はじめに
マクスウェル方程式は電磁気現象を記述する方程式です．電磁波伝搬やアンテナの電磁界を解析するためには，このマクスウェル方程式が起点となります．本記事では，マクスウェル方程式から波動方程式を計算してみます．
マクスウェル方程式（微分系）
電磁界を説明する最も基本的なものが，電界$\boldsymbol{E}$と磁界$\boldsymbol{H}$，およびその（面積）密度である電束密度$\boldsymbol{D}$と磁束密度$\boldsymbol{B}$です．これらを使って，マクスウェル方程式は以下4本の方程式で記述されます（各式の意味は書籍やネット記事に譲らせていただきます）．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
&(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
&(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
&= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&(拡張されたアンペールの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
&= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
&(ファラデーの電磁誘導の法則)
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，$\rho$は電荷密度です．$\boldsymbol{j}$は電流密度であり，次のように与えられます．
$$
\boldsymbol{j} = \sigma \boldsymbol{E}
$$
$\sigma$は電気伝導率です．また，電界$\boldsymbol{E}$・磁界$\boldsymbol{H}$と，電束密度$\boldsymbol{D}$・磁束密度$\boldsymbol{B}$は物体の媒質定数である誘電率$\sigma$，透磁率$\mu$を用いて，次のように関係づけられます．これを構成方程式と呼びます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{eqnarray}
波動方程式
電磁波のふるまいは波動方程式により記述されます．まず，任意の振動をする波動の方程式を求めます．ここでは，簡単のために考えている領域に電荷が存在しない（$\rho=0$）という条件を課します．この場合，電束密度に関するガウスの法則の右辺が0となります．改めて，この条件の下のマクスウェル方程式は次の通りです．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = 0
&(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
&(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
&= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&(拡張されたアンペールの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
&= - \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
&(ファラデーの電磁誘導の法則)
\end{cases}
\end{eqnarray}
まず，ファラデーの電磁誘導の法則の両辺に回転($\nabla \times$)を施します．
$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E})
= - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{B})
$$
ここで，(左辺)はベクトル解析の公式
$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})
= \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}
- \nabla^2 \boldsymbol{A}
$$
を活用すると，
\begin{align}
(左辺)
&= \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) \\
&= \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{E}
- \nabla^2 \boldsymbol{E} \\
&= - \nabla^2 \boldsymbol{E}
\qquad(\because~条件より\nabla \cdot \boldsymbol{D} = 0)
\end{align}
一方で，右辺については次のように変形できます．
\begin{align}
(右辺)
&= - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{B}) \\
&= - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mu \boldsymbol{H}) \\
&= - \mu \cfrac{\partial}{\partial t} \left(
\boldsymbol{j} + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
\right)~~(\because~~拡張されたアンペールの法則より)\\
&= - \mu \cfrac{\partial}{\partial t} \left(
\sigma\boldsymbol{E} + \epsilon\cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
\right)~~(\because~~構成方程式より)\\
&= - \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
- \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2}
\end{align}
したがって，(左辺)=(右辺)より，電界に関する波動波動方程式が得られます．
$$
\nabla^2 \boldsymbol{E}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2}
$$
同様にして，磁界に関する波動方程式も次のように与えられます．
$$
\nabla^2 \boldsymbol{H}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{H}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
$$
電磁波の伝搬速度
電磁波の伝搬速度を考えてみます．ここでは，簡単のために伝搬している媒質に無損失媒質$\sigma=0$を想定します．この場合の電磁界の波動方程式は$\sigma=0$として，次のようになりますね．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{E}
= \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2} \\
\nabla^2 \boldsymbol{H}
= \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
\end{cases}
\end{eqnarray}
ところで，一般的な波動関数$\boldsymbol{u}$の波動方程式は次のように与えられます．
$$
\nabla^2 \boldsymbol{u}
= \cfrac{1}{v^2} \cfrac{\partial \boldsymbol{u} }{ \partial t }
$$
ここで，$v$は波動関数$\boldsymbol{u}$の伝搬速度を表しています．これらの波動方程式を見比べると，電磁波は
$$
v^2 = \cfrac{1}{\epsilon\mu}
\qquad\rightarrow\qquad
v = \cfrac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}
$$
なる速度で伝搬していることが分かります．もし，電磁波が真空を伝搬するとき，その速度$v_0$は
$$
v = \cfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} = 3.0 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}
$$
となります．$\epsilon_0$は真空の誘電率，$\mu_0$は真空の透磁率です．
マクスウェルの第一，二電磁方程式？？
最初に説明したマクスウェル方程式の電束密度・磁束密度に関するガウスの法則は，残りの2式から導出できます．このため，拡張されたアンペールの法則・ファラデーの電磁誘導の法則をマクスウェルの第一電磁方程式，電束密度・磁束密度に関するガウスの法則をマクスウェルの第二電磁方程式と呼びます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
&(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
&(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
&= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&(拡張されたアンペールの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
&= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
&(ファラデーの電磁誘導の法則)
\end{cases}
\end{eqnarray}
では，実際に確かめてみます．ここでは，拡張されたアンペールの法則から電束密度に関するガウスの法則を求めてみます．拡張されたアンペールの法則の両辺に左から発散($\nabla \cdot$)をとります．
$$
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H})
= \nabla \cdot \left(
\boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
\right)
$$
ここで，ベクトル解析の公式$~\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A})=0~$を活用すると，(左辺)=0となりますね．そのため，
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{j}
- \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D}) = 0 \qquad(1)
$$
となります．ここで，左辺第1項は，発散の意味を思い出せば，単位体積からあふれ出る電流(密度)を意味していますね．さらに視点を変えると単位体積内の電荷の時間変化でもあります．つまり
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{j} = - \cfrac{\partial \rho}{\partial t} \qquad(2)
$$
となります．右辺に「$-$」符号がついているのは，単位体積から電流があふれ出ているとは，内部から見れば電荷が外に向かって減少しているからです．これを連続の式といいます．この式を使えば，(1)式の(左辺)は次のように書けますね．
\begin{align}
(左辺)
&=\nabla \cdot \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D}) \\
&= - \cfrac{\partial \rho}{\partial t}
+ \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D})
\quad(\because~~(2)式より)\\
&= \cfrac{\partial}{\partial t} (-\rho + \nabla \cdot \boldsymbol{D})
\end{align}
したがって，(1)式の(左辺)=(右辺)より次が成立しますね．
$$
-\rho + \nabla \cdot \boldsymbol{D} = 0
\qquad\rightarrow\qquad
\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho
$$
この式は，電束密度に関するガウスの法則にほかなりません．