モナド則に具体的な値をいれて理解を深めてみましょう。
今回はMaybeモナドを使ってみます。
モナド則
モナド則を確認しておきましょう。
return x >>= f == f x
m >>= return == m
(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g)
Maybeの実装
Maybeモナドの実装を確認しておきます。
return x = Just x
x >>= f = case x of
Just y -> f y
Nothing -> Nothing
モナド則に具体的な値をいれてみよう
return x >>= f == f x
xが1の場合
左辺
return x >>= f
-- xは1である
return 1 >>= f
-- return を適用
Just 1 >>= f
-- >>= を適用
case (Just 1) of
Just y -> f y
Noting -> Nothing
-- Just yにマッチするので
f 1
右辺
f x
-- x は1である
f 1
右辺と左辺が一致した
まとめ
関数fに使う値をreturnしてから使うのと、そのまま使っても結果は変わらないことがかくにんできました。returnした値にfを使う方法が>>=と読めそうですね。
m >>= return == m
mが Just 1の場合
左辺
m >>= return
-- m はJust 1である
Just 1 >>= return
-- >>= を適用
case (Just 1) of
Just y -> return y
Nothing -> Nothing
-- caseを処理する。 Just y にマッチする
return 1
-- returnを適用
Just 1
右辺
m
-- mはJust 1である
Just 1
mが Nothingの場合
右辺
m >>= return
-- mはNothingである
Nothing >>= return
-- >>= を適用
case Nothing of
Just y -> return y
Nothing -> Nothing
--- caseを処理する。Nothingにマッチする
Nothing
左辺
m
-- mはNothingでらう
Nothing
左辺と右辺が一致した。
まとめ
returnを使っても値が変化しないことが確認できました。
(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g)
m が Just 1の場合
左辺
(m >>= f) >>= g
-- m は Just 1である
(Just 1 >>= f) >>= g
-- 左の >>= を適用
(case Just 1 of
Just y -> f y
Nothing -> Nothing) >>= g
-- caseを処理する。Just y にマッチする
f 1 >>= g
右辺
m >>= (\x -> f x >>= g)
-- m は Just 1 である
Just 1 >>= (\x -> f x >>= g)
-- >>= を適用
case Just 1 of
Just y -> (\x -> f x >>= g) y
Nothing -> Nothing
-- caseを処理。 Just y にマッチする
(\x -> f x >>= g) 1
-- ラムダ式を処理する
f 1 >>= g
左辺に一致した
m が Nothingの場合
左辺
(m >>= f) >>= g
-- m はNothingである
(Nothing >>= f) >>= g
-- 左の >>= を適用
(case Just 1 of
Just y -> f y
Nothing -> Nothing) >>= g
-- caseを処理する。Nothing にマッチする
Nothing >>= g
-- >>= を適用
case Nothing of
Just y -> f y
Nothing -> Nothing
-- caseを処理する。Nothingにマッチする
Nothing
右辺
m >>= (\x -> f x >>= g)
-- mはNothingである
Nothing >>= (\x -> f x >>= g)
-- >>= を適用
case Nothing of
Just y -> (\x -> f x >>= g)
Nothing -> Nothing
--- caseを処理する。Nothingにマッチする
Nothing
右辺と左辺が一致した
まとめ
どちらの>>=を先につかっても結果が一致することが確認できました。
最後のまとめ
モナド則は >>= と return の性質を説明しているのに過ぎません。
>>= は m a を a -> m a という型の関数と組み合せて使えるようにする演算子です。
return はもっとも基本的な a -> m aです。
第１法則は return x >>= f == f x >>= return と書くと交換法則のようにみえますね
第２法則は returnが単位元のようにみえますね。
第３法則は どちらの>>=を先に計算しても結果が一致する結合法則のようにみえますね。
ところで、登場した値は m aと a -> m a です。 a -> m a な値に、m aを使うとaをおきかえて m a -> m (m a) になります。m (m a)という型が登場していますが、モナド則に現れません。>>=をつかって a -> m aを使うと m (m a)にならず、m aのままになるのがポイントです。