簡単な解決法

プログラムの先頭あたりに以下の 1 行を書くと、相対パスでも動くようになります。

chdir(__DIR__);

//-- PHP5.3以下の環境も考慮する必要がある場合は↓をchdir()の「前」に追加します
// if (!defined('__DIR__')) {
//     define('__DIR__', dirname(__FILE__));
// }

もちろん、相対パスではなく、絶対パスを使っても良いです。

file_get_contents('./example.txt');

　↓ ↓ ↓

file_get_contents(__DIR__ . '/example.txt');

調べ方

//-- パーミッションに注意
file_put_contents(__FILE__ . '.test.txt', getcwd());
exit;

で、結果を見比べてみると良いと思います。

上記を試せば分かる通り、cron から実行すると、「ワークディレクトリが、cron を実行するユーザーのホームディレクトリになるから」です。

「相対パス」というのは、読んで字の如く、○○を『基準』として『相対的に』ファイルのパスを表現する方法です。

ですので、そもそも基準となる○○が、自分が想定している場所と異なる（PHP ファイルのある場所ではない）のであれば、動かないのは当然ですよね。

chdir(__DIR__) は、「ワークディレクトリを、PHP ファイルのあるディレクトリへ変更する」という意味になりますので、cron からでも、PHP ファイルを『基準』にした、相対的なパスの指定が可能となるわけです。

PHP に限った話ではなく…

…といった事を意識しておくと、色んな事に応用が効くと思います。