はじめに
QiitaでMathJaxが使えたことを思い出したので、ひろゆき氏が出していた問題で練習してみます。
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しがないエンジニアです。普段は資格の合格体験記などをベースに投稿しています。
本題
頭の体操だと思って、こちらの問題について解いてみました。（たぶんあっているはず。）
※元ネタはひろゆき氏の投稿です。
上記で出てくる積分を解いてみました。まず与式$(*)$は被積分関数を展開してみると、積分の線形性により2つにばらせます。
\begin{align}
&\int_{-2}^{2} \left(x^3 \cos \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}~dx\cdots(\ast)
\\
&=\underbrace{\int_{-2}^{2} \left(x^3 \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)\sqrt{4-x^{2}}~dx}_{(1):~\text{前半の積分}}
~+~
\underbrace{\frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2}}~dx}_{(2):~\text{後半の積分}}
\end{align}
以降では、$(1)$を前半の積分、$(2)$を後半の積分と呼ぶことにします。
ここで、後半の積分は原点中心で半径が$2$の円の面積の半分に$\frac{1}{2}$を掛けたものだから簡単に求められますので、下の式より$\pi$であることがわかります。
\begin{align}
\frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2}}~dx=\frac{1}{2}\left(\pi\times2^2 \times \frac{1}{2}\right)=\pi
\end{align}
また、前半の積分の被積分関数をよく観察すると、被積分関数が奇関数であることがわかります。
\begin{align}
f(x):&=x^3 \cos \left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}
\\
f(-x)&=(-x)^3 \cos \left(\frac{-x}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}=-x^3 \cos \left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}
\\
&=-f(x)
\end{align}
よって前半の積分については$0$であることがわかります。
以上より、
\begin{align}
(\ast)=(1)+(2)=0+\pi=\pi
\end{align}
が$(\ast)$の値ですね。私は前半の積分については気づかないとたぶん解けません。。
積分の値の最初から10桁がwifiのパスワードになっているとのことなので、$\pi$の最初から10桁がパスワードに該当するということでしょうか。小数点以下からなのか3を含めるのか何とも言えないところではありますが。
3.1415926535
補足
前半の積分については、変数変換（置換積分）などを試してみましたが、思うような答えが出ませんでした。被積分関数が奇関数と気づけば簡単ですね。
ChatGPTでも同じような解法を提案されました。
最後に
おそらく上記が一番手っ取り早い解法だと思います。他の解法もあれば知りたいところです。