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問題

時間tでの到着頻度の平均が$\lambda$であるポアソン流をいくつかに枝分かれさせます.枝分かれ点は一箇所で,到着イベントを到着ごとに独立に確率$p_i$で$i$番目の枝に振り分けます.各々の支流は平均到着数が$\lambda p_i$のポアソン流となっていることを示してください.


解答例

分岐前の本流は時間$t$間で到着数$N$であったものとします.そして$i$番目の支流に$n_i$の到着が振り分けられる確率$P[N_i=n_i]$は,条件として$N$が$N \ge N_i$となっていなければならず,nからniを選び出す組み合わせは$\binom{n}{n_i}$とおりなので,

\begin{align}

P[N_i=n_i]&=\sum_{n=n_i}^{\infty}P[N=n]\binom{n}{n_i}p_i^{n_i}(1-p_i)^{(n-n_i)} \\
&=\sum_{n=n_i}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\binom{n}{n_i}p_i^{n_i}(1-p_i)^{(n-n_i)}
\end{align}

ここで$$\binom{n}{n_i}=\frac{n!}{n_i!(n-n_i)!}$$を代入してnを含まない因子と,$(\lambda t)^n=(\lambda t)^{n_i}(\lambda t)^{n-n_i}$に分解して$(\lambda t)^{n_i}$を$\sum$の外に出すと,

\begin{align}

P[N_i=n_i]&=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda p_it)^{n_i}}{n_i!}\sum_{n=n_i}^{\infty} \frac{(1-p_i)^{n-n_i}(\lambda t)^{n-n_i}}{(n-n_i)!} \\
&=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda p_it)^{n_i}}{n_i!}\sum_{n=n_i}^{\infty}\frac{(\lambda t -\lambda p_it)^{(n-n_i)}}{(n-n_i)!} \\
&=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda p_it)^{n_i}}{n_i!}e^{(\lambda t -\lambda p_it)} \\
&=\frac{(\lambda p_it)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda p_it}
\end{align}

なお第2式から第3式への変形は$e^x$のテーラー展開$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$を使っています.