ（白色雑音）の定義

R_0 = 1, R_k = 0 (k \neq 0)

kはlag。lagが0の時は全てのデータは一致しているので自己相関は１、それ以外のlagでは自己相関が０になる時系列データのこと。

pythonでホワイトノイズを生成

平均０、標準偏差1のホワイトノイズ

mean = 0
sd = 1
x = np.random.normal(mean, sd, 300)
plt.figure(figsize=(12,4))
plt.plot(x)
plt.show()

自己相関を確認。

import statsmodels.api as sm
sm.graphics.tsa.plot_acf(x, lags=100)
plt.show()

偶然、９５％信頼区間外にあるデータもあるが、k = ±1,±2,・・・,±100において自己相関がほぼ０であることが確認できる。

ホワイトノイズのスペクトル

ホワイトノイズのスペクトル（フーリエ変換後の値のこと）があらゆるスペクトルをフラットに含んでいることなどを図示しようとしたが、想定した綺麗な結果(y=１０のようなフラットな直線)にはならなかった。

White_Noise

mean = 0
sd = 1
size = 300
x = np.random.normal(mean, sd, size)
X = np.fft.fft(x)
freqs = np.fft.fftfreq(len(x))
fig2, ax2= plt.subplots()
ax2.stem(freqs, np.abs(X), use_line_collection=True) # フーリエ変換の結果をステム(茎)プロットする
ax2.set_xlabel('Frequency in Hertz[Hz]')
ax2.set_ylabel('Frequency Domain (Spectrum) Magnitude')
ax2.set_xlim(0)
plt.show()

sinカーブのスペクトル

sin_curve

f_s = 1000# サンプルを観測する間隔
f = 100 #周波数
sin_range = np.linspace(0,10,f_s)
x = np.sin(f * 2 * np.pi * sin_range)
plt.plot(sin_range, x)
plt.show()

フーリエ変換、スペクトルの確認

X = np.fft.fft(x)
freqs = np.fft.fftfreq(len(x))*f_s

fig2, ax2= plt.subplots()
ax2.stem(freqs, np.abs(X), use_line_collection=True) # フーリエ変換の結果をステム(茎)プロットする
ax2.set_xlabel('Frequency in Hertz[Hz]')
ax2.set_ylabel('Frequency Domain (Spectrum) Magnitude')
ax2.set_xlim(0)
plt.show()

一応、ラインスペクトル（単振動の場合のスペクトル）っぽい形を確認できる。