✅ 1. 元の非線形連続時間モデル（Lotka–Volterra 方程式）
被食者（Prey）$x(t)$、捕食者（Predator）$y(t)$ の個体数：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y \[8pt]
\displaystyle \frac{dy}{dt} = \delta x y - \gamma y
\end{cases}
$$
- $\alpha$：被食者の自然増殖率
- $\beta$：被食者が捕食される率
- $\delta$：捕食によって捕食者が増える係数
- $\gamma$：捕食者の自然減衰率
✅ 2. 状態ベクトルと非線形ベクトル場
状態ベクトル：
$$
\mathbf{z}(t) =
\begin{bmatrix}
x(t) \ y(t)
\end{bmatrix}
,\quad
\mathbf{f}(\mathbf{z}) =
\begin{bmatrix}
\alpha x - \beta x y \
\delta x y - \gamma y
\end{bmatrix}
$$
✅ 3. 任意点 $\mathbf{z}_0 = [x_0, y_0]^\top$ まわりのヤコビ行列による逐次線形化
ヤコビ行列（線形化近似）：
$$
A =
\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{z}} \right|_{\mathbf{z}_0}
\begin{bmatrix}
\alpha - \beta y_0 & -\beta x_0 \
\delta y_0 & \delta x_0 - \gamma
\end{bmatrix}
$$
✅ 4. 離散化（Euler法）
時間刻み $\Delta t$ を用いて離散時間状態空間モデルを得る：
$$
\mathbf{z}[k+1] = (I + A \Delta t)\mathbf{z}[k] + B \cdot u[k]
$$
ここで $u[k]$ は制御入力、$B$ は入力行列（適宜設定、例：恒等 or 任意ベクトル）
$I$ は単位行列。
✅ 5. 出力方程式（出力をどの状態で観測するか）
$$
\mathbf{y}[k] = C \cdot \mathbf{z}[k]
$$
例：$C = [1 \quad 0]$ とすれば $y[k] = x[k]$（被食者数を出力として観測）
✅ 6. 状態フィードバック制御則（Modern Control）
状態ベクトル $\mathbf{z}[k]$ を用いたフィードバック入力：
$$
u[k] = -K \cdot (\mathbf{z}[k] - \mathbf{z}_{\text{ref}})
$$
ここで：
- $K$：ゲイン行列（2次元ベクトル）
- $\mathbf{z}_{\text{ref}}$：目標状態（平衡点など）
✅ 7. 閉ループ系の状態方程式（状態フィードバックあり）
$$
\mathbf{z}[k+1] = \left( A_d - B K \right) \mathbf{z}[k] + B K \mathbf{z}_{\text{ref}}
$$
$A_d = I + A \Delta t$（Euler離散化後）
✅ 8. ゲイン $K$ の設計方法（例）
- 極配置法（pole placement）
- LQR（Linear Quadratic Regulator）などを用いて数値的に決定