はじめに
第2回「周期的に振動する電磁波の波動方程式」におきまして，電磁波が正弦波振動をする場合の波動方程式であるベクトルヘルムホルツ方程式を紹介いたしました．この記事では，ベクトルヘルムホルツ方程式の解を求めてみます．
ベクトルヘルムホルツ方程式
第2回で紹介したように，正弦波振動する電界$\boldsymbol{E}$と磁界$\boldsymbol{H}$は
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{E} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{E}} e^{j \omega t} \\
\boldsymbol{H} \equiv \sqrt{2} \boldsymbol{\dot{H}} e^{j \omega t}
\end{cases}
\end{eqnarray}
のように表されます．ここで，$\boldsymbol{\dot{E}}$と$\boldsymbol{\dot{H}}$は，電界$\boldsymbol{E}$と磁界$\boldsymbol{H}$の複素ベクトル表示であり，次のように与えられます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{\dot{E}} ~= |\boldsymbol{\dot{E}}| e^{j\theta} ~~= \cfrac{|\boldsymbol{E}|}{\sqrt{2}}e^{j\theta}\\
\boldsymbol{\dot{H}} = |\boldsymbol{\dot{H}}| e^{j\theta} = \cfrac{|\boldsymbol{H}|}{\sqrt{2}}e^{j\theta}
\end{cases}
\end{eqnarray}
これらから次のようなベクトルヘルムホルツ方程式が得られます（詳細は第2回）．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
~= - (\omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma) \boldsymbol{\dot{E}}
~= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} \qquad(1)\\
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}}
= - (\omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma) \boldsymbol{\dot{H}}
= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}} \qquad(2)
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，$\dot{k}$を波数と呼び，以下のように定義しています．
$$
\dot{k}^2 \equiv \omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma \qquad(3)
$$
なお，無損失媒質（$\sigma=0$）の場合，波数$k$は
$$
k^2
= \left. \omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma \right|_{\sigma=0}
=\omega^2 (\mu\epsilon) = \cfrac{\omega^2}{v^2}
\qquad\rightarrow\qquad
k = \cfrac{\omega}{v} = \cfrac{2 \pi f}{v} = \cfrac{2 \pi}{\lambda}
$$
と表すことができ，単位距離あたりの位相変化量を表しています（$v$は伝搬速度）．
条件設定
ここでは，簡単のために無損失媒質（$\sigma=0$）を考えます．この場合，式(1)と(2)のベクトルヘルムホルツ方程式は以下のようになりますね．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
&= -\omega^2 \mu \epsilon \boldsymbol{\dot{E}} ~\qquad(4)\\
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}}
&= -\omega^2 \mu \epsilon \boldsymbol{\dot{H}} \qquad(5)
\end{cases}
\end{eqnarray}
直交座標系への展開
ここでは，電界に関するベクトルヘルムホルツ方程式(4)を直交座標系$(x,y,z)$で展開してみます．ラプラシアンは$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$であり，電界を$\boldsymbol{\dot{E}}=(\dot{E}_x,\dot{E}_y,\dot{E}_z)$とすると，式(4)は次のように分解されます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial x^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial y^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial z^2}
= - \omega^2 \epsilon \mu \dot{E}_x \qquad(6)\\
\cfrac{\partial^2 \dot{E}_y}{\partial x^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_y}{\partial y^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_y}{\partial z^2}
= - \omega^2 \epsilon \mu \dot{E}_y ~\qquad(7)\\
\cfrac{\partial^2 \dot{E}_z}{\partial x^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_z}{\partial y^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_z}{\partial z^2}
= - \omega^2 \epsilon \mu \dot{E}_z ~\qquad(8)\\
\end{cases}
\end{eqnarray}
ベクトルヘルムホルツ方程式の解
式(6)～(8)の偏微分方程式を解いてみます．ここで，$\dot{E}_x,\dot{E}_y,\dot{E}_z$はそれぞれが$x,y,z$の関数$\dot{E}_x(x,y,z),~\dot{E}_y(x,y,z),~\dot{E}_z(x,y,z)$ですので，そのまま偏微分するのは骨が折れます．そこで，各変数を$\dot{E}_x=\dot{X}\dot{Y}\dot{Z}$のように分離した形で表現します（変数分離法）．ここでは，式(6)を解いてみます．
\begin{align}
[式(6)の左辺]
&= \cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial x^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial y^2}
+ \cfrac{\partial^2 \dot{E}_x}{\partial z^2} \\
&= \cfrac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \dot{X}\dot{Y}\dot{Z} \right)
+ \cfrac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \dot{X}\dot{Y}\dot{Z} \right)
+ \cfrac{\partial^2}{\partial z^2} \left( \dot{X}\dot{Y}\dot{Z} \right) \\
&= \dot{Y}\dot{Z} \cfrac{\partial^2 \dot{X}}{\partial x^2}
+ \dot{X}\dot{Z} \cfrac{\partial^2 \dot{Y}}{\partial y^2}
+ \dot{X}\dot{Y} \cfrac{\partial^2 \dot{Z}}{\partial z^2} \\
[式(6)の右辺]
&= - \omega^2 \epsilon \mu \dot{E}_x \\
&= - \omega^2 \epsilon \mu \left( \dot{X}\dot{Y}\dot{Z} \right)
\end{align}
両辺を$\dot{X}\dot{Y}\dot{Z}$で割ると，次のようになります．
$$
\cfrac{1}{\dot{X}} \cfrac{\partial \dot{X}}{\partial x^2}
- \cfrac{1}{\dot{Y}} \cfrac{\partial \dot{Y}}{\partial y^2}
- \cfrac{1}{\dot{Z}} \cfrac{\partial \dot{Z}}{\partial z^2}
= - \omega^2 \epsilon \mu \qquad(9)
$$
この式の(右辺)は式(3)で紹介した波数$k$を用いて次のように書き換えられます．
$$
\dot{k}^2
\equiv \left. \omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma \right|_{\sigma=0}
= \omega^2 \mu \epsilon
= k^2 \qquad(10)
$$
最右辺でドット記号が外れるのは，波数$k$が$\sigma=0$により実数になるからです．さらに，式(9)の(右辺)の各項を$-\dot{k}_x^2,-\dot{k}_y^2,-\dot{k}_z^2$とおいて，次のように表します．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\cfrac{1}{\dot{X}} \cfrac{\partial^2 \dot{X}}{\partial x^2} = -k^2_x \qquad(11)\\
\cfrac{1}{\dot{Y}} \cfrac{\partial^2 \dot{Y}}{\partial x^2} = -k^2_y ~\qquad(12)\\
\cfrac{1}{\dot{Z}} \cfrac{\partial^2 \dot{Z}}{\partial x^2} = -k^2_z ~\qquad(13)
\end{cases}
\end{eqnarray}
これらの各々の微分方程式の解を足し合わせたものが，式(9)の解となります（このようにいったん変数を分離して解を求め，それを足し合わせることで元の方程式の解を得る，というのが変数分離法の醍醐味ですね）．例えば，式(11)の解として$\dot{X}=e^{\lambda x}$を想定すると，(右辺)は次のようになりますね．
$$
[式(11)の左辺]
=\cfrac{1}{\dot{X}} \cfrac{\partial^2 \dot{X}}{\partial x^2}
= \cfrac{1}{e^{\lambda x}} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( e^{\lambda x} \right)
= \lambda^2
$$
式(11)の[左辺]=[右辺]より次の関係が得られます．
$$
\lambda^2 = - k^2_x
\qquad\rightarrow\qquad
\lambda = \pm j k_x
$$
ゆえに，式(7)の解$\dot{X}$は任意定数$\dot{X}_0,\dot{X}_1$を用いて，次のように表されますね．
$$
\dot{X} = \dot{X_0} e^{-j k_x x} + \dot{X_1} e^{j k_x x}
$$
式(12)，(13)も同様の方法で計算できます．あらためて，式(11)～(13)の解を列挙します．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{X} &= \dot{X_0} e^{-j k_x x} + \dot{X_1} e^{j k_x x} \qquad(14)\\
\dot{Y} &= \dot{Y_0} e^{-j k_y y} ~+ \dot{Y_1} e^{j k_y y} ~\qquad(15)\\
\dot{Z} &= \dot{Z_0} e^{-j k_z z} ~+ \dot{Z_1} e^{j k_z z} \qquad(16)
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，式(14)～(16)の第1項は，$x,y,z$の正の向きに伝搬する電磁波，第2項は**$x,y,z$の負の向きに伝搬する電磁波（反射波）**を意味しています．反射波は，媒質定数が異なる媒質間を電磁波が伝搬するときに生じます．ここでは，同じ媒質が無限に広がっている状況を仮定すると，第2項が消えます．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{X} &= \dot{X_0} e^{-j k_x x} \qquad(14)'\\
\dot{Y} &= \dot{Y_0} e^{-j k_y y} ~\qquad(15)'\\
\dot{Z} &= \dot{Z_0} e^{-j k_z z} ~\qquad(16)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
ようやく，式(6)の解$\dot{E}_x$が次のように与えられます．$\dot{E}_x=\dot{X}\dot{Y}\dot{Z}$でしたから，解$\dot{E}_x$は次のようになります．
\begin{align}
\dot{E}_x
= \dot{X}\dot{Y}\dot{Z}
&= \left(\dot{X_0} e^{-j k_x x} \right)
\left(\dot{Y_0} e^{-j k_y y} \right)
\left(\dot{Z_0} e^{-j k_z z} \right) \\
&= \dot{X_0} \dot{Y_0} \dot{Z_0} e^{-j(k_x x + k_y y + k_z z)} \\
&= \dot{E}_{0x} e^{-j(k_x x + k_y y + k_z z)}~~~(\because \dot{E}_{0x} \equiv \dot{X_0} \dot{Y_0} \dot{Z_0})
\end{align}
上式の変形では，$\dot{X_0} \dot{Y_0} \dot{Z_0}$をまとめて$\dot{E}_{0x}$で表しています．また，指数部分($k_x x + k_y y + k_z z$)を眺めると，ベクトルの内積が見えてきます．そこで，次のように定義します．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{k} &= (k_x,~k_y,~k_z) \\
\boldsymbol{r} &= (x,~y,~z)
\end{cases}
\end{eqnarray}
これを利用すると，
\dot{E}_x = \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
となります．$\boldsymbol{k}$を波数ベクトルといいます．改めて，式(6)～(8)の解を書き並べると次のようになりますね．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{E}_x &= \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(13)\\
\dot{E}_y &= \dot{E}_{0y} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(14)\\
\dot{E}_z &= \dot{E}_{0z} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(15)
\end{cases}
\end{eqnarray}
ところで，ベクトルヘルムホルツ方程式は時間因子$e^{j \omega t}$はキャンセルされているため，位相情報のみを含んでいます．式(13)～(15)の$e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }$は，まさに位相項です（位置$\boldsymbol{k}$によって，位相が異なる様子を表しています）．この位相項は式(13)～(15)で共通です．そこで，
\boldsymbol{\dot{E}}_0 \equiv \dot{E}_{0x} + \dot{E}_{0y} + \dot{E}_{0z}
なる量を定義すれば，直交座標系で展開したベクトルヘルムホルツ方程式の解は次のようにまとめられます．
\boldsymbol{\dot{E}} = \boldsymbol{\dot{E}}_0 e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
なお，しつこいようですが，この解は反射波成分が無視された形です．反射波まで考慮すると
\boldsymbol{\dot{E}} =
\boldsymbol{\dot{E}}_0 e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
+ \boldsymbol{\dot{E}}_1 e^{j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
となります（反射波は位相が反転する様子も分かりますね）．
まとめ
ベクトルヘルムホルツ方程式
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{E}}
~= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{E}} \\
\nabla^2 \boldsymbol{\dot{H}}
= - \dot{k}^2 \boldsymbol{\dot{H}}
\end{cases}
\end{eqnarray}
の解を直交座標系で記述すると
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{E}_x &= \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(13)\\
\dot{E}_y &= \dot{E}_{0y} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(14)\\
\dot{E}_z &= \dot{E}_{0z} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(15)
\end{cases}
\end{eqnarray}
となります．ここでは，反射波成分を無視していますが，反射波が存在する場合は次のようになります．
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\dot{E}_x &= \dot{E}_{0x} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
+ \dot{E}_{1x} e^{j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(13)' \\
\dot{E}_y &= \dot{E}_{0y} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
+ \dot{E}_{1y} e^{j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(14)' \\
\dot{E}_z &= \dot{E}_{0z} e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
+ \dot{E}_{1z} e^{j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} } \qquad(15)'
\end{cases}
\end{eqnarray}
ここで，指数部分（$e^{j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }$）を位相項と呼び，位置$\boldsymbol{r}$における位相を表しています．さらに，
\boldsymbol{\dot{E}}_0 \equiv \dot{E}_{0x} + \dot{E}_{0y} + \dot{E}_{0z}
なる量を定義すれば，直交座標系のベクトルヘルムホルツ方程式の解は次のようにまとめられます（反射波は無視）．
\boldsymbol{\dot{E}}
= \boldsymbol{\dot{E}}_0 e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} }
ベクトル$\boldsymbol{k}$
\boldsymbol{k} = (k_x,~k_y,~k_z)
を波数ベクトルと呼びます．その大きさ$k$は無損失媒質（$\sigma=0$）の場合
$$
\dot{k}^2 \equiv \left. \omega^2 \mu \epsilon - j \omega \mu \sigma \right|_{\sigma=0} = k^2
$$
のように与えられます．波数ベクトルの詳細は別の記事で述べます．