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C#で数学パズル - MagicStarパズルを解く

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マジックスター(MagicStar)というパズルをC#で解くプログラムを書いてみました。


マジックスター(MagicStar)パズルとは

マジックスターは、下の図の12個ある○に 1から12までの数字をひとつずつ入れていき、直線上の4個の数字の合計が、すべて 26 になるように、数字を配置するというものです。

キャプチャ.PNG

このパズル、手で解くとなると結構難しく、頭を悩ませることになるのですが、下記に示すプログラムを実行していただければわかる通り、解が想像以上に多いのにびっくりします。

すべての解を紙と鉛筆で求めるとなると、よっぽど根気のある人でないと無理なんじゃないかと思います。

でも、コンピュータで解かせれば、すべての解をあっという間に求めることができます。

もちろん、プログラミングにはそれなりの時間がかかりますが...


C#のコード

まずは、C#のコードを載せます。説明はその後で。

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

namespace MagicStarApp {
public class MagicStarsSolver {
// 解が入る配列
private int[] _star = new int[12];

// 対称性を省くためのDictionary
private Dictionary<int, int> _ansPos0 = new Dictionary<int, int>();

// 位置0 を除いた直線の端の位置を示す。対称性を省くために利用
private int[] _tipIndexes = { 1, 4, 7, 10, 11 };

public IEnumerable<int[]> Solve() {
// 〇の中に入れる数字1,2,3,...12 を生成して、_Solveを呼ぶ。
return _Solve(Enumerable.Range(1, 12));
}

private IEnumerable<int[]> _Solve(IEnumerable<int> rest) {
int count = rest.Count();
if (count == 0) {
if (IsAnswer()) {
_ansPos0[_star[0]] = 1; // 位置0に置いた番号を記憶する 対称性排除のため
yield return _star.ToArray();
}
yield break;
}
if (IsCorrect()) {
int nextix = 12 - count;
foreach (var n in rest) {
// 回転して得られる対称解を省く
if (_tipIndexes.Contains(nextix) && _ansPos0.ContainsKey(n))
continue;

_star[nextix] = n;
foreach (var ans in _Solve(rest.Where(x => x != n)))
yield return ans;
_star[nextix] = 0;
}
}
}

// 解か?
public bool IsAnswer() {
return GetLines(_star).All(line => line.Sum() == 26);
}

// 正しいか (途中の状態を調べる)
public bool IsCorrect() {
foreach (var line in GetLines(_star)) {
// 26より大きければダメ
if (line.Sum() > 26)
return false;
// 直線に数字が全て埋まっていて、26より小さければダメ
if (line.All(x => x > 0) && line.Sum() < 26)
return false;
// 鏡像を省く
if ((_star[2] != 0 && _star[3] != 0) && (_star[2] > _star[3]))
return false;
}
return true;
}

// 6本の直線を列挙する
public IEnumerable<int[]> GetLines(int[] stars) {
yield return new int[] { stars[0], stars[2], stars[5], stars[7] };
yield return new int[] { stars[0], stars[3], stars[6], stars[10] };
yield return new int[] { stars[1], stars[2], stars[3], stars[4] };
yield return new int[] { stars[1], stars[5], stars[8], stars[11] };
yield return new int[] { stars[7], stars[8], stars[9], stars[10] };
yield return new int[] { stars[4], stars[6], stars[9], stars[11] };
}
}
}

using System;

using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace MagicStarApp {
class Program {
static void Main(string[] args) {
var solver = new MagicStarsSolver();
var answers = solver.Solve();
foreach (var (ans, i) in answers.Enumerate(1)) {
Console.WriteLine($"#{i}");
Print(ans);
}
}

private static void Print(int[] stars) {
Console.WriteLine(" ({0,2})", stars[0]);
Console.WriteLine("({0,2})({1,2})({2,2})({3,2})", stars[1], stars[2], stars[3], stars[4]);
Console.WriteLine(" ({0,2}) ({1,2})", stars[5], stars[6]);
Console.WriteLine("({0,2})({1,2})({2,2})({3,2})", stars[7], stars[8], stars[9], stars[10]);
Console.WriteLine(" ({0,2})", stars[11]);
Console.WriteLine();
}
}

// これはちょっとしたお遊び。
// こんな拡張メソッド書けば、インデックス付きのforeachができる。
static class EnumerableExtensions {
public static IEnumerable<(T, int)> Enumerate<T>(this IEnumerable<T> seq, int startIndex) {
var i = startIndex;
foreach (var e in seq) {
yield return (e, i);
i++;
}
}
}
}


ちょっとコードの説明

マジックスターパズルは12個の数値を扱うので、解が入る要素12の配列を用意し、そこに数値を入れていきます。

このプログラムでは、下の図のように、配列のインデックスと○の位置の対応付けをしています。

magicstar.png

MagicStarsSolverクラスのSolveメソッドで、private の _Solveメソッドを呼び出しています。この_Solveメソッドの引数には、まだ○の位置に置かれていない数値のリストを渡します。最初は1-12までの数値です。

このSolveメソッドがバックトラックの手法を使って、パズルを解いています。

_Solveメソッドでは、空いている○に引数で与えられたリストの中の数値を置き、解の条件に合致しているかを調べ、合致していたら、リストからその数値を取り除き、
Solveメソッドを再帰呼び出しします。

合致していなかったら、空いている○に数値を置かずに、メソッドを抜けます。

これを再帰的に繰り返すことで、解を求めています。

なお、回転や鏡像を排除するためにちょっと工夫をしています。

詳しくはソースコードを見てください。


実行結果

#1

( 1)
( 2)( 4)(12)( 8)
(10) ( 6)
(11)( 5)( 3)( 7)
( 9)

#2
( 1)
( 2)( 6)(10)( 8)
(12) ( 4)
( 7)( 3)( 5)(11)
( 9)

#3
( 1)
( 2)( 7)(11)( 6)
( 8) ( 5)
(10)( 4)( 3)( 9)
(12)

#4
( 1)
( 2)( 7)(12)( 5)
(10) ( 4)
( 8)( 3)( 6)( 9)
(11)

以下省略

もっと解を知りたい方は、是非プログラムを動かしてみてください。

このMagicStarパズルの解き方についてもっと詳しく知りたい方は、こちらのページ(言語はC言語ですが)がとても参考になると思います。



終わりに

この記事は、Gushwell's C# Programming Pageで公開したものをに加筆・修正したものです。このプログラムを最初に公開した時は、Silverlightアプリとして公開しました。しかし、Silverlightも既に終わりの時を迎えています。

このQiitaに再掲載するにあたって、WPF, UWPで再作成とも考えたのですが、いろいろ考えた末、アルゴリズムを主としたこの手のプログラムは、コンソールアプリケーションで作成するのが一番だという思いが強くなり、コンソールアプリケーションとして再作成することにしました。

僕が示したいのはアルゴリズム部分なので、そのほうが応用がきくと思います。

これから、Gushwell's C# Programming PageでSilverlightアプリとして公開していたプログラムを見直して、Qiitaで多数公開するつもりでいますが、基本はコンソールアプリケーションで作成しようと思っています。

2Dグラフィックスが必要なものは、どうするかまだ思案中です。