はじめに
簡単な高校数学を用いて人工衛星の周期や速度を求めてみます．
等速円運動する物体の運動
一定の速度$~v~$で，円運動（半径$~r~$）する物体の加速度$~a~$は次式で表現できます．
$$
a=r \omega^2=\frac{v^2}{r}~~\left(\because \omega=\frac{v}{r}\right) \tag{1}
$$
ここで，$~\omega~$は物体の角速度を表します．
ニュートンの運動方程式
ニュートンの運動方程式によると，加速度$a$で運動する質力$m$の物体に働く力は以下のように与えられます．
$$
F=ma \tag{2}
$$
衛星の速度・周期
式(2)の運動方程式を用いて衛星の運動を表現します．まず，高度$h$で地球を周回する人工衛星の加速度は，式(1)を参考に次式で表現できます．
$$
a=\frac{v^2}{R+H} \tag{3}
$$
一方，万有引力の法則によると，質力$~m~$の人工衛星と，質量$~M~$の地球の間には以下の力$~F~$が働きます．
$$
F=G\frac{Mm}{(R+H)^2} \tag{4}
$$
ここで，$~G~$は万有引力定数を表します．式(2)の運動方程式に上の式(3)と(4)を代入します．
$$
\begin{align}
F &=ma \
G\frac{Mm}{(R+H)^2} &=m\frac{v^2}{R+H} \tag{5}\
\end{align}
$$
式(5)を衛星の速度$~v~$について変形すると次式が得られます．
$$
v=\sqrt{\frac{MG}{R+H}} \tag{6}
$$
また，衛星が地球を1周回する時間(周期)$~T~$は，衛星の角速度$~\omega~$を用いると次式で表現できます．
$$
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{v}(R+H)~~~~\left(\because \omega=\frac{衛星速度}{半径}=\frac{v}{R+H}\right)
$$