「設定」のBluetooth管理画面からペアリング済みのAirPods Proを接続しようとすると、一瞬だけ「接続済み」になるが、すぐに「ペアリング済み」に戻って接続が途切れてしまう。以下の手順を踏むことで解決できた。
試してはいないが、おそらく無印版AirPodsでも同様な方法で解決できると思われる。

手順

デバイスマネージャーを開く
ヒューマンインターフェイスデバイス > Bluetooth HID デバイスをダブルクリック
表示されたプロパティ画面 > 「電源の管理」タブ > 「電力の節約のために、コンピュータでこのデバイスの電源をオフにできるようにする」のチェックを外す
コンピュータを再起動