こちらで作成したプログラムを、Node.js のサーバーで動かしてみました。
Ubuntu で Flutter を使う

Node.js のサーバーのインストール

sudo npm install -g http-server

ビルドをする

flutter build web

次のように作成されます。

$ tree build/web -L 2
build/web
├── assets
│   ├── AssetManifest.json
│   ├── FontManifest.json
│   ├── NOTICES
│   ├── fonts
│   └── packages
├── favicon.png
├── flutter_service_worker.js
├── icons
│   ├── Icon-192.png
│   └── Icon-512.png
├── index.html
├── main.dart.js
├── manifest.json
└── version.json

buid/web でサーバーを実行します。

$ cd build/web/

$ http-server
Starting up http-server, serving ./
Available on:
  http://127.0.0.1:8080
  http://192.168.1.8:8080
  http://10.64.227.1:8080
Hit CTRL-C to stop the server

ブラウザーでアクセスした結果

次のバージョンで確認しました。

$ flutter --version
Flutter 3.1.0-0.0.pre.2054 • channel master • https://github.com/flutter/flutter
Framework • revision 00a4773ded (2 hours ago) • 2022-08-02 23:38:07 -0400
Engine • revision c456476277
Tools • Dart 2.19.0 (build 2.19.0-58.0.dev) • DevTools 2.16.0