ランダムなイベントの発生間隔$x$を表す分布は、通常、指数分布で表現されます。
\begin{align}
f(x)&=\lambda e^{-\lambda x}\\
\int_0^\infty f(x)dx&=\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^\infty=1\\
E[x]&=\int_0^\infty xf(x)dx=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda x}
=\frac{1}{\lambda}=\mu\\
\lambda&=\frac{1}{\mu}
\end{align}
ここで$x$は連続型の変数ですが、発生間隔を日単位などの離散型とした場合はどうなるのか気になったので調べてみました。
間隔が$x$となる確率は、$1$から$x-1$までは事象が発生せず、$x$で事象が発生する確率となります。
\begin{align}
f(x)&=\lambda(1-\lambda)^{x-1}\\
\sum_{x=1}^\infty f(x)&=\sum_{x=1}^\infty\lambda(1-\lambda)^{x-1}=\lambda\frac{1}{1-(1-\lambda)}=1\\
E[x]&=\sum_{x=1}^\infty x f(x)=\sum_{x=1}^\infty x\lambda(1-\lambda)^{x-1}
=\lambda\frac{1}{(1-(1-\lambda))^2}=\frac{1}{\lambda}=\mu\\
\lambda&=\frac{1}{\mu}
\end{align}
確率の計算式は少し異なりますが、パラメータと平均値の関係式は同じになりました。
実際には幾何分布と呼ばれていることが分かりました。