モナド則に具体的な値をいれて理解を深めてみましょう。
今回はListを使ってみます。
モナド則
モナド則を確認しておきましょう。
return x >>= f == f x
m >>= return == m
(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g)
Listの実装
Listの実装を確認しておきます。
return x = [x]
x >>= f = foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] x
モナド則に具体的な値をいれてみよう
return x >>= f == f x
xが1 で fが \a -> [a+1] の場合
左辺
return x >>= f
-- xは1である
return 1 >>= f
-- return を適用
[1] >>= f
-- >>= を適用
foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] [1]
-- foldrを適用
f 1 ++ []
-- fは \a -> [a+1]
(\a -> [a+1]) 1 ++ []
-- 無名関数を適用
[1+1] ++ []
-- 残りを計算
[2]
右辺
f x
-- xは1である
f 1
-- fを適用
[1+1]
-- 残りを計算
[2]
右辺と左辺が一致した
xが1 で fが \a -> [a, a+1] の場合
左辺
return x >>= f
-- xは1である
return 1 >>= f
-- return を適用
[1] >>= f
-- >>= を適用
foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] [1]
-- foldrを適用
(\y acc -> f y ++ acc) 1 []
-- 無名関数を処理
f 1 ++ []
-- fを置き換えて、関数を適用
[1, 1+1] ++ []
-- 残りを計算
[1, 2]
右辺
f x
-- xは1である
f 1
-- fを適用
[1, 1+1]
-- 残りを計算
[1, 2]
右辺と左辺が一致した
m >>= return == m
mが []の場合
左辺
m >>= return
-- mは[]
[] >>= return
-- >>= を適用
foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] []
-- foldrを適用
[]
mに一致する。
mが [1]の場合
左辺
m >>= return
-- mは[]
[1] >>= return
-- >>= を適用
foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] [1]
-- foldrを適用
(\y acc -> f y ++ acc) 1 []
-- 無名関数を処理
f 1 ++ []
-- fを適用
return 1 ++ []
-- returnを適用
[1] ++ []
-- 残りを処理
[1]
mに一致した。
mが [1, 2]の場合
左辺
m >>= return
-- mは[]
[1, 2] >>= return
-- >>= を適用
foldr (\y acc -> f y ++ acc) [] [1, 2]
-- foldrを適用
(\y acc -> f y ++ acc) 1 $ (\y acc -> f y ++ acc) 2 []
-- $より後ろを処理
(\y acc -> f y ++ acc) 1 [2]
-- 無名関数を適用
f 1 ++ [2]
-- fを適用
return [2] ++ [2]
-- returnを適用
[1] ++ [2]
-- 残りを処理
[1, 2]
mに一致した。
(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g)
m が [1], fが \a -> [a+1]、 gが \b -> [b+2]` の場合
左辺
(m >>= f) >>= g
-- 疲れたので一気に処理(心の声)
[1 + 1] >>= g
[2] >>= g
[2+2]
[4]
右辺
m >>= (\x -> f x >>= g)
foldr (\y acc -> (\x -> f x >>= g) y ++ acc) 1 []
((\x -> f x >>= g) 1) ++ []
(f 1 >>= g) ++ []
([1 + 1] >>= g) ++ []
[2 + 2] ++ []
[4]
m が [1, 2], fが \a -> [a+1]、 gが \b -> [b+2]` の場合
左辺
(m >>= f) >>= g
([1, 2] >>= f) >>= g
[2, 3] >>= g
[4, 5]
右辺
m >>= (\x -> f x >>= g)
foldr (\y acc -> (\x -> f x >>= g) y ++ acc) [1,2] []
([1+1] >>= g) ++ ([2+1] >>= g) ++ []
[2+2] ++ [3+2] ++ []
[4, 5]
左辺と右辺が一致した。
雰囲気がだけ察してほしい。
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