今回react-nativeのバージョンを
0.57.5から0.59.8に上げたのでメモレベルですが参考になるかなーと思い残しておきます。

Step1 とりあえずリリースノートを読みます。

0.57.5から0.59.8のリリースノートに目を通しておきます。
少なくとも破壊的変更には対応する必要があるので頑張って読む。
アップデートサボっていたので結構厳しい。
https://github.com/facebook/react-native/releases

Step2 各バージョンのreact-native init の差分を比較

こちらのサイトを使うと、プロジェクト作成時のコードの差分を各バージョンでみることができます。
https://pvinis.github.io/purge-web/

差分を確認しながら、自分のプロジェクトにも適応していきます。

手元でやりたい場合は下記のように行います。

react-native-cliのreact-native initを使ってプロジェクトを二つ作ります。

$react-native init rn575 --version 0.57.5
$react-native init rn598 --version 0.59.8

そのあとrn575のプロジェクトでgitを初期化してとりあえずコミットしておきます。

そのあとにrn575のプロジェクトのファイル全部削除してrn598をブチ込みます。

かなり荒いですが、これで差分が確認できるのでその差分をみて対応を勧めていくことができます。

私は差分が50とか出ちゃいました。辛いですね。でも大丈夫。下記の2つを実施してみてください。

ディレクトリ名やファイル名にアプリの名前が入るとこ(/iosやandroid/src/main/java/comなど)があるので、そこは適宜ディレクトリ名やファイル名で差分が出ないように変更
ソースコード内のrn598という文字列をrn575に一括置換

これでファイルの差分のみが表示されるはずです。私の環境では19ファイル差分がでました。

あとは自分の環境に差分を適応させていくだけ〜