結論

以下を追加します。

vue.config.js

module.exports = {
  devServer: {
    watchOptions: {
      poll: true
    }
  }
};

環境

Docker Desktop: Version 3.1.0
Alpine: Version 3.12
@vue/cli: 4.5.11

package.json

{
  "dependencies": {
    "core-js": "^3.6.5",
    "vue": "^2.6.11"
  },
  "devDependencies": {
    "@typescript-eslint/eslint-plugin": "^2.33.0",
    "@typescript-eslint/parser": "^2.33.0",
    "@vue/cli-plugin-babel": "~4.5.0",
    "@vue/cli-plugin-eslint": "~4.5.0",
    "@vue/cli-plugin-typescript": "~4.5.0",
    "@vue/cli-service": "~4.5.0",
    "@vue/eslint-config-prettier": "^6.0.0",
    "@vue/eslint-config-typescript": "^5.0.2",
    "eslint": "^6.7.2",
    "eslint-plugin-prettier": "^3.1.3",
    "eslint-plugin-vue": "^6.2.2",
    "prettier": "^1.19.1",
    "typescript": "~3.9.3",
    "vue-template-compiler": "^2.6.11"
  }
}

問題

Control options related to watching the files.

webpack uses the file system to get notified of file changes. In some cases, this does not work. For example, when using Network File System (NFS). Vagrant also has a lot of problems with this. In these cases, use polling:

引用: devServer.watchOptions

Vagrant 等のネットワークファイルシステム（NFS）使っている場合、webpack がファイル変更の通知を受け取れないことがあるらしいです。
Docker でも発生する模様。
そのため、定期的にポーリングを行うことでこの問題を解消します。

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