概要

以下の積分の値を求めてみます。

\int_0^\infty e^{-x} \ln (x) dx

STEP 1

まずは$e^{-x}$の定義に立ち返ります。

e^{-x} = \lim_{N \rightarrow \infty} \left( 1-\frac{x}{N} \right)^{N}
=\lim_{N \rightarrow \infty} \left( 1-\frac{x}{N} \right)^{N-1} \underbrace{\left( 1-\frac{x}{N} \right)}_{N \rightarrow \infty で1} 
=\lim_{N \rightarrow \infty} \left( 1-\frac{x}{N} \right)^{N-1}

となりますので、元の式は

\lim_{N\rightarrow \infty} \int_0^N \left( 1-\frac{x}{N} \right)^{N-1} \ln (x) dx

のように書けます。積分範囲を$[0, N]$に変形していることに注意してください。

STEP 2

$U = 1-x/N$と置換して変形します。$dU = -dx/N$として

\int_0^N \left( 1-\frac{x}{N} \right) \ln (x) dx 
= \int_0^1 U^{N-1} \ln (N(1-U)) (-N) dU = N \int_0^1 U^{N-1} \ln (N(1-U)) dU 
= N \ln (N) \int_0^1 U^{N-1} dU + \int_0^1 U^{N-1} \ln (1-U) dU

STEP 3

$\displaystyle{\ln (1-U) = \sum_{k=1}^\infty \frac{U^k}{k}}$を用います。

N \ln (N) \left[ \frac{U^N}{N}\right]_0^1 - N \int_0^1 U^{N-1} \sum_{k=1}^\infty \frac{U^k}{k} dU
=\ln (N) - N \int_0^1 \sum_{k=1}^\infty \frac{U^{k+N-1}}{k} dU 
=\ln (N) - N \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{U^{k+N-1}}{k(k+N)} \right]_0^1
=\ln (N) - \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{N+k}\right)

STEP 4

後ろの級数部分を以下のように分解します。

\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{N+k}\right) 
=1 - \frac{1}{N+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+2} +\frac{1}{3} - \frac{1}{N+3} + \cdots \frac{1}{N} - \frac{1}{2N} + \frac{1}{N+1} - \frac{1}{2N+1} + \cdots

するとどうでしょうか、打ち消せる項があることがわかります。

\therefore \ \int_0^N \left( 1-\frac{x}{N} \right)^{N-1}\ln (N)dx = 
 \ln (N)-\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}

STEP 5

これの$N\rightarrow \infty$極限をとったものがもともとの求めたかった式の値です。

\int_0^\infty e^{-x} \ln(x) dx
= \lim_{N\rightarrow \infty} \left( \ln(N) - \sum_{k=1}^N \frac{1}{k}\right)
= -\gamma

この$\gamma$がオイラー・マスケローニ定数(Euler-Mascheroni constant)で、およそ0.5772...という値です。

参考動画