4.1 物理量とエルミート演算子
###エルミート演算子
物理量$A$に対応した演算子$\hat{A}$が物理量を表現しているなら，その期待値は実数となるはずである．
\left<A\right>
=
\int\psi^\ast\hat{A}\psi
d^3r
\tag{4.1}
その複素共役は，
\left<A\right>^\ast
=
\int(\hat{A}\psi)^\ast\psi
d^3r
\tag{4.2}
$\left< A \right>$が実数であるならば$\left< A \right>=\left< A\right>^\ast$なので，
\int\psi^\ast\hat{A}\psi
d^3r
=
\int(\hat{A}\psi)^\ast\psi
d^3r
\tag{4.3}
とならなければならない．(4.3)をみたす演算子をエルミート演算子とよぶ．たとえば$\mathbf{r}，\mathbf{p}，\hat{H}$はエルミート演算子である．
$\psi_1$，$\psi_2$を2乗積分可能な関数とすると，
\psi=\psi_1+\lambda\psi_2
\tag{4.4}
も2乗積分可能な関数である．
(4.3)に代入すると，
\int
(\psi_1^\ast+\lambda^\ast\psi_2^\ast)
\hat{A}
(\psi_1+\lambda\psi_2)
d^3r
=
\int
(\hat{A}\psi_1+\lambda\hat{A}\psi_2)^\ast(\psi_1+\lambda\psi_2)
d^3r
\tag{4.5}
$\left< A\right>$が実数であるから，
\int\psi_i^\ast\hat{A}\psi_id^3r
=
\int(\hat{A}\psi_i)^\ast\psi_id^3r
,\quad
(i=1,2)
\tag{4.6}
であることを用いると，(4.5)は，
\begin{align}
\int
(\psi_1^\ast+\lambda^\ast\psi_2^\ast)
(\hat{A}\psi_1+\lambda\hat{A}\psi_2)
d^3r
&=
\int
\left\{
(\hat{A}\psi_1)^\ast+\lambda^\ast(\hat{A}\psi_2)^\ast
\right\}
(\psi_1+\lambda\psi_2)
d^3r,
\\
\int
(
\psi_1^\ast\hat{A}\psi_1
+\lambda\psi_1^\ast\hat{A}\psi_2
+\lambda^\ast\psi_2^\ast\hat{A}\psi_1
+\lambda^\ast\lambda\psi_2^\ast\hat{A}\psi_2
)d^3r
&=
\int
\left\{
(\hat{A}\psi_1)^\ast\psi_1
+\lambda(\hat{A}\psi_1)^\ast\psi_2
+\lambda^\ast(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1
+\lambda^\ast\lambda(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_2
\right\},
\\
\left< A\right>
+
|\lambda|^2\left< A\right>
+
\int
(
\lambda\psi_1^\ast\hat{A}\psi_2
+\lambda^\ast\psi_2^\ast\hat{A}\psi_1
)d^3r
&=
\left< A\right>
+
|\lambda|^2\left< A\right>
+
\int
\left\{
+\lambda(\hat{A}\psi_1)^\ast\psi_2
+\lambda^\ast(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1
\right\},
\\
\int
(
\lambda\psi_1^\ast\hat{A}\psi_2
+\lambda^\ast\psi_2^\ast\hat{A}\psi_1
)d^3r
&=
\int
\left\{
\lambda(\hat{A}\psi_1)^\ast\psi_2
+\lambda^\ast(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1
\right\},
\\
\lambda^\ast
\left[
\int\psi_2^\ast\hat{A}\psi_1d^3r
-\int(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1d^3r
\right]
&+
\lambda
\left[
\int\psi_1^\ast\hat{A}\psi_2d^3r
-\int(\hat{A}\psi_1)^\ast\psi_2d^3r
\right]
=0
\end{align}
\tag{4.7}
$\lambda$は任意の複素数なので，$\lambda$と$\lambda^\ast$の係数は0になる．したがって，
\int\psi_2^\ast\hat{A}\psi_1d^3r
=
\int(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1d^3r
\tag{4.8}
###エルミート共役な演算子
任意の$\hat{A}$，$\psi_1$，$\psi_2$，に対して，
\int(\hat{A}\psi_2)^\ast\psi_1d^3r
=
\int\psi_2^\ast\hat{A}^\dagger\psi_1d^3r
\tag{4.9}
が成り立つとき，$\hat{A}^\dagger$を$\hat{A}$に対するエルミート共役な演算子という．特に，
$\hat{A}^\dagger=\hat{A}$すなわち自己共役のときにはエルミート演算子となる．
ここで演算子について簡単な性質をまとめておく．
1.任意の演算子$\hat{A}$，$\hat{B}$の積のエルミート共役は，(4.9)より，
\int
\psi_2^\ast
(\hat{A}\hat{B})^\dagger
\psi_1
d^3r
=
\int
(\hat{A}\hat{B}\psi_2)^\ast\psi_1
d^3r
=
\int
(\hat{B}\psi_2)^\ast\hat{A}^\dagger\psi_1
d^3r
=
\int
\psi_2^\ast\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger\psi_1
d^3r
したがって，
(\hat{A}\hat{B})^\dagger
=
\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger
\tag{4.10}
2.(4.10)より，
(\hat{A}\hat{B}\hat{C}\cdots\hat{Z})^\dagger
=
\hat{Z}^\dagger\cdots\hat{C}^\dagger\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger
\tag{4.11}
3.エルミート演算子$\hat{A}$，$\hat{B}$が可換なら，$\hat{A}\hat{B}$もエルミート演算子である．(4.10)より，
(\hat{A}\hat{B})^\dagger
=
\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger
=
\hat{B}\hat{A}
=
\hat{A}\hat{B}
4.$\hat{A}$，$\hat{B}$が線型でエルミートならば，
\frac{1}{2}(\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}),
\quad
i(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})
\tag{4.12}
も線型でエルミートである．