はじめに
第1回 マクスウェル方程式と波動方程式「https://qiita.com/epppJones/items/a48462e3b4dc0ab7cee6」
におきまして，恐れながらマクスウェル方程式と波動方程式の導出方法を説明させていただきました．電子レンジの例から分かるように，電磁波は他の物体に熱や振動を与えます．つまり，エネルギーを放出しながら伝搬しています．そのエネルギーはポインチングベクトルで表現されます（私の先生や，その師匠はポインチングと言っていますが，案外ポイン"ティ"ングのほうが一般的かもしれません...）．
電磁界のエネルギー
電界$\boldsymbol{E}$のエネルギー$u_E$と磁界$\boldsymbol{H}$のエネルギー$u_H$は次のように与えられますね．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
u_E = \cfrac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} = \cfrac{1}{2} \epsilon E^2 ~~~~(1)\\
u_H = \cfrac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H} = \cfrac{1}{2} \mu H^2 ~(2)
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，$E$，$H$は電界，磁界の大きさを表しており，最も右辺は構成方程式$\boldsymbol{D}=\epsilon \boldsymbol{E}~$および$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}~$を利用しています．式(1)と(2)はコンデンサーやソレノイドが蓄えるエネルギーから求めることができますね．
ポインチングベクトルの導出
電気回路の電流$I$と電圧$V$は，電気の磁界$\boldsymbol{H}$と電界$\boldsymbol{V}$と対応関係にあります．電気回路の電力が$VI$で与えられるとすれば，電磁波の電力（エネルギー）は$\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$となります．ただし，変形の都合上，発散記号($\nabla \cdot $)を付けて$\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})$とすることで，ベクトル解析の公式
$$
\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})
= \boldsymbol{H} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{E})
- \boldsymbol{E} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H})
\qquad(3)
$$
が利用できます．この式を眺めるとマクスウェル方程式および構成方程式
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
&(4) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
&(5) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
&= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&(6) \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
&= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
&(7)
\end{cases}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E} &(8)\\
\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H} &(9)
\end{cases}
\end{eqnarray}
が利用できそうですね，このため，以降は発散記号を付けた$\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})$を求めていきます．
\begin{align}
\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})
&= \boldsymbol{H} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{E})
- \boldsymbol{E} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H})\qquad\qquad~(式(3)より) \\
&= \boldsymbol{H} \cdot \left(
- \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
\right)
- \boldsymbol{E} \cdot \left(
\boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
\right)\qquad~~(式(6)と(7)より) \\
&= \boldsymbol{H} \cdot \left(
- \mu \cfrac{ \partial \boldsymbol{{H}}}{\partial t}
\right)
- \boldsymbol{E} \cdot \left(
\sigma \boldsymbol{E}
+ \epsilon \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
\right)~~(式(8)と(9)より) \\
&= - \cfrac{ \partial}{\partial t} \left(
\cfrac{1}{2} \mu H^2
\right)
- \cfrac{ \partial}{\partial t} \left(
\cfrac{1}{2} \epsilon E^2
\right)
- \sigma E^2 \\
&= - \cfrac{ \partial}{\partial t} \left(
\cfrac{1}{2} \mu H^2 + \cfrac{1}{2} \epsilon E^2
\right) - \sigma E^2 \qquad\qquad(10)
\end{align}
この式の$\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$をポインチングベクトル$\boldsymbol{S}$として定義します．
$$
\boldsymbol{S}
\equiv \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}
$$
ポインチングベクトルの大きさ$S$は単位面積あたりのエネルギー（エネルギー密度）$\rm[W/m^2]$を表していて，その向きは電磁波の進行方向に一致します．
エネルギーの流れとポインチングベクトル
改めて，式(10)を書き下すと次のようになります．この式の第2項は，冒頭(1)・(2)式で述べた電磁界のエネルギーにほかなりませんね．
$$
\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})
- \cfrac{ \partial}{\partial t} \left(
\cfrac{1}{2} \mu H^2 + \cfrac{1}{2} \epsilon E^2
\right)
= - \sigma E^2 \qquad(再掲10)
$$
(右辺)の$- \sigma E^2$はジュール熱によるエネルギーで熱損失を表しています（理由は後述します）．ところで，第1回で述べた連続の式を思い出すと
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{j} + \cfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0
$$
ですので，式(10)の(左辺)は連続の式に一致します．つまり，式(10)の(左辺)には次の意味があるといえます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} &:閉曲面から流出するエネルギー \\
\cfrac{1}{2} \mu H^2 + \cfrac{1}{2} \epsilon E^2 &: 閉曲面内のエネルギー変化
\end{cases}
\end{eqnarray}
連続の式の右辺が0となっているのは，エネルギーが保存（差し引き0）することを意味していています．逆に，右辺に何等かの項が存在すれば，エネルギーの増幅あるいは損失があるといえます．これが，式(10)の左辺が熱損失であると述べた理由です．逆に，損失がない媒質を電磁波が伝搬するのであれば，式(10)の右辺は0となり，エネルギーが保存します．
$$
\nabla \cdot (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H})
- \cfrac{ \partial}{\partial t} \left(
\cfrac{1}{2} \mu H^2 + \cfrac{1}{2} \epsilon E^2
\right)
= 0 \qquad(10)'
$$
無損失媒質を考えるときは$\sigma=0$としますが，これは式(10)において(熱)損失がない$\leftrightarrow$式(10)の(右辺)$=0\leftrightarrow\sigma=0$というわけですね．