微分同相写像等の定義

この記事は

多様体に関する用語の定義を書籍(松本, 1988)¹から引用しています。忘れたときに見る用。
随時追記します。

##定義

###C^r 級写像

$U, V$をそれぞれ$R^{m}, R^{n}$の開集合とする.
写像$h:U \rightarrow V$が$C^{r}$級写像($C^r$ map)であるとは, $h$の座標表示$h=(h_1, h_2, ..., h_n)$に現れる関数$h_1, h_2, ..., h_n $がすべて$U$上の$C^{r}$級関数になることである.

###微分同相写像

写像$f:U \rightarrow V$が次の条件(1)(2)をみたすとき、$f$を**$C^{r}$級微分同相写像**($C^r$ diffeomorphism)という.
(1) $f:U \rightarrow V$は全単射である.
(2) $f:U \rightarrow V$も$f^{-1}:V \rightarrow U$もともに$C^r$級写像である.

###微分同相

$M, N$を$C^{r}$級多様体とする. $f:M \rightarrow N$が$C^{s}$級微分同相写像であるとは,
(1) $f:M \rightarrow N$は全単射(1対1かつ'上'への写像)であり,
(2) $f:M \rightarrow N$と$f^{-1}:N \rightarrow M$は, ともに$C^s$級写像である.

また、$MとN$の間に$C^{s}$級微分同相写像が存在するとき, $M$と$N$は互いに**$C^{s}$級微分同相**($C^{s}$ diffeomorphic)であるという

###全単射

1. 松本 幸夫, 多様体の基礎 (基礎数学5), 1988, 東京大学出版会. ↩