整数問題のメモ。※解法の正しさは保証しません。

問題

以下を満たす自然数$p$と自然数$x$および$y$の組を求めよ。

p^{2} = x^{3} + y^{3}.

解答

右辺を因数分解する。

x^{3} + y^{3} = (x+y) ^{3} - 3xy(x+y) = (x+y)(x^{2} + y^{2} - xy).

右辺は

の積で表せることが分かった。

右辺が2つの式の積で表せることが分かったので、左辺も同様に2つの式の積で表す必要がある。$p$は素数なので、以下のパターンで尽きる。

$(-1) \times (-p^{2})$および$(-p) \times (-p)$のパターンについては、 $x+y > 0$であることから排除できる。

上記の結果を組み合わせると、以下のパターンを考えればよい。

$x \geq 1$, $y \geq 1$のため、$x + y \geq 2$である。したがって、 $x+y=1$を満たす自然数$x$, $y$の組は存在しない。

以下のように式変形する。

0 = x^{2} + y^{2} - xy - 1 = (x-y)^{2} + xy - 1.

$(x - y)^{2} \geq 0$であるから、

(x-y)^{2} = 1 - xy \geq 0

となる。この不等式を満たす自然数$x$, $y$は、$x=y=1$のみである。このとき、

p^{2} = x + y = 2

となるが、これを満たす素数$p$は存在しない。

$y = p - x$を代入して、$p$と$x$の2次方程式に変形する。

0 = -p + x^{2} + y^{2} - xy = -p + x^{2} + (p-x)^{2} - x(p-x) = 3x^{2} - 3px + p^{2} - p.

$x$は実数解を持つので、判別式$D$は$0$以上でなければならない。

D = (-3p) ^{2} - 4\cdot 3 \cdot (p^{2} - p) = -3p^{2} + 12p = -3p(p-4) \geq 0.

$p$は素数のため、上記条件式を満たすのは$p=2, 3$のみ。$p$を代入して、$x$を求める。

$p=2$の場合

3x^{2} - 6x + 2 = 0. \Rightarrow x = 1 \pm \frac{\sqrt{(-6) ^{2} - 4\cdot 3 \cdot 2}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.

$p=3$の場合

3x^{2} - 9x + 6 = 3(x-1)(x-2) = 0. \Rightarrow x = 1, \,\, 2.

$x$が自然数であるという条件を満たすのは、$p=3$の場合のみである。

$3 = p = x + y$、$x=1, 2$のため、

p=3, \quad (x, y) = (1,2), \,\, (2,1)

を得る。上記は$p$は素数、$x$および$y$が自然数という条件を満たす。