4.7 量子力学における演算子法
1次元調和振動子の問題を演算子法で解いてみる．
演算子法によるエネルギー固有値
まず演算子
\hat{a}
=
\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left(
\hat{x}
+
\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\tag{4.66}
\hat{a}^\dagger
=
\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left(
\hat{x}
-
\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\tag{4.67}
を導入する．
$\hat{x}$，$\hat{p}$はエルミートなので$\hat{a}^\dagger$は$\hat{a}$のエルミート共役である．
交換関係(2.67)
[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar
\tag{4.68}
を用いると，
\begin{align}
[\hat{a},\hat{a}^\dagger]
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left\{
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\left(
\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
-
\left(
\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\right\}
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left\{
-\frac{i}{m\omega}
(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})
+
\frac{i}{m\omega}
(\hat{p}\hat{x}-\hat{x}\hat{p})
\right\}
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(
-\frac{i}{m\omega}[\hat{x},\hat{p}]
+\frac{i}{m\omega}[\hat{p},\hat{x}]
\right)
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(\frac{\hbar}{m\omega}+\frac{\hbar}{m\omega}\right)
\\
&=
1
\end{align}
\tag{4.69}
が得られる．
さらに個数演算子
\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}
\tag{4.70}
を導入する．これは(4.10)より
\hat{N}^\dagger
=
(\hat{a}^\dagger\hat{a})^\dagger
=
\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger)^\dagger
=
\hat{a}^\dagger\hat{a}
=
\hat{N}
となり自己共役なのでエルミートである．
そして
\begin{align}
\hat{a}^\dagger\hat{a}
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\left(\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(
\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}-\frac{i}{m\omega}[\hat{p},\hat{x}]
\right)
\\
&=
\frac{1}{\hbar\omega}
\left(
\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{2m}
\right)
-\frac{1}{2}
\\
&=
\frac{\hat{H}}{\hbar\omega}-\frac{1}{2}
\end{align}
\tag{4.71}
したがって，
\hat{H}
=
\hbar\omega
\left(
\hat{a}^\dagger\hat{a}
+
\frac{1}{2}
\right)
=
\hbar\omega
\left(
\hat{N}
+
\frac{1}{2}
\right)
\tag{4.72}
したがって$\hat{H}$の固有値を求める問題は$\hat{N}$の固有値を求める問題に帰着する．
$\hat{N}$の固有関数を固有値$n$を使って$\varphi_n$で表すと，
\hat{N}\varphi_n
=
n\varphi_n
\tag{4.73}
ここで$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$，$\hat{N}$の物理的意味を調べる．(4.69)より，
\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}=1
すなわち
\hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{a}\hat{a}^\dagger-1
なので，
\begin{align}
\hat{N}\hat{a}\varphi_n
&=
\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{a}^\dagger-1)\hat{a}\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{N}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(n\hat{a}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(n-1)\hat{a}\varphi_n
\end{align}
\tag{4.74}
したがって$\hat{a}\varphi_n$は固有値$n-1$をもつ$\hat{N}$の固有関数である．$\hat{a}$は$n$を1減少させる演算子なので$\hat{a}$を消滅演算子とよぶ．
同様に，
\begin{align}
\hat{N}\hat{a}^\dagger\varphi_n
&=
\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}^\dagger\varphi_n
\\
&=
\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1)\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}^\dagger\hat{N}+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(n\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(n+1)\hat{a}^\dagger\varphi_n
\end{align}
\tag{4.75}
となり$\hat{a}^\dagger\varphi_n$は固有値$n+1$をもつ$\hat{N}$の固有関数である．$\hat{a}^\dagger$は$n$を1増加させるので生成演算子とよぶ．
$\hat{a}\varphi_n$と$\varphi_{n-1}$は比例定数以外は共通なので，
\hat{a}\varphi_n=c\varphi_{n-1}
\tag{4.76}
$\int_{-\infty}^\infty|\varphi_n(x)|^2dx=1$と規格化すると，(4.9)を使って，
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}\varphi_n)^\ast
(\hat{a}\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{a}^\dagger\hat{a}\varphi_n
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{N}\varphi_n
dx
=
n
また，(4.76)を使うと，
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}\varphi_n)^\ast
(\hat{a}\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
(c\varphi_{n-1})^\ast
(c\varphi_{n-1})
dx
=
|c|^2
\int_{-\infty}^\infty
|\varphi_{n-1}|^2
dx
=
|c|^2
\tag{4.77}
両者を比較すると$|c|^2=n$で，$c$を正の実数とすると$c=\sqrt{n}$なので，
\hat{a}\varphi_n=\sqrt{n}\varphi_{n-1}
\tag{4.78}
同様に，
$\hat{a}^\dagger\varphi_n$と$\varphi_{n+1}$は比例定数以外は共通なので，
\hat{a}^\dagger\varphi_n=c\varphi_{n+1}
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)^\ast
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{a}\hat{a}^\dagger\varphi_n
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast(\hat{N}+1)\varphi_n
dx
=
n+1
また
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)^\ast
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
(c\varphi_{n+1})^\ast
(c\varphi_{n+1})
dx
=
|c|^2
\int_{-\infty}^\infty
|\varphi_{n+1}|^2
dx
=
|c|^2
$c$を正の実数とすると，$c=\sqrt{n+1}$なので，
\hat{a}^\dagger\varphi_n=\sqrt{n+1}\varphi_{n+1}
\tag{4.79}
\hat{H}\varphi_n
=
\hbar\omega(\hat{N}+\frac{1}{2})\varphi_n
=
\hbar\omega(n+\frac{1}{2})\varphi_n
\tag{4.80}
これはエネルギー固有値$E_n$が
E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega,
\quad
(n=0,1,2,3,\cdots)
\tag{4.81}
で与えられることを示している．
演算子法によるエネルギー固有関数
演算子法は調和振動子のエネルギー固有関数を求めるためにも有用である．
基底状態に$\hat{a}$をかけると，
\hat{a}\varphi_0(x)=0
\tag{4.82}
(4.66)を代入すると，
\begin{align}
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\varphi_0(x)
&=0,
\\
x\varphi_0(x)
+
\frac{\hbar}{m\omega}
\frac{\partial\varphi_0(x)}{\partial x}
&=
0
\end{align}
\tag{4.83}
これは基底状態の波動関数$\varphi_0(x)$を決める微分方程式で，解は
\varphi_0(x)
=
\left(
\frac{m\omega}{\pi\hbar}
\right)^{\frac{1}{4}}
e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}
\tag{4.84}