「実数列の和」の極限 = 「実数列の極限」の和

#命題
実数列$\{a_n \}, \{b_n \}$の極限がそれぞれ$\lim_{n \to \infty} a_n=\alpha,\lim_{n \to \infty} b_n=\beta$ならば、

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta
\end{align}

である。

#証明
$\{a_n \}, \{b_n \}$の極限がそれぞれ$\alpha, \beta$であることから、${}^\forall \epsilon/2 > 0$に対して以下の命題が成り立つ。

{}^\exists N_1 \in \mathbb{N}, {}^\forall n > N_1, |a_n - \alpha | < \epsilon/2 \\
{}^\exists N_2 \in \mathbb{N}, {}^\forall n > N_2, |b_n - \beta | < \epsilon/2

ここで、$N = \max \{ N_1, N_2\}$とすると、上記の命題と三角不等式により、${}^\forall n > N$に対して以下の命題が成り立つ。

 |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \leq |a_n - \alpha| + | b_n - \beta| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon

すなわち、

{}^\forall n > N, |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| < \epsilon

が成り立つ。以上のことをまとめると以下の命題が成り立つということが示された。

{}^\forall \epsilon > 0,{}^\exists N \in \mathbb{N}, {}^\forall n > N, |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| < \epsilon 

つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n=\alpha, \lim_{n \to \infty} b_n=\beta$ならば、

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta
\end{align}

である。