数学のすすめ

原と申します．専門は数理物理学です．ここ数年，九大物理学科（過去三年は化学科も）学部一年の微積を担当しています．物理学（自然科学）における数学の効用（むしろ数学と物理学の密接な関係）について，少し書きます¹．

“The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences” by Y. Wigner

Yugene Wigner は1960年，“The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”と題した論文（エッセイ）を発表しています（Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13 (1960) 1-14）²．

この論文の中で，Wignerは「自然科学を記述する言語として，数学が信じられないくらい有効であること」について考察しています．一読を強くお勧めします．

僕の言いたいことは，かなりの部分，この Wignerの論考に含まれてしまっていますが，以下，少し言葉を付け加えます．

数学そのものの美しさ

言うまでもなく，数学には数学自身の美しさ，強さがあります．

僕が本当に「数学は美しい」と思ったのは，大学に入って複素函数論のゼミ（実質は講義）に参加した時でした．「複素函数として微分可能」という条件をおくだけで，あそこまで豊かな世界が拡がるとは，全く予想外で，心底感嘆しました．僕はそれまで，数学を物理をやるための道具としか見ていなかった面がありましたが，心底ごめんなさいと思いました．

それ以降，少しずつ数学を学んでいますが，数学そのものの美しさについては，本職の数学者に語っていただくのがベストでしょうから，これ以上は述べません．

物理を記述する言語としての数学の有効性

物理学を記述する言語としての数学の有効性は言うまでもありません．Wignerのあげた例とも一部重なりますが，例をいくつかあげましょう．

解析力学

ニュートン力学が微分方程式などを通じて数学的に書かれていること自身，数学の有効性の良い例になっています．しかし解析力学まで進めば，ニュートンの運動方程式が「最小作用の原理」という変分問題と（ほぼ）等価であることがわかります．これは数学的には単なる書き換えとも言えますが，物理としてはかなりの発想の転換でしょう³．

量子力学

いうまでもなく，量子力学は線型代数（函数解析）の言葉で書かれています．線型空間や線型写像という概念がなければ，その体系が古典力学と大きく異なる量子力学を理解（構築）することはかなりの困難を伴っただろうと予想されます．また，量子力学の誕生を予見するかのように「解析力学」がほぼ完成されていたのも興味深いことです．

一般相対性理論

これもまた，数学と物理学の見事な融合の一つと言えるでしょう．重力を定式化する際に，微分幾何学がここまで役に立つとは，その創始者の一人であるリーマンにも予想できなかったのではないでしょうか？

例はいくらでもあります（Wignerの論考も参照）．Wignerならずとも，「ここまで数学が有効なのには何か理由があるのか？」と思ってしまうところです．

数学的な考察（解析）により，物理学の理解がより深まることも

上では，物理理論の定式化に，数学の概念が有効に使われた例を見ました．数学の効用はそれにとどまらず，「数学的に深い考察を行うことによって，物理学の理解が深まった」例も存在します．特に顕著なのは統計力学における random field Ising modelの臨界次元の問題です．
このモデルでは，通常の古典的なイジング模型にランダムな磁場をかけるので，ハミルトニアンは以下のようになります（$\sigma$は$\pm 1$の値を取るスピン変数，$h_x$がランダムな磁場）：

H = - \sum_{<x, y>} \sigma_x \sigma_y - \sum_{x} h_x \sigma_x

通常のイジング模型は，空間の次元が1より大きい場合，相転移を起こします --- これを「イジング模型の臨界次元は1である」と表現します．
さて問題は「random field Ising model の臨界次元は何か？」ということです．ランダムな磁場のため，スピンは揃いにくくなり，臨界次元が上がることが予想されます．

この問いについては1970年代に物理学者の間でかなりの論争がありました．
特に優勢だったのは「臨界次元は3である」というものでした --- この主張の背後には「ランダム系の臨界次元はランダムでない系の臨界次元よりも2上がる」という（いくつかの系では実際に正しい）予想がありました．
一方で，（Peierls contour の考えに基づいた）「臨界次元は2」という主張もありましたが，物理学者の中では少数派でした．

この問題は80年代後半になって，厳密なくりこみ群の考えを用いて数理物理学者によって決着がつけられました（「臨界次元は2」が正解でした）．これは数理物理学が多数派の物理学者の予想を覆した，面白い例になっています．

物理の論文でも数学的手法が多く使われることも（特に学部一年生へのメッセージ）

上のような大掛かりな数学解析でなくても，物理の論文でも数学的な解析が大きな役割を果たすことは多々，あります．例えば「Bellの不等式」の原論文（J.S. Bell, "On the Einstein Podolsky Rosen Paradox". Physics 1 (1964) 195–200）では ε-δ 的な考え方がさらりと使われています．

最後に，より個人的なこと

最後に，僕が数理物理学をやり始めたきっかけと，個人的な数学の効用について述べます．

大学で物理を学ぶのは大変に楽しかったのですが，どうも納得できなかったのが，場の量子論の「くりこみ理論」でした．「相互作用定数」についての級数展開をやっているように見えるのですが，展開の各項は発散している．なので級数展開に意味があるとはとても思えない．にも関わらず系を定義するパラメーターも発散するようにとると答えは有限？？（すみません．わざとわかりにくい書き方をしています⁴）

ここまでわかりにくいのなら切り捨てたいのですが，切り捨てるわけにもいきません．「くりこみ理論」の教える通りに量子電磁力学の摂動計算をした結果（電子の g-factor）は，8桁くらいの精度で実験結果と合ってるというのです．

くりこみは本当にわからない，と一年以上悩んでいたと思います．そのうち，「数理物理学」という学問分野があり，そこでは数学的に物理の基礎問題を考えることが目標であること，さらに数理物理学の大きな目標の一つが（くりこみの問題も含む）場の量子論の数学的解析だと知りました．

となると，これはもう，数理物理学を極めて，場の量子論を理解するしかないではないか！とこの道に入ることにしました．

あまり大きな成果をあげられたわけではありませんが，自分自身ではこの分野を十分に楽しんでこられたので良かったと思っています．

最後に，僕にとっての数学の効用を二つ追加します．

• 「数学的に厳密に解析する」という数理物理学における縛りはかなり有効である．特に「証明が通らない限り論文が書けない」となると，やはり真剣に考えざるを得ないし，その過程で物事の本質が見えたこともある．（慌てて付け加えますが，普通の物理学者の方々は，そのような縛りがなくても深く考えられる方々ばかりなのだと思います．あくまで僕には有効だということです．）
• 「この部分は数学的に証明できている」ことがはっきりしているのは，研究を進める上で精神的にかなり楽である．研究を進める際，最初は色々なところがぐらぐらしていて「自分の予想のどこが正しくてどこが正しくないのか」がなかなかわからない（わかったら問題は解決している）．そんな時，「ここだけは数学的に間違いない」部分がはっきりしていれば，それ以外のところに集中して考えられる．

これらの意味でも，僕にとって数学は非常に有効なのです．

人生には限られた時間しかありませんから，全てを学ぶことはできません．しかし，少し数学的な見方や解析を行うことで，物理の見通しがすごく良くなることもあります．うまくバランスをとりつつ，数学的側面にも目を向けて物理を学んでいただければ良いと思います．

1. 学部低学年の人には未定義用語がいろいろ出てくるかもしれませんが，興味のあるところは検索などしてみてください． ↩

2. 余談ですが，この雑誌を発行している Courant Institute of Mathematical Sciences というところで原はポスドクをしていました．ポスドク時代の思い出はたくさんあるのですが，今回のテーマには関係ないので略． ↩

3. Ted Chiang の "Story of Your Life" はなかなかの名作です． ↩

4. 「くりこみ理論」については，現在ではもっと良い理解が存在します．特に1970年代に物理学者が発展させたくりこみ群の考え方を用いれば，「くりこみ理論」をよりわかりやすく理解することが原理的に可能になります．この意味で，「くりこみ理論」には拘らず，「くりこみ群」を学ぶのが正しいと言えます．さらに，「くりこみ群」の数学的に厳密な解析もかなり進展しました．しかしそれでも，量子電磁力学がなぜあそこまで精度良く予言できるのか，僕は満足のいく答えを持っていません． ↩