基本的なフィルターフックなどで対応できるパターン。
SQL文を書く前に、本当にその実装でいいのかよく考えよう。

カスタム投稿タイプ

public の引数が true（デフォルト）であれば、検索ロジック周りであれこれする必要なし。
逆に公開しても検索の対象外とする場合は exclude_from_search の引数を true にする。

特定の条件を検索対象「外」とする

基本、上記のやり方でいいのですが、カテゴリーやタクソノミーなど条件を細かくしたい場合は pre_get_posts でやるのが一番簡単。
例は「特定のカテゴリーに属する投稿は検索対象にしない」

<?php
function search_filter($query) {
    if ( is_admin() || ! $query->is_main_query() )
        return;

    if ( $query->is_search() ) {
        $query->set( 'category__not_in', array( 1 ) );
        return;
    }
}
add_action( 'pre_get_posts','search_filter' );

特定のカスタム投稿タイプを対象とした検索窓を別途作る

例えばFAQだけ検索する検索窓。

form の action は home_url( '/' )
<input type="hidden" name="post_type[]" value="{カスタム投稿タイプのスラッグ}" />

試しにブラウザで直接 http://example.com/?s=test&post_type[]=faq とすると結果がわかるよ

<form role="search" method="get" class="search-form" action="<?php echo esc_url( home_url( '/' ) ); ?>">
    <input type="hidden" name="post_type[]" value="faq" />
    <label>
        <span class="screen-reader-text">Search FAQ for:</span>
        <input type="search" class="search-field" placeholder="Search FAQ" value="<?php the_search_query(); ?>" name="s" title="Search FAQ" />
    </label>
    <input type="submit" class="search-submit" value="Search" />
</form>

検索結果を通常の検索結果用テンプレートと別にする場合はtemplate_includeで。
https://codex.wordpress.org/Plugin_API/Filter_Reference/template_include

function my_custom_search_template( $template ) {
    if ( is_search() ) {
        // 表示する投稿タイプを取得
        $post_types = get_query_var( 'post_type' );

        // search-{$post_type}.php の読み込みルールを追加
        foreach ( (array) $post_types as $post_type )
            $templates[] = "search-{$post_type}.php";

        $templates[] = 'search.php';

        $template = get_query_template( 'search', $templates );

    }
    return $template;
}
add_filter( 'template_include', 'my_custom_search_template' );

絞り込み検索したい

これもプラグイン使っったほうが楽。
とは言え、 http://example.com/?s=test&post_type[]=faq&category_name=cat-a となれば絞込はできるので、前述のフォームをカスタマイズして行けば自作でも可能。

カスタムフィールド・・・

デフォルトでは検索対象「外」なのでこれが一番厄介。

仕様の見直し

本当にカスタムフィールドで実装するのか。カスタムタクソノミーなら検索対象になりつつ「アーカイブを作らない」事もできるので考慮すること

プラグイン使う

カスタムフィールドも対象にするには最終的にSQL文を発行しないといけないので、いろいろ不安ならプラグインでサクッと実装したほうが楽。

WordPress 検索対象のあれこれ