例題 1.1.5
$f: A \to B$を写像とするとき、次の（１）、(2)が同値であることを証明せよ。
(1) $f$は単射である。
(2) 任意の部分集合$S\subset A$に対し、$f^{-1}(f(S)) = S$である。
証明
次の２命題が成り立つとき、(1)と(2)は同値である。
- (1) $\Rightarrow$ (2)
- (2) $\Rightarrow$ (1)
(1)⇒(2)を示す。
次の２命題が成り立つとき、(2)も成り立つ。
- $\forall S \subset A, ; S \subset f^{-1}(f(S))$ ・・・ ①
- $\forall S \subset A, ; f^{-1}(f(S)) \subset S$ ・・・ ②
①が成り立つことを示す。
$A$の任意の部分集合を$S$とする。
このとき、$S$の像は$f(S) = \{f(a) \mid a \in S\}$となる。
また、$f(S)$の逆像は$f^{-1}(f(S)) = \{ a \in A \mid f(a) \in f(S)\}$である。
$f(S)$の定義より、$f^{-1}(f(S))$は$S$の元$a$を含む。
したがって、次が成り立つ。つまり、①が成り立つ。
a \in S \Rightarrow a \in f^{-1}(f(S))
②が成り立つことを示す。
$A$の任意の部分集合を$S$とする。
逆像$f^{-1}(f(S))$の元を$a$とすると、$f^{-1}(f(S))$の定義より、$a$の像$f(a)$は像$f(S)$に属する。すなわち、次が成り立つ。
a \in f^{-1}(f(S)) \Rightarrow f(a) \in f(S)
f(S)の定義より、$f(a) = f(a')$となる元$a'$が$S$に属する。
(1)より$f$は単射なので、$a=a'$である。したがって、$a \in S$である。
すなわち、次が成り立つ。つまり、②が成り立つ。
a \in f^{-1}(f(S)) \Rightarrow a \in S
①、②が成り立つため、(1)⇒(2)も成り立つ。
(2)⇒(1)を示す。
$A$の２元を$a,a'$とし、$f(a)=f(a')$が成り立つとする。
集合$\{a\}, \{a'\}$を(2)の$S$としてみれば、次が成り立つ。
f^{-1}(f(\{a\})) = \{a\}, \; f^{-1}(f(\{a'\})) = \{a'\}
$f(a) = f(a')$より、$f(\{a\})= \{ f(a) \} = \{f(a')\} = f(\{a'\})$である。
したがって、$f^{-1}(f(\{a\})) = \{a\} = \{a'\}$である。
すなわち、$a=a'$である。
以上より、次が成り立つ。
f(a) = f(a') \Rightarrow a = a'