・　極座標系で花弁を描く
・　Z軸を加える
・　巻き上げる

グランディの🌹バラ

ルイージ・グイド・グランディ (Luigi Guido Grandi) さんは、17-18世紀の、イタリアの数学者です。グランディさんは、sin 関数や cos 関数を使ってバラを描く研究をしたことで知られています。

Grandi's Rose Curves (English Wikipedia)

🌹バラを描く

バラじゃないじゃないか、というご意見もあるかと思いますが、まずはここからスタートします。

Grandi_5

clear;

a = 3;
k = 5;

t = 0:.01:2*pi;

r = a*cos(k*t);

figure;
plot(r.*cos(t), r.*sin(t), '.');
axis equal;
axis off;

言語はMATLABです。他の言語でも、ほぼ同じ書き方になると思いますが、変数 r や、変数 t は一次元の行列です。また、.* は、行列の要素を順番に掛けてくれるもので、行列を一度に演算する際には短いコードで書けますね。

花弁を持ち上げます

次に、適当なZ軸の関数を加えて花弁を持ち上げていきます。Z軸に、f(x) = x^2 のような単純な関数を利用することで丸く持ち上がります。適当に係数を調節していきます。

花弁を作る際には、極座標系で、半径rと角度theta （変数名はt）を利用して、少しずつ原点を中心として回転しながら作ります。面のように見えますが、中身は、原点から花弁のふちまで連続した点を打っていきます。そのため、だんだんと色が薄くなっていると思います。

rose3D

clear;
close all;

a = 3;
k = 5;

t = 0:.01:2 * pi;

rmax = a*cos(k*t);

xmax = rmax.*cos(t);
ymax = rmax.*sin(t);
v = [xmax; ymax];
v = v';

figure;
hold on;
plot(rmax.*cos(t), rmax.*sin(t), '.');
for k = 1:length(t)
    theta = t(k);
    r = [0: .001: 1];
    x = v(k,1) * r;
    y = v(k,2) *r;
    z = x.^2 /(a * 3);
    plot3(x, y, z, '-b');
end
axis off;

im = getframe(gcf);
imwrite(im.cdata, 'flat.png', 'png');

% change view manually
ax=gca;
ax.View = [-2.1580   70.7664];

均等に持ち上げる

このままでも自然な花の感じがしてよいのですが、このあと🌹バラの花にするためには、花弁を広くして、巻き上げるほうがいいですね。巻き上げる際に、徐々にZ軸を上げていかないといけないので、まずはZ軸方向に均等に、同じ高さまで持ち上げる方法に変更します。

variation1

figure;
hold on;
plot(rmax.*cos(t), rmax.*sin(t), '.');
for k = 1:length(t)
    theta = t(k);
    r = [0: .001: 1];
    x = v(k,1) * r;
    y = v(k,2) *r;
    d = hypot(x, y);
    z = d.^2 /(a * 3);
    plot3(x, y, z, '-b');
end
axis off;

% change view manually
ax=gca;
ax.View = [-2.1580   70.7664];

巻き上げる

バラじゃないじゃん、という指摘もあると思いますので、少しだけ手を加えてみます。中心角　theta (変数名はt) の周り加減の、周波数を変えてみて、花弁を大きくしてみます。

下のコードのZ軸にあるように、回転するに従って、上のほうに巻いていくようにします。図では見にくいかもしれせんが、花弁は、f(x) = x ^ 2 の式の一部を使って、ゆるくカーブしています。

variation2

clear;
close all;

a = 3;
k = 1.8;

t = 0:.01:9*pi/k;

rmax = a*cos(k*t);

xmax = rmax.*cos(t);
ymax = rmax.*sin(t);
v = [xmax; ymax];
v = v';

figure;
hold on;
plot(rmax.*cos(t), rmax.*sin(t), '.');
for k = 1:length(t)
    theta = t(k);
    r = [0: .001: 1];
    x = v(k,1) * r;
    y = v(k,2) *r;
    d = hypot(x, y);
    z = d.^2 /(a * 2 + theta);
    plot3(x, y, z, '-b');
end
plot3(xmax, ymax, hypot(xmax, ymax).^2./(a * 2 + t),'.m')
axis off;

% change view manually
ax=gca;
ax.View = [-2.1580   70.7664];

違う角度から見せたいので、gif 動画にしてみました！　立体感がわかるかと思います。けっこうきれいにできました！

ここでまだ、一番端の花弁がちぎれているのを直すとか、だんだんZ軸の上のほうに行くにしたいが、花弁が大きくなってしまっているのを小さくするとか、などなどを適当な関数を使って直してあげる、ということがありますが、今回はここまでにして終わります。

スピログラフ

スピログラフ (Spirograph)　は、もっとあとになって発明されたもので、子供のときにおもちゃとして使ったことがあるかもしれません。

実はこれがグランディの🌹バラそのもので、同じ原理を使っています。

グランディの🌹バラを立体的に描く