はじめに
気まぐれで投稿してます。前回、積分の問題を久々にやったら楽しくなってしまったのでpart1と記載してますが事実上の第二弾になります。
Who am i ?
しがないエンジニアです。普段は資格の合格体験記などをベースに投稿しています。
本題
今回のお題です。
条件が何も書いていないので、ひとまず$x\in{\mathbb R}$として以下進めたいと思います。
\begin{align}
4^{\sin^{2}(x)} + 4^{\cos^{2}(x)} = 4 \cdots (*)
\end{align}
以下の式変形から容易に$x$が求まります。
\begin{align}
(*)&\Leftrightarrow 4^{\sin^{2}(x)} + 4^{\cos^{2}(x)} - 4 = 0 \\
&\Leftrightarrow 2^{2\sin^{2}(x)} + 2^{2\cos^{2}(x)} - 4 = 0 \\
&\Leftrightarrow \{2^{\sin^{2}(x)}\} ^ 2 + \{2^{\cos^{2}(x)}\} ^ 2 - 2\cdot 2^{\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)} = 0 \\
&\Leftrightarrow \{2^{\sin^{2}(x)} - 2^{\cos^{2}(x)}\} ^ 2 = 0 \\
&\Leftrightarrow 2^{\sin^{2}(x)} = 2^{\cos^{2}(x)} \\
&\Leftrightarrow \log_2 2^{\sin^{2}(x)} = \log_2 2^{\cos^{2}(x)} \\
&\Leftrightarrow \sin^{2}(x) = \cos^{2}(x) \\
&\Leftrightarrow \{\sin(x)+\cos(x)\} \{\sin(x)-\cos(x)\} = 0 \\
&\Leftrightarrow \sin(x) = \cos(x),~\sin(x) = -\cos(x) \\
&\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2},~n\in {\mathbb Z}
\end{align}
考察
ChatGPTに解かせてみたら、誤答が返ってきました。。頑張って解かせてみようと試みましたがダメでした。
1回目！
以下から誤答だとすぐに分かりますね。ChatGPTは指数・対数が苦手なのか。。。
\begin{align}
&2^{2\sin^{2}(x)} + 2^{2\cos^{2}(x)} - 4 = \{2^{\sin^{2}(x)} - 2^{\cos^{2}(x)}\} ^ 2 \geq 0 \\
&\Leftrightarrow 2^{2\sin^{2}(x)} + 2^{2\cos^{2}(x)} \geq 4 \\
\end{align}
ですが、常に$2^{2\sin^{2}(x)} + 2^{2\cos^{2}(x)} = 4$とは限らないので、明らかに誤りです。
なかなかシリアスな答えが返ってきました。
2回目！！
ここまではあってますね。ただし、次でミスってます。
今度は因数分解の公式がそもそも間違ってますね。。なかなか解いてくれません、、
\begin{align}
(a + b)(a - b) + (b - c)(b + c) &= a^2 - b^2 + b^2 - c^2 = a^2 - c^2 \\
&\neq a^2 + b^2 - c^2
\end{align}
3度目の正直！！！
次の「これにより～」という部分が誤答ですね。どこから答えだと推察したのか？ちょっと不明。
複数回試行しましたが、結局ChatGPTに解かせることは出来ませんでした。無念。
最後に
人間が解く分には簡単でしたね。三角関数・三角比の性質や指数・対数の基本的な性質がわかっていれば容易でしたが、ChatGPTは間違った答えを出したので驚きました。確認は大切ですね。