第5回 電磁波の伝搬方向と波数ベクトル

はじめに

「第4回　電磁波（ベクトルヘルムホルツ方程式）の解」では，正弦波振動をする電磁波が満たすベクトルヘルムホルツ方程式

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2  \boldsymbol{\dot{E}}
  ~= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} ~\quad(1)\\
\nabla^2  \boldsymbol{\dot{H}}
  = - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}} \quad(2)
\end{cases}
\end{eqnarray}

の解をもとめました．直交座標系で記述すると

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{E}_x &= \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(3)\\
\dot{E}_y &= \dot{E}_{0y} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(4)\\
\dot{E}_z &= \dot{E}_{0z} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(5)
\end{cases}
\end{eqnarray}

であり，ベクトル表記をすれば

\boldsymbol{\dot{E}} 
  = \boldsymbol{\dot{E}}_0 e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }\tag{6}

\begin{eqnarray}
ただし\begin{cases}
\boldsymbol{\dot{E}_0} = (\dot{E}_{0x}, ~\dot{E}_{0y}, ~\dot{E}_{0z}) \\
\boldsymbol{k} ~~~= (k_x, ~k_y, ~k_z) \\
\boldsymbol{r} ~~~= (x, ~y, ~z)
\end{cases}
\end{eqnarray}

となります．ベクトルヘルムホルツ方程式とその解には波数（ベクトル）$k$が含まれていますね．波数の大きさは「第2回　周期的に振動する電磁波の波動方程式」で触れましたが

$$
k^2
= \left. \omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma \right|_{\sigma=0}
=\omega^2 (\mu\epsilon) = \cfrac{\omega^2}{v^2}
\qquad\rightarrow\qquad
k = \cfrac{\omega}{v} = \cfrac{2 \pi f}{v} = \cfrac{2 \pi}{\lambda} \tag{7}
$$

と与えられることから，その意味は単位長さ（距離）あたりの位相変化でした．一方で，波数はベクトルとしての側面も持っています．実は波数ベクトルの方向は電磁波の伝搬方向と深く関係しています．本記事では波数ベクトルの方向と電磁波の進行方向との関係をまとめます．

電磁波の伝搬方向

本記事では，電界の向き，磁界の向きおよび電磁波の伝搬方向が互いにどのような関係にあるのかを調べます．ここでは，簡単のために次のような条件を課しましょう．

• (条件1) 電磁波は正弦波振動しているとする．（$\rightarrow$電磁波はベクトルヘルムホルツ方程式を満たす）
• (条件2) 進行波のみを考える（空間には媒質定数が同じ媒質が無限に広がっているとします）
• (条件3) 空間中に電荷はない（$\rho=0$）

(条件1)より，電磁波は次のベクトルヘルムホルツ方程式を満足し，

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2  \boldsymbol{\dot{E}}
  ~= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} ~\quad(再掲1)\\
\nabla^2  \boldsymbol{\dot{H}}
  = - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}} \quad(再掲2)
\end{cases}
\end{eqnarray}

(条件2)より，上の方程式を解けば電界$\boldsymbol{\dot{E}}$は

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{E}_x &= \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(再掲3)\\
\dot{E}_y &= \dot{E}_{0y} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(再掲4)\\
\dot{E}_z &= \dot{E}_{0z} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(再掲5)
\end{cases}
\end{eqnarray}

となりますね（第4回記事より）．また，(条件3)を考慮すると，電束密度に関するガウスの法則は次のようになります．

$$
\nabla \cdot \boldsymbol{\dot{D}} = \nabla \cdot (\epsilon \boldsymbol{\dot{E}})=0
\qquad\rightarrow\qquad \nabla \cdot \boldsymbol{\dot{E}}=0 \qquad(8)
$$

これらの条件を用いて，以降，1)電界の向きと伝搬方向の関係，2)磁界の向きと伝搬方向の関係，3)電界の向きと磁界の向きについて順に述べます．

電界の向きと伝搬方向の関係

式(3)～(5)より電界$\boldsymbol{\dot{E}}$は次のようになります．

\boldsymbol{\dot{E}}
  =(\dot{E}_x,~\dot{E}_y,~\dot{E}_z)
  =\left(
     \dot{E}_{0x}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}},~
     \dot{E}_{0y}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}},~
     \dot{E}_{0z}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
  \right) \tag{9}

これを用いて，式(8)の(左辺)を直交座標系に展開すると次のようになります．

\begin{align}
[式(8)の(左辺)]
  = \nabla \cdot \boldsymbol{\dot{E}}
 &= \cfrac{\partial \dot{E}_x}{\partial x}
  + \cfrac{\partial \dot{E}_x}{\partial y}
  + \cfrac{\partial \dot{E}_x}{\partial z} \\
 &= \cfrac{\partial}{\partial x} \left( \dot{E}_{0x}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \right)
  + \cfrac{\partial}{\partial y} \left( \dot{E}_{0y}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \right)
  + \cfrac{\partial}{\partial z} \left( \dot{E}_{0z}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \right) \tag{10}
\end{align}

ここで，第1項の偏微分は

\begin{align}
\cfrac{\partial}{\partial x} \left( \dot{E}_{0x}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \right)
  &= \dot{E}_{0x} \cfrac{\partial}{\partial x} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} ~~
    (\because \dot{E}_{0x}は任意定数) \\
  &= \dot{E}_{0x} \cfrac{\partial}{\partial x} e^{- j(k_x x + k_y y + k_z z)} \\
  &= \dot{E}_{0x} (-jk_x) e^{- j(k_x x + k_y y + k_z z)} \\
  &= -j k_x \dot{E}_{0x} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
\end{align}

です．第2,3項についても同様の手順で計算できます．このため，式(8)の(左辺)である式(10)は次のようになります．

\begin{align}
[式(8)の(左辺)] 
 &= -j k_x \dot{E}_{0x} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
    -j k_y \dot{E}_{0y} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
    -j k_z \dot{E}_{0z} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \\
 &= -j(k_x \dot{E}_{0x} + k_y \dot{E}_{0y} + k_z \dot{E}_{0z}) e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}~~~
    (式(6)より\boldsymbol{\dot{E}} \equiv(\dot{E}_{0x},~\dot{E}_{0y},~\dot{E}_{0z}))\\
 &= -j (\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{E}_0})e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
\end{align}

これが，式(8)の(右辺)，すなわち「0」になりますので，(左辺)=(右辺)より次の関係を得ます．

$$
-j (\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{E}_0})e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} = 0
\qquad\rightarrow\qquad \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{E}_0} = 0~~~
(\because e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \neq 0) \tag{10}
$$

以上より，波数ベクトル$\boldsymbol{k}$と電界$\boldsymbol{\dot{E}_0}$の内積が0，つまり，波数ベクトルと電界は直交していることが判明しました．

磁界の向きと伝搬方向の関係

磁界についても，磁束密度に関するガウスの法則

$$
\nabla \cdot \boldsymbol{\dot{B}} = \nabla \cdot (\mu\boldsymbol{\dot{H}}) = 0
\qquad\rightarrow\qquad
\nabla \cdot \boldsymbol{\dot{H}} = 0
$$

を用いれば，電界のときと同様の手順で次の関係が得られます．

$$
\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{H}_0} = 0 \tag{11}
$$

したがって，波数ベクトルと磁界は直交していることがわかります．

電界の向きと磁界の向きの関係

最後に，電界の向きと磁界の向きの関係を調べます．そのために，ファラデーの電磁誘導の法則を用います．今，条件(1)より電磁界は正弦波振動しているので，ファラデーの電磁誘導の法則は次のように与えられます（詳細は第2回記事）．

$$
\nabla \times \boldsymbol{\dot{E}}
= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}} \tag{12}
$$

この式の(左辺)を直交座標系で展開します．電界$\boldsymbol{\dot{E}}$は

\boldsymbol{\dot{E}}
  =(\dot{E}_x,~\dot{E}_y,~\dot{E}_z)
  =\left(
     \dot{E}_{0x}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}},~
     \dot{E}_{0y}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}},~
     \dot{E}_{0z}e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
  \right) \tag{再掲9}

ですので，式(12)の(左辺)は次のようになります．

\begin{align}
[式(12)の(左辺)]
  &= \nabla \times \boldsymbol{\dot{E}} \\ 

  &=\begin{vmatrix}
        \boldsymbol{i} &\boldsymbol{j} &\boldsymbol{k} \\
        \cfrac{\partial}{\partial x} &\cfrac{\partial}{\partial y} &\cfrac{\partial}{\partial z} \\
        \dot{E}_x & \dot{E}_y & \dot{E}_z
  \end{vmatrix} \\

  &= \left( 
        \cfrac{ \partial \dot{E}_z }{ \partial y } - \cfrac{ \partial \dot{E}_y }{ \partial z }
  \right) \boldsymbol{i}
   + \left( 
        \cfrac{ \partial \dot{E}_x }{ \partial z } - \cfrac{ \partial \dot{E}_z }{ \partial x }
  \right) \boldsymbol{j}
   + \left( 
        \cfrac{ \partial \dot{E}_y }{ \partial x } - \cfrac{ \partial \dot{E}_x }{ \partial y }
  \right) \boldsymbol{k} \\

  &= \left(
        -j k_y \dot{E}_{0z} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
        + j k_z \dot{E}_{0y} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} 
  \right) \boldsymbol{i} \\

  &\qquad+ \left(
        -j k_z \dot{E}_{0x} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
        + j k_x \dot{E}_{0z} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} 
  \right) \boldsymbol{j} \\

   &\qquad+ \left(
        -j k_x \dot{E}_{0y} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
        + j k_y \dot{E}_{0x} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} 
  \right) \boldsymbol{k} \\

  &= -j e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} (-j k_y \dot{E}_{0z} + j k_z \dot{E}_{0y} ) \boldsymbol{i}  \\
  &\qquad -j e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}(-j k_z \dot{E}_{0x} + j k_x \dot{E}_{0z} ) \boldsymbol{j} \\
  &\qquad -j e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}(-j k_x \dot{E}_{0y} + j k_y \dot{E}_{0x}) \boldsymbol{k} \\
  
  &= -j e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \left( \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{\dot{E}_0} \right)
\end{align}

一方で，式(12)の(右辺)は次のようになります．

$$
[式(11)の(右辺)]
= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}}
= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}_0} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
$$

よって，式(12)におきまして(左辺)=(右辺)から次の関係が得られます．

$$
-j e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} \left( \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{\dot{E}_0} \right)
= -j \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}_0} e^{- j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}
\qquad\rightarrow\qquad
\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{\dot{E}_0} = \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}_0} \tag{13}
$$

この関係から，電界$\boldsymbol{\dot{E}_0}$と磁界$\boldsymbol{\dot{H}_0}$は直交していることが分かります．

まとめ

電界$\boldsymbol{\dot{E}_0}$と磁界$\boldsymbol{\dot{H}_0}$および波数ベクトル$\boldsymbol{k}$は

\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{E}_0} &= 0 ~\qquad\qquad(再掲10)\\
\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\dot{H}_0} &= 0 ~\qquad\qquad(再掲11)\\
\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{\dot{E}_0} &= \omega \mu \boldsymbol{\dot{H}_0} \qquad(再掲(13)
\end{cases}
\end{eqnarray}

なる関係があることが分かりました．つまり，電界と磁界と波数ベクトルは互いに直交関係にあります．このことから，電磁波は，電界$\boldsymbol{\dot{E}_0}$と磁界$\boldsymbol{\dot{E}_0}$が互いに直交して振動しながら，波数ベクトル$\boldsymbol{k}$の向きに伝搬しているということになります．