ググっても、位相キックバックをメインで書いてる記事が某社社長の記事くらいしか出てこなくて腹立つので書く。
$U$をユニタリ行列、あるいはそれを表現した量子ゲートとする。
Controlled-Uゲートを考えると、それはこんな数式になる。
$\mathrm{CU} = \mid 0\rangle\langle 0\mid_{\mathrm{control}} \otimes I_{\mathrm{target}} + \mid 1\rangle\langle 1\mid_{\mathrm{control}} \otimes U_{\mathrm{target}}$
つまり、制御ビットが0だと、標的ビットには何もせず(単位行列をかけて)、制御ビットが1だと、標的ビットにはユニタリ行列Uをかける。
ここで、制御ビットを$\frac{1}{\sqrt 2}(|0> + e^{i\phi}|1>)$、標的ビットを、$U$の(ひとつの)固有ベクトル$|\psi>$であり、対応する固有値を$e^{i\lambda}$とする。つまり、$U|\psi> = e^{i\lambda}|\psi>$を満たすとする。
(なお、$\phi = 0$のとき、制御ビットは$\frac{1}{\sqrt 2}(|0> + |1>)$になって、これは、$|0>$にアダマールゲートをかけた状態である。)
つまり、
$|\Psi> = \frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle )_{\mathrm{control}}\otimes |\psi\rangle _{\mathrm{target}}$を考える。
このとき、
\begin{align}
&\mathrm{CU}\cdot |\Psi>\\
=&(\mid 0\rangle\langle 0\mid_{\mathrm{control}} \otimes I_{\mathrm{target}} + \mid 1\rangle\langle 1\mid_{\mathrm{control}} \otimes U_{\mathrm{target}})\frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle )_{\mathrm{control}}\otimes |\psi\rangle _{\mathrm{target}}\\
=&\frac{1}{\sqrt 2}(|0>_\mathrm{control}\otimes I|\psi>_\mathrm{target} + e^{i\phi}|1>_\mathrm{control}\otimes U|\psi>_\mathrm{target}\\
=&\frac{1}{\sqrt 2}(|0>_\mathrm{control}\otimes |\psi>_\mathrm{target} + e^{i\phi}|1>_\mathrm{control}\otimes e^{i\lambda}|\psi>_\mathrm{target}\\
=&\frac{1}{\sqrt 2}(|0>_\mathrm{control}\otimes |\psi>_\mathrm{target} + e^{i(\phi + \lambda)}|1>_\mathrm{control}\otimes |\psi>_\mathrm{target})\\
=&\frac{1}{\sqrt 2}(|0> + e^{i(\phi + \lambda)}|1>)_\mathrm{control}\otimes |\psi>_\mathrm{target}
\end{align}
$|\Psi>$と$\mathrm{CU}\cdot|\Psi>$を見比べると、$|1>$の位相が$\psi$から$\psi + \lambda$に変わっている。この$\lambda$は、$|\psi>$に対応する$U$の固有値であった。
このように、$U$の固有ベクトルに対してControlled-Uゲートをかけると、$U$の固有値を位相として取り出すことができる。
これを位相キックバックといい、このように位相の形で取り出した固有値は量子フーリエ逆変換で取り出すことができる。
位相キックバックを行い、量子フーリエ逆変換で位相を取り出すアルゴリズムは、量子位相推定アルゴリズムとして知られている。