はじめに
第1回 「マクスウェル方程式と波動方程式」におきまして，任意の振動をする電磁波に対する波動方程式を紹介させていただきました．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{E}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2} \\
\nabla^2 \boldsymbol{H}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{H}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
\end{cases}
\end{eqnarray}
もし，電磁波が周期的に振動をする場合，電磁波はよりシンプルな形で表現されます．これをベクトルヘルムホルツ方程式と呼びます．
周期振動
電気回路では，電流・電圧に複素正弦波を用いることで，複雑な微分方程式を簡単な代数方程式にして解析を行うことがあります．電磁波工学でも複素正弦波に近似して解析することがあります．以降では，
1. 時間領域での電磁界
2. 時間領域での電磁界を複素ベクトル表示に書き換え
3. 書き換えた電磁界を使ったマクスウェル方程式
という流れで展開していきます．
時間領域
電界$\boldsymbol{E}$と磁界$\boldsymbol{H}$が時間$t$にしたがって，正弦波状に変化するとき，
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} &=|\boldsymbol{E}| \sin(\omega t + \theta) ~\quad(1)\\
\boldsymbol{H} &=|\boldsymbol{H}| \sin(\omega t + \theta) \quad(2)\\
\end{cases}
\end{eqnarray}
と書けますね．$\omega$は角周波数，$\theta$は位相を表しています．
複素ベクトル表示
式(1)と(2)を指数形式に書き換えます．電気回路と同様に，実行値=最大値/$\sqrt{2}$を用います．今，電界と磁界の（最大）振幅$|\boldsymbol{E}|$，$|\boldsymbol{H}|$は実行値(ドット記号で表記)を用いると
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
|\boldsymbol{E}| = \sqrt{2} |\boldsymbol{\dot{E}}| \\
|\boldsymbol{H}| = \sqrt{2} |\boldsymbol{\dot{H}}|
\end{cases}
\end{eqnarray}
となります．この関係を用いると，式(1)と(2)は次のように書けます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E}
~= |\boldsymbol{E}| e^{j(\omega t + \theta)}
= \sqrt{2} |\boldsymbol{\dot{E}}| e^{j(\omega t + \theta)}
~= \sqrt{2} \left( |\boldsymbol{\dot{E}}| e^{j\theta} \right)e^{j\omega t}
~\equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}~~~~~(1)'\\
\boldsymbol{H}
= |\boldsymbol{H}| e^{j(\omega t + \theta)}
= \sqrt{2} |\boldsymbol{\dot{H}}| e^{j(\omega t + \theta)}
= \sqrt{2} \left( |\boldsymbol{\dot{H}}| e^{j\theta} \right)e^{j\omega t}
\equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t}~~~(2)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，最右辺の$\boldsymbol{\dot{E}}$と$\boldsymbol{\dot{H}}$を複素ベクトル表示と呼びます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{\dot{E}} ~= |\boldsymbol{\dot{E}}| e^{j\theta} ~~= \cfrac{|\boldsymbol{E}|}{\sqrt{2}}e^{j\theta}\quad(3)\\
\boldsymbol{\dot{H}} = |\boldsymbol{\dot{H}}| e^{j\theta} = \cfrac{|\boldsymbol{H}|}{\sqrt{2}}e^{j\theta}\quad(4)
\end{cases}
\end{eqnarray}
複素ベクトル表示のメリット
この定義から分かるように，複素ベクトルには実効値と位相情報だけが含まれています．つまり，この複素ベクトル表示を使うことで，時間因子$e^{j \omega t}$を分離して取り扱うことができるメリットがあります（後述します）．もし，時間因子が欲しければ，単純に電磁界を$e^{j \omega t}$倍すればよいことになります．
次で述べますが複素ベクトルは指数形式で表現されているので，微分が驚くほどシンプルになります．
複素ベクトルを使ったマクスウェル方程式
時間領域で表示したマクスウェル方程式は，次の通りです．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
&(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
&(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
&= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&(拡張されたアンペールの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
&= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
&(ファラデーの電磁誘導の法則)
\end{cases}
\end{eqnarray}
このうち，拡張されたアンペールの法則とファラデーの電磁誘導の法則の法則には時間微分が含まれていますね．ここで，登場するのが前述の複素ベクトル表示です．
拡張されたアンペールの法則の複素ベクトル表示
改めて，拡張されたアンペールの法則は次の通りです．
$$
\nabla \times \boldsymbol{H}
= \boldsymbol{j}
+ \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
$$
まず，(左辺)は複素ベクトル表示式(3)と(4)より次のようになります．
\begin{align}
(左辺)
= \nabla \times \boldsymbol{H}
&= \nabla \times \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t} \right) \\
&= \sqrt{2} e^{j \omega t} \left( \nabla \times \boldsymbol{\dot{H}} \right) \\
\end{align}
ここで，$\nabla$は場所に関する微分なので，時間因子$e^{j \omega t}$は外に出せます．(右辺)についても複素ベクトル表示式(3)と(4)より次のようになります．
\begin{align}
(右辺)
= \boldsymbol{j} + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
&= \sigma \boldsymbol{E} + \epsilon \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t} \\
&= \sigma \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right)
+ \epsilon \cfrac{\partial}{\partial t} \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right) \\
&= \sigma \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right)
+ j \sqrt{2} \omega \epsilon \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right) \\
&= \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} (\sigma + j \omega \epsilon) e^{j \omega t}
\end{align}
よって，(左辺)=(右辺)から，次式を得ます．
\begin{align}
\sqrt{2} e^{j \omega t} \left( \nabla \times \boldsymbol{\dot{H}} \right)
&= \sqrt{2} e^{j \omega t} (\sigma + j \omega \epsilon) \boldsymbol{\dot{E}} \\
\therefore~~
\nabla \times \boldsymbol{\dot{H}}
&= (\sigma + j \omega \epsilon) \boldsymbol{\dot{E}}
\end{align}
ミソは，時間項$e^{j \omega t}$をキャンセルできた点です．
ファラデーの電磁誘導の法則の複素ベクトル表示
改めて，ファラデーの電磁誘導の法則は次の通りです．
$$
\nabla \times \boldsymbol{E}
= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
$$
拡張されたアンペールの法則の法則と同様に変形すると，その複素ベクトルは次のようになります．
$$
\nabla \times \boldsymbol{\dot{E}}
= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}}
$$
ここまでのまとめ
電磁波が正弦波振動する場合，その電磁界は複素ベクトルを使って，次のように書けます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}~~~~~~\quad(再掲1)'\\
\boldsymbol{H} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t}~~~~\quad(再掲2)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
これを利用すると，拡張されたアンペールの法則とファラデーの電磁誘導の法則は次のようになります．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \times \boldsymbol{\dot{H}}
&= (\sigma + j \omega \epsilon) \boldsymbol{\dot{E}} \\
\nabla \times \boldsymbol{\dot{E}}
&= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}}
\end{cases}
\end{eqnarray}
ベクトルヘルムホルツ方程式
最後に，一般の波動方程式
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{E}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2} \\
\nabla^2 \boldsymbol{H}
= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{H}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
\end{cases}
\end{eqnarray}
を複素ベクトル表示
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}~~~~~~\quad(再掲1)'\\
\boldsymbol{H} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t}~~~~\quad(再掲2)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
を使って書き換えます．ここでは，電界に関する波動方程式を導出してみます．まず，(左辺)は
\begin{align}
(左辺)
= \nabla^2 \boldsymbol{E}
&= \nabla^2 \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right) \\
&= \sqrt{2} e^{j \omega t} \nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
\end{align}
となります．また，(右辺)は次のようになります．
\begin{align}
(右辺)
&= \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2} \\
&= \mu\sigma \cfrac{\partial}{\partial t} \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right)
+ \mu\epsilon \cfrac{\partial^2}{\partial t^2} \left( \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \right) \\
&= j \sqrt{2} \omega \mu \sigma \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}
- \sqrt{2} \omega^2 \mu \epsilon \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}
\end{align}
よって，(左辺)=(右辺)から次を得ます．
\begin{align}
\sqrt{2} e^{j \omega t} \nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
&= j \sqrt{2} \omega \mu \sigma \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}
- \sqrt{2} \omega^2 \mu \epsilon \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \\
\therefore~~
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
&= (-\omega^2 \mu \epsilon + j \omega \mu \sigma) \boldsymbol{\dot{E}}
\end{align}
ミソはやはり時間因子$e^{j \omega t}$をキャンセルできている点ですね．同様の手順により，磁界についても
$$
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}}
= (-\omega^2 \mu \epsilon + j \omega \mu \sigma) \boldsymbol{\dot{H}}
$$
となります．ここで，
$$
\dot{k}^2 \equiv \omega^2 \mu \epsilon + j \omega \mu \sigma
$$
とすれば，複素正弦波振動する電磁界に関する波動方程式は次のようになります．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}} ~+ \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} =0 \\
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}} + \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}} =0
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここに，$k$を波数と呼びます．また，この方程式をベクトルヘルムホルツ方程式と呼びます．
ここまでのまとめ
電磁波が正弦波振動する場合，その波動方程式は複素ベクトル表示
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t}~~~~~~\quad(再掲1)'\\
\boldsymbol{H} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t}~~~~\quad(再掲2)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
により，時間微分が簡単化され，時間因子もキャンセルできるため，シンプルに表現できます．このときの波動方程式をベクトルヘルムホルツ方程式と呼び，次のように与えられます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}} ~+ \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} =0 \\
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}} + \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}} =0
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここに，$k$を波数と呼びます（別の記事で説明してみます）．
波数
ベクトルヘルムホルツ方程式で出てきた波数$k$は
$$
\dot{k}^2 \equiv \omega^2 \mu \epsilon + j \omega \mu \sigma
$$
のように定義されていました．電磁波が無損失媒質（$\sigma=0$）を伝搬する場合は$実数$となりますね．
$$
\dot{k}^2 \equiv \left. \omega^2 \mu \epsilon + j \omega \mu \sigma \right|_{\sigma=0} = \omega^2 \epsilon \mu = k^2
$$
最右辺の$k$は，$\sigma=0$により波数が実数になったため，ドット記号を外しています．ここで，「第1回 マクスウェル方程式と波動方程式」で説明した電磁波の伝搬速度$~v=1/\sqrt{\epsilon\mu}~$を利用すると，$k$は次のように変形できます．
$$
k^2 = \omega^2 (\mu\epsilon) = \cfrac{\omega^2}{v^2}
\qquad\rightarrow\qquad
k = \cfrac{\omega}{v} = \cfrac{2 \pi f}{v} = \cfrac{2 \pi}{\lambda}
$$
この式から，波数$k$は$2\pi$を波長$\lambda$で除したものであるので，単位長さあたりの位相変化を表しています．つまり，$k$にある長さ（距離）を乗ずると，その長さに対する位相変化量を知ることができます．