順位係数って何ぞや
二つのデータ（変量）が数値でなく順位で与えられている場合があります．例えば，
- 学習の習熟度
- 病気の重症度
- 好みの程度
などがありますね．
| A | $a_1$ | $a_2$ | $\cdots$ | $a_N$ |
|---|---|---|---|---|
| B | $b_1$ | $b_2$ | $\cdots$ | $b_N$ |
$a_1,a_2,\cdots,a_N$，$b_1,b_2,\cdots,b_N$は$1$から$N$までの値となり，同順位は含まないとします．この時，
\begin{equation}
r_s=1-\frac{6[(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots+(a_N-b_N)^2]}{N(N^2-1)}
\end{equation}
のことをスピアマンの順位相関係数（Spearman's rank correlation coefficient）と呼んでいます．
具体例
ある学校の10人の学生について，「手の器用さの順位」と「コンピューターの習熟度の順位」について調べました（表）．
| サンプル | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 手の器用さ | $5$ | $6$ | $9$ | $3$ | $2$ | $4$ | $8$ | $10$ | $7$ | $1$ |
| コンピューターの 習熟度 |
$7$ | $5$ | $6$ | $3$ | $4$ | $1$ | $8$ | $9$ | $10$ | $2$ |
スピアマンの順位相関係数を求めてみましょう．計算を簡単にするために，次の様な表を作成します．
| サンプル | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $a_i$ | $5$ | $6$ | $9$ | $3$ | $2$ | $4$ | $8$ | $10$ | $7$ | $1$ |
| $b_i$ | $7$ | $5$ | $6$ | $3$ | $4$ | $1$ | $8$ | $9$ | $10$ | $2$ |
| $a_i-b_i$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $0$ | $-2$ | $3$ | $0$ | $1$ | $-3$ | $1$ |
| $(a_i-b_i)^2$ | $4$ | $1$ | $9$ | $0$ | $4$ | $9$ | $0$ | $1$ | $9$ | $1$ |
したがって，
\begin{equation}
r_s=1-\frac{6\times(4+1+9+0+4+9+0+1+9+1)}{10\times(10^2-1)}=0.7697
\end{equation}
となり，「手の器用さ」と「コンピューターの習熟度」には正の相関があることが分かりました．
参考
石村貞夫，"統計解析のはなし"，東京図書，1989年