90
95

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 3 years have passed since last update.

カルマンフィルタ・予測・平滑化で状態を逐次推定する

Last updated at Posted at 2019-04-27

はじめに

状態空間モデルにおいて状態を逐次的に推定する有名な手法の1つにカルマンフィルタというものがあります。
カルマンフィルタなどを用いて出来る事・概要・手順・numpyを用いた行列実装をまとめてみました。

この記事の対象としている人

  • 確率分布の計算はなんとなくわかる
  • 状態空間の概念はなんとなくわかる
  • カルマンフィルタはよく知らない
  • numpyの行列実装の仕方を知りたい

カルマンフィルタで出来る事

カルマンフィルタを使うと、ノイズ混じりの観測データから、観測ノイズを取り除いた状態を逐次推定できます。
こんな感じです。
result.png

経済やマーケティングの文脈においては、時系列データの平滑化やトレンドの把握、少し先の予測などに使われます。

ある事象に対して、時点1から時点tまで時系列に沿って観測したデータ$y_{1:t}$があるとします。
例えば、DAU(Daily Active User, 1日あたりにログインしたユーザー数)を想定します。
DAUが以下のように分解出来るとします。

DAU = 状態(サービス内要因, サービス魅力度など) + 観測誤差(サービス外要因, 曜日変動やノイズなど) \\
観測誤差(サービス外要因) \sim N(0, \Sigma) \\

DAUの監視を通じて知りたいのは、時点tにおけるサービスの魅力度を表す状態$x_t$です。しかし、状態$x_t$そのものを直接観測する事は出来ず、観測出来るDAUはサービス外の要因が混じっています。なので、DAU観測データ$y_{1:t}$からサービス外の要因を取り除き、状態$x_t$を推定したいです。
そこで、フィルタリングや予測、平滑化を行います。

フィルタリング、予測、平滑化の違い

時点1から時点tまでの観測データ$y_{1:t}$を元に、ある時点の状態$x_{t'}$を推定します。つまり、$p(x_{t'} | y_{1:t})$を求めます。
より正確には、観測データが手元にあるときの時点tの状態$x_t$確率分布$p(x_{t'} | y_{1:t})$を求め、その平均や分散を求めます。
ここで、

  • t' < t, つまり時点tまでの観測値を元に過去の時点の状態$x_{t'}$を推定する場合、平滑化
  • t' = t, つまり時点tまでの観測値を元に現在の時点の状態$x_{t'}$を推定する場合、フィルタリング
  • t' > t, つまり時点tまでの観測値を元に未来の時点の状態$x_{t'}$を推定する場合、予測

という違いがあります。
例えば、過去のトレンドを知りたいときは平滑化を行ってもよいですし、現在のトレンドをリアルタイムに知りたければ、最新時点のデータが入ってくる度にフィルタリングを行えばよいでしょう。

カルマンフィルタについて

カルマンフィルタ、カルマン予測、カルマン平滑化の順に説明します。

前提

まず、以下のような状態空間モデルを想定します

状態方程式: x_t = G_t x_{t-1} + w_t \\
観測方程式: y_t = F_t x_t + v_t \\
状態ノイズ: w_t \sim N(0, W_t) \\
観測ノイズ: v_t \sim N(0, V_t)

$x_t, w_t$: p×1ベクトル
$G_t, W_t$: p×p行列
$F_t$: 1×pベクトル
$y_t, v_t, V_t$: スカラー

状態$x$は、時点tが増えるにつれ係数$G$がかかり、状態が遷移していきます。
状態が遷移する度に、正規分布に従うノイズ$w$が混ざります。
時点tの観測値$y_t$は、観測方程式に従って求められます。
観測値$y_t$には、正規分布に従う観測ノイズ$v$が混ざります。

$G_t, F_t, W_t, V_t$は既知であるとします。

カルマンフィルタの概要

カルマンフィルタは、時点tまでの観測値$y_{1:t}$から時点tの状態$x_t$を逐次的に効率よく求める手法です。
観測値から観測ノイズを取り除いた状態を推定するので、フィルタリングと呼ばれます。

時点tまでの観測値$y_{1:t}$の情報を元に時点tの状態$x_t$を推測するフィルタリング分布$p(x_t | y_{1:t})$を逐次的に求めたいです。
具体的には、時点毎のフィルタリング分布を仮定し、そのパラメータを逐次的に求めたいです。
そのために、以下の3つの分布を設定します。

フィルタリング分布: p(x_t | y_{1:t}) = N(m_t, C_t) \\
一期先予測分布: p(x_t | y_{1:1-t}) = N(a_t, R_t) \\
一期先予測尤度: p(y_t | y_{1:t-1}) = N(f_t, Q_t) \\

フィルタリング分布は時点tまでの観測値$y_{1:t}$を元に時点tの状態$x_t$を発生させる分布
一期先予測分布は時点t-1までの観測値$y_{1:t-1}$を元に時点tの状態$x_t$を予測する分布
一期先予測尤度は時点t-1までの観測値$y_{1:t-1}$を元に時点tの観測値$y_t$を予測する関数

一期先予測分布$p(x_t | y_{1:t-1})$は、観測値$y_t$を観測する前に予測したフィルタリング分布$p(x_t | y_{1:t})$のようなものです。
フィルタリング分布と一期先予測分布はどちらも$x_t$を発生させる確率分布になっています。
最後の関数が尤度と名付いているのは、恐らくこの関数が観測された$y_{1:t}$から尤もらしいパラメータ$m_t, C_t$を推測するために使われるからだと思われます。
確率"分布"(確率密度関数)は固定したパラメータからある値が発生する確率を求めるのに対し、"尤度"(尤度関数)は観測されたデータ(固定された値)を発生させたパラメータがある値だとどれくらい尤もらしいかを返す関数です。

時点tにおけるパラメータ$\Theta_t = { m_t, C_t, a_t, R_t, f_t, Q_t }$を、時点t-1のフィルタリング分布パラメータ$m_{t-1}, C_{t-1}$と観測値$y_t$を用いて求めます。

カルマンフィルタの手順

過去の観測値$y_{1:t-1}$から1期先予測分布(予測値に基づくフィルタリング分布)を計算して、その後に観測された$y_t$を用いて1期先予測分布のパラメータを修正していくイメージです。

1期先予測分布$p(x_t|y_{1:t-1})$を計算・予測

データ$Y_t=y_t$を観測

$y_t$の情報を元にフィルタリング分布$p(x_t|y_{1:t})$へ修正

この計算を観測したい時点まで繰り返します。

初期状態のフィルタリング分布のパラメータ$m_0, C_0$を設定します。
以下の計算をT回繰り返します。
1 時点tの一期先予測分布$p(x_t | y_{1:t-1})$のパラメータ

a_t = G_t m_{t-1} \\
R_t = G_t C_{t-1} G_t^T + W_t

2 時点tの一期先予測尤度$p(y_t | y_{1:t-1})$のパラメータ

f_t = F_t a_t \\
Q_t = F_t R_t F_t^T + V_t

3 時点tのカルマンゲイン

K_t = R_t F_t^T Q_t^{-1}

4 時点tの状態($x_t$を発生させるフィルタリング分布のパラメータ)の更新

m_t = a_t + K_t(y_t - f_t) \\
C_t = (I - K_t F_t) R_t
# コードにするとこんな感じ
def kalman_filter(m, C, y, G=G, F=F, W=W, V=V):
    """
    Kalman Filter
    m: 時点t-1のフィルタリング分布の平均
    C: 時点t-1のフィルタリング分布の分散共分散行列
    y: 時点tの観測値
    """
    a = G @ m
    R = G @ C @ G.T + W
    f = F @ a
    Q = F @ R @ F.T + V
    # 逆行列と何かの積を取る場合は、invよりsolveを使った方がいいらしい
    K = (np.linalg.solve(Q.T, F @ R.T)).T
    # K = R @ F.T @ np.linalg.inv(Q)
    m = a + K @ (y - f)
    C = R - K @ F @ R
    return m, C

カルマン予測の概要・手順

カルマン予測は、t+k時点予測分布$p(x_{t+k} | y_{1:t})$を求める手法です。
基本的な概念はカルマンフィルタと変わりません。
カルマンフィルタは

  1. 一期先予測分布$p(x_t | y_{t-1})$を計算
  2. データ$y_t$を元にフィルタリング分布$p(x_t|y_{1:t})$へ修正

という流れを辿っていましたが、未来のデータは観測出来ません。そこで

  1. 最新時点tのフィルタリング分布$p(x_t | y_{1:t})=p(x_{t+0} | y_{1:t})$を準備、時点tにおける0期先予測分布とする
  2. $p(x_t | y_{1:t})$を用いてt+1時点の一期先予測分布$p(x_{t+1} | y_{1:t})$を計算
  3. $p(x_{t+1} | y_{1:t})$を用いてt+2時点の一期先予測分布$p(x_{t+2} | y_{1:t})$を計算
    ...

というように、観測データによる修正をせずひたすら予測分布の計算を繰り返します。カルマンフィルタと同じ計算式です。

時点tでの0期先予測分布$a_t(0)=m_t, R_t(0)=C_t$を元に、時点t+k, k期先予測分布の平均$a_t(k)$, 分散$R_t(k)$をk=1~kまで逐次的に計算します

a_t(k) = G_{t+k} a_t(k-1) \\
R_t(k) = G_{t+k} R_t(k-1) G_{t+k}^T + W_{t+k}
# 一期先予測分布を連続して求めるだけ
def kalman_prediction(a, R, G=G, W=W):
    """
    Kalman prediction
    """
    a = G @ a
    R = G @ R @ G.T + W
    return a, R

カルマン平滑化の概要・手順

カルマン平滑化は、時点tの平滑化分布

p(x_t | y_{1:T}) = N(s_t, S_t)

を求める手法です。(t < T)
カルマンフィルタを時点Tまで計算したとします。
カルマン平滑化は、時点tのフィルタリング分布$p(x_t | y_{1:t})$を、時点t+1の平滑化分布$p(x_{t+1} | y_{1:T})$で補正します。
これにより、トレンドはより滑らかになります。

手順(RTSアルゴリズム)
0 時点t+1での平滑化分布: $s_{t+1}, S_{t+1}$を準備(t=Tのときは時点tのフィルタリング分布を使用)
1 時点tの平均化利得を計算

A_t = C_t G_{t+1}^T R_{t+1}^{-1}

2 時点tの平滑化分布のパラメータを計算

s_t = m_t + A_t(s_{t+1} - a_{t+1}) \\
S_t = C_t + A_t(S_{t+1} - R_{t+1})A_t^T
# カルマン平滑化  
# 固定区間平滑化を行う  
# 時点Tまでのカルマンフィルタリングが一旦完了しているものとする  
# aとRの計算は、カルマンフィルタリングの計算時に格納したものを使った方が、計算効率は良さそう
def kalman_smoothing(s, S, m, C, G=G, W=W):
    """
    Kalman smoothing
    """
    # 1時点先予測分布のパラメータ計算
    a = G @ m
    R = G @ C @ G.T + W
    # 平滑化利得の計算
    # solveを使った方が約30%速くなる
    A = np.linalg.solve(R.T, G @ C.T).T
    # A = C @ G.T @ np.linalg.inv(R)
    # 状態の更新
    s = m + A @ (s - a)
    S = C + A @ (S - R) @ A.T
    return s, S

実装

自作関数の定義だけ上に書いたものを使います。

ライブラリのインポート

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from tqdm import tqdm_notebook as tqdm

np.random.seed(1234)
pd.set_option('display.max_columns', None)
sns.set_style('darkgrid')

%matplotlib inline

仮想データ

一番簡単な例として、ランダムウォークを想定します。
これは、ローカルモデルの一種です。

x_t = x_{t-1} + w_t \\
y_t = x_t + v_t \\
w_t \sim N(0, 1) \\
v_t \sim N(0, 10) \\

観測時点Tは100, 予測時点は5, 初期状態は100とします

G = np.array([[1]])
F = np.array([[1]])
W = np.array([[1]]) # 恣意的に与える必要がある
V = np.array([[10]]) # 上に同じ
T = 100
K = 5
x0 = 100

w = np.random.multivariate_normal(np.zeros(1), W, T+K)
v = np.random.multivariate_normal(np.zeros(1), V, T+K)
x = np.zeros(T+K)
y = np.zeros(T+K)

x[0] = x0 + w[0]
y[0] = x[0] + v[0]
for t in range(1, T+K):
    x[t] = x[t-1] + w[t]
    y[t] = x[t] + v[t]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(16, 4))
sns.lineplot(np.arange(T+K), x, ax=ax, label=" true state")
sns.lineplot(np.arange(T+K), y, color="gray", ax=ax, label="observation")
ax.set_title("simulation data")
ax.legend()
plt.show()

simulation.png

パラメータ設定

# 初期状態のフィルタリング分布のパラメータ
m0 = np.array([[0]])
C0 = np.array([[1e7]])

# 結果を格納するarray
m = np.zeros((T, 1))
C = np.zeros((T, 1, 1))
a_pred = np.zeros((K, 1))
R_pred = np.zeros((K, 1, 1))
s = np.zeros((T, 1))
S = np.zeros((T, 1, 1))

実行

# カルマンフィルター
for t in range(T):
    if t == 0:
        m[t], C[t] = kalman_filter(m0, C0, y[t:t+1])
    else:
        m[t], C[t] = kalman_filter(m[t-1:t], C[t-1:t], y[t:t+1])

# カルマン予測
for t in range(K):
    if t == 0:
        a = G @ m[T-1:T]
        R = G @ C[T-1:T] @ G.T + W
        a_pred[t] = a
        R_pred[t] = R
    else:
        a_pred[t], R_pred[t] = kalman_prediction(a_pred[t-1], R_pred[t-1])

# カルマン平滑化
for t in range(T):
    t = T - t - 1
    if t == T - 1:
        s[t] = m[t]
        S[t] = C[t]
    else:
        s[t], S[t] = kalman_smoothing(s[t+1], S[t+1], m[t], C[t])

結果

$Z_{0.05/2} \fallingdotseq 1.96$より、標準偏差に1.96を掛けたものを95%区間とします。
カルマンフィルタリング(t<=100)とカルマン予測(t>100)の結果をプロットします。

upper = 115
lower = 85
legend_loc = "lower left"

fig, axes = plt.subplots(nrows=3, figsize=(16, 12))
sns.lineplot(np.arange(T+K), x, ax=axes[0], label="true state")
sns.lineplot(np.arange(T+K), y, color="gray", ax=axes[0], label="observation")
sns.lineplot(np.arange(T), m.flatten(), color="red", ax=axes[0], label="kalman filter + prediction")
axes[0].plot(np.arange(T), (m - 1.96 * C[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray', label=".95 interval")
axes[0].plot(np.arange(T), (m + 1.96 * C[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray')
axes[0].plot(np.arange(T, T+K), a_pred.flatten(), color='red')
axes[0].plot(np.arange(T, T+K), (a_pred - 1.96 * R_pred[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray')
axes[0].plot(np.arange(T, T+K), (a_pred + 1.96 * R_pred[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray')
axes[0].axvline(100, color="black", linestyle="--", alpha=0.5, label="left: filtering, right: prediction")
axes[0].set_ylim(lower, upper)
axes[0].legend(loc=legend_loc)
axes[0].set_title("Kalman Filter + Prediction")

sns.lineplot(np.arange(T+K), x, ax=axes[1], label="true state")
sns.lineplot(np.arange(T+K), y, color="gray", ax=axes[1], label="observation")
sns.lineplot(np.arange(T), s.flatten(), color="green", ax=axes[1], label="kalman smoothing")
axes[1].plot(np.arange(T), (s - 1.96 * S[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray', label=".95 interval")
axes[1].plot(np.arange(T), (s + 1.96 * S[:,:,0]**(1/2)).flatten(), alpha=0.3, color='gray')
axes[1].axvline(100, color="black", linestyle="--", alpha=0.5, )
axes[1].set_ylim(lower, upper)
axes[1].legend(loc=legend_loc)
axes[1].set_title("Kalman Smoothing")

# sns.lineplot(np.arange(T+K), x, ax=axes[2], label="true state")
sns.lineplot(np.arange(T+K), y, color="gray", ax=axes[2], label="observation")
sns.lineplot(np.arange(T), m.flatten(), color="red", ax=axes[2], label="kalman filter")
sns.lineplot(np.arange(T), s.flatten(), color="green", ax=axes[2], label="kalman smoothing")
axes[2].axvline(100, color="black", linestyle="--", alpha=0.5)
axes[2].set_ylim(lower, upper)
axes[2].legend(loc=legend_loc)
axes[2].set_title("Kalman filter vs kalman smoothing")
plt.show()

result.png

print("カルマンフィルタリングの分散の平均: {:.3f}".format(C.mean()))
print("カルマン平滑化の分散の平均: {:.3f}".format(S.mean()))
スクリーンショット 2019-04-28 23.55.01.png

青が真の状態、グレーが観測値、赤がカルマンフィルタ、緑がカルマン平滑化です。 カルマンフィルタ(赤)やカルマン平滑化(緑)と真の状態(青)がそれなりに近しい動き方をしていることがわかります。
観測誤差をある程度取り除いて状態を推定できました。
カルマンフィルタと比べ、カルマン平滑化の方が分散が小さくなっています。
カルマン予測は時点を追うごとに分散が大きくなっています。
過去と現在の情報から状態を推測するカルマンフィルタに比べ、カルマンフィルタの結果を1期先の平滑化分布で補正するカルマン平滑化の方が、よりなだらかです。

いかがでしたでしょうか

まとめ

  • カルマンフィルタは観測値$y_{1:t}$から状態$x_t$を求める手法
  • 観測誤差のノイズを取り除いて、状態を推定することができる
  • pythonで実装してみた

TO DO
もっと複雑なモデルに対する適用

参考文献

(萩原, 瓜生, 牧山, 2018) 基礎からわかる時系列分析

90
95
4

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
90
95

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?