試し方

上に添付したリリース記事に記載されているとおり、コンパイラオプションとして -Xcontext-receivers を追加した上で起動すれば大丈夫です。
ちなみにgradleを使っている場合は以下のように書けば動きます。（gradleをKotlinで書いている場合の例です）

tasks.withType<KotlinCompile> {
    kotlinOptions.freeCompilerArgs = listOf("-Xcontext-receivers")
}

サンプルコード

以下のようなコードで動きます。
context receiversがまだプロトタイプ版のためIntelliJ上ではエラーになるかもしれませんが、実行すれば動きます。

data class LoginContext(
    val userId: Long,
    val userName: String,
    val email: String
)

fun main(args: Array<String>) {
    val ctx = LoginContext(1L, "Tom", "tom@example.com")
    handleRequest(ctx)
}

fun handleRequest(ctx: LoginContext) {
    with(ctx) {
        doSomeOperation()
    }
}

context(LoginContext)
fun doSomeOperation() {
    println("user [id = ${userId}] do some operation!")
}

Scalaのimplicit parameterに似ているなと感じます（Scalaを使ったのが大分昔なので、間違っていたらすみません）。
ログインユーザの認証情報（基本情報）、権限情報、DBのコネクション情報など、引数として引き回したいものがあるときに、活用できそうな機能なので、本実装としてリリースされるのが楽しみです。

他のユースケースについては、KEEP（Kotlinの言語仕様のDiscussionが行われている場所）にいろいろ書かれているようなので、参考として貼っておきます。
https://github.com/Kotlin/KEEP/blob/master/proposals/context-receivers.md#use-cases