manifest.jsonのpermissionsにdownloads.shelfを追加した上で、chrome.downloads.setShelfEnabled(false)を実行する。(downloadsとは別なので注意。)

manifest.json

{
  "permissions": [
    "downloads",
    "downloads.shelf"
  ]
}

background.js

chrome.downloads.setShelfEnabled(false);

この設定は Chrome 全体におよぶので、他の拡張はおろかユーザーの個別ダウンロードでもシェルフが表示されなくなる。
他の拡張が無効にしたシェルフを有効に変更しようとすると、エラーが発生する。
シェルフが表示されている状態で無効にすると、シェルフが引っ込む。
set はあるが get はないので、現在の状態を確認する方法はない。
ダウンロード後に戻す場合、戻すのが早すぎるとシェルフが表示されてしまう。ダウンロード開始前に無効にし、ダウンロード完了後に有効に戻すといった細かい制御は難しい模様。