線形代数手法

応用手法まとめ（技術・数理モデル・活用分野）

分解手法	数式形式	数理的意味・特徴	代表的応用分野
LU分解	$A = LU$	連立一次方程式を下三角・上三角に分解し高速解法を実現	構造解析、有限要素法（FEM）、電気回路解析、流体計算
QR分解	$A = QR$	直交基底生成、数値安定な最小二乗法、直交変換	回帰分析、PCAの前処理、制御工学、信号直交化、3Dグラフィクス
固有値分解	$A = PDP^{-1}$	固有値・固有ベクトル取得、行列の対角化、振動・波動・拡大縮小・回転成分抽出	振動解析、安定性評価、量子力学、モード解析、画像処理、遺伝子解析
シュール分解	$A = QUQ^{-1}$	任意行列の上三角化、固有値解析の安定化	固有値計算前処理、非対称システム解析、複素行列処理
スペクトル分解	$A = \lambda_1 H_1 + \dots + \lambda_k H_k$	固有空間分解、作用を固有値ごとに分離	モード分解、波動方程式、流体力学、振動工学、信号分離
特異値分解 (SVD)	$A = U \Sigma V^{\mathrm{T}}$	非正方行列対応、次元削減、ノイズ除去、情報圧縮、最小二乗最適化	画像・音声圧縮、レコメンドエンジン、PCA、機械学習前処理、医用画像処理

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# 各種行列分解のデモプログラム / Demonstration of Matrix Decompositions

import numpy as np
from scipy.linalg import lu, qr, eig, schur, svd

# ランダムな正方行列Aを作成 / Create a random square matrix A
np.random.seed(0)
A = np.random.rand(3, 3)

# 1. LU分解 / LU Decomposition
P, L, U = lu(A)
print("=== LU Decomposition ===")
print("L:\n", L)
print("U:\n", U)

# 2. QR分解 / QR Decomposition
Q, R = qr(A)
print("\n=== QR Decomposition ===")
print("Q:\n", Q)
print("R:\n", R)

# 3. 固有値分解 / Eigenvalue Decomposition
eigvals, eigvecs = eig(A)
D = np.diag(eigvals)
P = eigvecs
P_inv = np.linalg.inv(P)
print("\n=== Eigenvalue Decomposition ===")
print("P (Eigenvectors):\n", P)
print("D (Eigenvalues on diagonal):\n", D)

# 4. シュール分解 / Schur Decomposition
Q_schur, U_schur = schur(A)
print("\n=== Schur Decomposition ===")
print("Q:\n", Q_schur)
print("U (Upper triangular):\n", U_schur)

# 5. スペクトル分解（今回は簡略化して固有値と射影を表示） / Spectral Decomposition
print("\n=== Spectral Decomposition ===")
for i, lam in enumerate(eigvals):
    H = np.outer(eigvecs[:, i], np.linalg.inv(eigvecs)[i, :])
    print(f"λ_{i+1} * H_{i+1}:\n", lam * H)

# 6. 特異値分解 / Singular Value Decomposition (SVD)
U_svd, Sigma_svd, Vt_svd = svd(A)
Sigma_mat = np.zeros_like(A)
np.fill_diagonal(Sigma_mat, Sigma_svd)
print("\n=== Singular Value Decomposition (SVD) ===")
print("U:\n", U_svd)
print("Σ:\n", Sigma_mat)
print("V^T:\n", Vt_svd)

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# 連立一次方程式と固有値問題のPython実演 / Linear Algebra Applications in Python

import numpy as np
from scipy.linalg import solve, eig
import matplotlib.pyplot as plt

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# 1. 連立一次方程式 Ax = b の解法
# Solve Ax = b (Static/Equilibrium Model)
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# 行列 A / Matrix A
A = np.array([[3, 2],
              [1, 2]])

# 右辺ベクトル b / Vector b
b = np.array([5, 5])

# 解 x を計算 / Solve for x
x = solve(A, b)

print("=== Linear System Solution ===")
print("Solution x:", x)

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# 2. 固有値問題 Ax = λx の解法
# Solve Eigenvalue Problem (Dynamic/Transient Model)
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# 固有値と固有ベクトルを計算 / Calculate eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

print("\n=== Eigenvalue Problem ===")
print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

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# 3. 可視化 / Visualization
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# 解のベクトルをプロット / Plot solution vector
plt.figure()
plt.quiver(0, 0, x[0], x[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r')
plt.xlim(0, max(x[0], x[1]) + 1)
plt.ylim(0, max(x[0], x[1]) + 1)
plt.title('Solution Vector x')
plt.grid(True)
plt.show()

# 固有ベクトルをプロット / Plot eigenvectors
plt.figure()
for i in range(len(eigenvalues)):
    vec = eigenvectors[:, i].real
    plt.quiver(0, 0, vec[0], vec[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, label=f'λ={eigenvalues[i].real:.2f}')
plt.xlim(-2, 2)
plt.ylim(-2, 2)
plt.title('Eigenvectors')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()