元のダメコードです。

import React from 'react';

function Base(props) {
  return (
    <div>
      {props.message}
    </div>
  );
}

export function Specialized(props) {
  return (
    <Base
      message={
        props.message,    ←値とJSX要素を一緒に指定したい
        <div>element</div>
      }
    />
  );
}

フラグメント使えばいけそうです(元々プロパティへ１要素指定は可能なので、フラグメントを使えば記述方法的に複数個の要素を内包可能)。

      message={
        <>
          {props.message}
          <div>element</div>
        </>
      }