概要
以下の事についてよく忘れてしまうのでメモしておきます．
任意の正方行列 $A$ の固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とすると，
$A$ の２乗 $A^2$ の固有ベクトルは $\lambda^2$, 固有ベクトルは $\boldsymbol{x}$ である．
証明
仮定より，
$$
A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
$$
である．ここで両辺に左から $A$ をかけ，整理すると，
$$
\begin{align}
AA \boldsymbol{x} &= A\lambda \boldsymbol{x} \\
A^2 \boldsymbol{x} &= \lambda A \boldsymbol{x} \\
A^2 \boldsymbol{x} &= \lambda (\lambda \boldsymbol{x}) \\
A^2 \boldsymbol{x} &= \lambda^2 \boldsymbol{x} \tag{1}
\end{align}
$$
式(1) に注目すると，固有値，固有ベクトルの定義から $\boldsymbol{x}$ は$A^2$の固有ベクトルに， $\lambda^2$ は$A^2$の固有値となっていることが分かる．よって，
任意の正方行列 $A$ の固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とすると， $A$ の２乗 $A^2$ の固有ベクトルは $\lambda^2$, 固有ベクトルは $\boldsymbol{x}$ であると言える．
一般化
２乗だけでなく，一般化した $n$ 乗についても言うことができます．
任意の正方行列 $A$ の固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とすると，
$A$ の $n$ 乗 $A^n$ ($n=2, 3, \cdots$) の固有ベクトルは $\lambda^n$, 固有ベクトルは $\boldsymbol{x}$ である．
数学的帰納法より示すことができます．