（続き）
半直積はもともと新しい群を作るために考えられたらしいのだが、ここで新しいものが何も発見できなければ何もなかったのと同じになる。
更にこんなこともできるらしい。
前回の記事に出てきたように、楕円曲線の点を要素を元に含むような二次行列を考える。
X=
\begin{pmatrix}
(P,a) & (Q,b) \\
(R,c) & (S,d)
\end{pmatrix}
ここで行列式は、
$det(X)=(Pd+S,ad)-(Qc+R,bc)=(Pd+S-Qc-R,ad-bc)$
この行列の固有多項式は、
$f(t)=t^2-(P+S,a+d)t+(Pd+S-Qc-R,ad-bc)$
であり、これが素数ｐ上で既約なら行列群の位数は最大になるらしい。
このｔに$(P_i,a_i)$のすべてを代入して計算を確認することができるはずなのでやる予定。
$X^2=-(P+Q,ad-bc)X-(Pd+S-Qc-R,ad-bc)$
$x^3=-(P+Q,ad-bc)X^2+(Pd+S-Qc-R,ad-bc)X=
-(P+Q,ad-bc)[-(P+Q,ad-bc)+(Pd+S-Qc-R,ad-bc)]X+(Pd+S-Qc-R,ad-bc)$
$...$
$X^n=a_nX+b_n$
そして今知りたいのは$X$の離散対数である$n$ を計算することなので、その方法も後日示そう。
こういうのもバイナリから一般の有限体と行列の次数についてわからなければならない。
行列に点と有限体で半直積を導入した結果新しい性質が何かわかっていないため、その性質を生かして暗号系を作る必要があるという事なので、これからそれは研究しなければならない。
半直積バージョンは積が導入できるので行列式が定義できるが、普通の楕円の点の場合は同じ方法ではできそうにない。
点群の場合にはジョルダン標準形が使えるかどうかを確認する必要がある。
https://manabitimes.jp/math/1307
その結果に何か新しいものはあるのだろうか？