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最大元、最小元、上界、下界、上限、下限

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はじめに

この記事は、
- 最大元(greatest element)、最小元(smallest element)
- 上界(upper bound)、下界(lower bound)
- 上限(supremum)、下限(infimum)
の定義を自分なりにまとめたものです。

お願い

間違ってる部分やわかりにくい部分がある場合は、コメントで知らせていただくとありがたいです。

最大元(greatest element)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とします。
このとき、
「ある$a \in B$が存在して、任意の$x \in B$について$x \leq a$」
という命題が真となる、$a$を$B$のgreatest elementとよびます。それを$\max B$と表すこともあります。
その命題を記号で表すと以下のようになります。
$$
{}^\exists a \in B, {}^\forall x \in B \left[ x \leq a\right]
$$

最小元(smallest element)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とします。
このとき、
「ある$a \in B$が存在して、任意の$x \in B$について$x \geq a$」
という命題が真となる、$a$を$B$のsmallest elementとよびます。それを$\min B$と表すこともあります。
その命題を記号で表すと以下のようになります。
$$
{}^\exists a \in B, {}^\forall x \in B \left[ x \geq a\right]
$$

上界(upper bound)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とします。
このとき、
「ある$a \in A$が存在して、任意の$x \in B$について$x \leq a$」
という命題が真となる、$a$を$B$のupper boundと呼びます。その命題を記号で表すと以下のようになります。
$$
{}^\exists a \in A, {}^\forall x \in B \left[ x \leq a \right]
$$

下界(lower bound)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とします。
このとき、
「ある$a \in A$が存在して、任意の$x \in B$について$x \geq a$」
という命題が真となる、$a$を$B$のlower boundと呼びます。その命題を記号で表すと以下のようになります。
$$
{}^\exists a \in A, {}^\forall x \in B \left[ x \geq a \right]
$$

上限(supremum)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とし、$B$のupper boundの集合を
$$
\bar{B}=\left\{ a \in A \mid {}^\forall x \in B\left[ x \leq a\right] \right\}
$$とします。このとき、$\bar{B}$の最小元$\min \bar{B}$を$B$のsupremumと呼び、$\sup B$と書きます。

下限(infimum)

ある半順序集合を$A$とし、$A$の部分集合を$B$とし、$B$のlower boundの集合を
$$
\bar{B}=\left\{ a \in A \mid {}^\forall x \in B\left[ x \geq a\right] \right\}
$$とします。このとき、$\bar{B}$の最大元$\max \bar{B}$を$B$のinfimumと呼び、$\inf B$と書きます。

まとめ

  • 最大元(greatest element)、最小元(smallest element)
  • 上界(upper bound)、下界(lower bound)
  • 上限(supremum)、下限(infimum) の定義を書いてみました。 定義の写経をすると、その定義と親密になれた気持ちになります。 某翼くんよろしく、定義と友達になれたら最高ですね。
elephant_raion
Concept drift, Online learning, 機械学習の理論的な保証に関心があります。
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