✅ 1. 等差数列の漸化式（高校数学）
● 漸化式の形：
$$
a_{n+1} - a_n = d \quad \text{または} \quad a_{n+1} = a_n + d
$$
● 一般解（高校数学）：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
✅ 2. Z変換で解く（離散システム）
Z変換を使って漸化式を解くと、離散的な「システム」解析になります。
● Z変換の性質：
$$
Z{a_{n+1}} = z A(z) - z a_0, \quad Z{a_n} = A(z)
$$
● 漸化式のZ変換：
$$
z A(z) - z a_0 - A(z) = \frac{d z}{z - 1}
\quad \text{（ステップ：} d \cdot u[n] \text{のZ変換）}
$$
整理：
$$
A(z)(z - 1) = z a_0 + \frac{d z}{z - 1}
\quad \Rightarrow \quad
A(z) = \frac{z a_0}{z - 1} + \frac{d z}{(z - 1)^2}
$$
✅ 3. Z変換の逆変換で元の数列を得る
$$
Z^{-1}\left{ \frac{z a_0}{z - 1} \right} = a_0 \cdot 1[n] = a_0
$$
$$
Z^{-1}\left{ \frac{d z}{(z - 1)^2} \right} = d \cdot n
$$
したがって、
$$
a_n = a_0 + d n
\quad \text{（初項から始まる等差数列）}
$$
✅ 4. Z–s変換：離散→連続へ
● Z–s対応（前進オイラー近似）：
$$
z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
z - 1 \approx sT
$$
したがって：
$$
\frac{1}{z - 1} \approx \frac{1}{sT}, \quad
\frac{1}{(z - 1)^2} \approx \frac{1}{s^2 T^2}
$$
✅ 5. アナログ対応の微分方程式へ
等差数列：
$$
a_{n+1} = a_n + d
$$
対応する差分方程式：
$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{d}{T}
$$
極限 $T \to 0$ で：
$$
\frac{da(t)}{dt} = \text{定数} = c
\quad \Rightarrow \quad
a(t) = a_0 + ct
$$
ここで $c = \lim_{T \to 0} \frac{d}{T}$
✅ 6. まとめ
| 領域 | 表現 | 内容 |
|---|---|---|
| 離散（漸化式） | $a_{n+1} = a_n + d$ | 等差数列 |
| Z変換 | $A(z) = \frac{z a_0}{z - 1} + \frac{d z}{(z - 1)^2}$ | 系の応答表現 |
| s変換（連続） | $\frac{da(t)}{dt} = c \Rightarrow a(t) = a_0 + ct$ | 一次関数 |
● 与えられた漸化式：
$$
a_{n+1} = r a_n
\quad\text{（初期値：} a_0\text{）}
$$
● 高校数学における一般解：
$$
a_n = a_0 \cdot r^n
$$
✅ Step 2：Z変換を適用する
● Z変換の定義：
$$
A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}
$$
● Z変換の性質：
$$
Z{a_{n+1}} = z A(z) - z a_0
$$
● 漸化式にZ変換をかける：
$$
z A(z) - z a_0 = r A(z)
$$
整理：
$$
(z - r) A(z) = z a_0
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{A(z) = \frac{z a_0}{z - r}}
$$
✅ Step 3：Z変換の逆変換で等比数列に戻す
$$
Z^{-1} \left{ \frac{z a_0}{z - r} \right} = a_0 r^n
$$
✅ 結論：Z領域からも高校数学と同じ一般解が得られる。
✅ Step 4：Z → s 変換（Z-s変換）
● オイラー近似（Zとsの対応関係）：
$$
z \approx 1 + sT
\quad \text{または} \quad
s \approx \frac{z - 1}{T}
$$
したがって：
$$
r = z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
s = \frac{r - 1}{T}
$$
✅ Step 5：アナログ対応の微分方程式を構成
● 漸化式の差分近似：
$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{r - 1}{T} a_n
\quad \Rightarrow \quad
\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t)
\quad (\lambda = \frac{r - 1}{T})
$$
✅ Step 6：連続時間の微分方程式と解
● 微分方程式：
$$
\boxed{ \frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) }
\quad \text{with } a(0) = a_0
$$
● 解：
$$
\boxed{ a(t) = a_0 e^{\lambda t} = a_0 \cdot \exp\left( \frac{r - 1}{T} t \right) }
$$
✅ Step 1: 漸化式の構造と一般解
● 与えられた漸化式：
$$
a_{n+1} = p a_n + q \quad (\text{初期値 } a_0)
$$
これは「1次線形非斉次漸化式（非同次漸化式）」である。
● 一般解（高校数学）：
特解＋斉次解で：
$$
a_n = (a_0 - \frac{q}{1 - p}) p^n + \frac{q}{1 - p} \quad (p \ne 1)
$$
✅ Step 2: Z変換
● Z変換の基本式：
Z変換の性質より：
$$
Z{a_{n+1}} = z A(z) - z a_0
$$
漸化式にZ変換をかける：
$$
z A(z) - z a_0 = p A(z) + \frac{q z}{z - 1}
$$
● 整理して：
$$
(z - p) A(z) = z a_0 + \frac{q z}{z - 1}
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{
A(z) = \frac{z a_0}{z - p} + \frac{q z}{(z - 1)(z - p)}
}
$$
✅ Step 3: Z-s変換（離散→連続）
Zとsの対応（前進オイラー近似）：
$$
z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
z - p \approx sT + (1 - p)
$$
これを用いて：
$$
\frac{1}{z - p} \approx \frac{1}{sT + (1 - p)} \quad \text{→ 極が } s = \frac{p - 1}{T}
$$
✅ Step 4: 微分方程式（連続時間近似）
差分式：
$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{p - 1}{T} a_n + \frac{q}{T}
$$
極限 $T \to 0$ で：
$$
\boxed{
\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) + K
}
\quad \text{where } \lambda = \frac{p - 1}{T},\quad K = \frac{q}{T}
$$
● 解（初期値 $a(0) = a_0$）：
$$
a(t) = \left(a_0 - \frac{K}{\lambda} \right) e^{\lambda t} + \frac{K}{\lambda}
$$
これは離散の一般解：
$$
a_n = \left(a_0 - \frac{q}{1 - p} \right) p^n + \frac{q}{1 - p}
$$
と構造が完全に対応する。
✅ まとめ表（an+1 = p an + q 型）
| 項目 | 数式 | 意味 |
|---|---|---|
| 漸化式 | $a_{n+1} = p a_n + q$ | 離散的な増加（等比＋定数） |
| 一般解 | $a_n = (a_0 - \frac{q}{1 - p}) p^n + \frac{q}{1 - p}$ | 収束先：$\frac{q}{1 - p}$ |
| Z変換 | $A(z) = \frac{z a_0}{z - p} + \frac{q z}{(z - 1)(z - p)}$ | 漸化式の応答をZ表現 |
| Z–s変換 | $z - p \approx sT + (1 - p)$ | Z極 → s極：$s = \frac{p - 1}{T}$ |
| 微分方程式 | $\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) + K$ | 指数型の非斉次微分方程式 |
| アナログ解 | $a(t) = (a_0 - \frac{K}{\lambda}) e^{\lambda t} + \frac{K}{\lambda}$ | 等比数列と一致構造 |
与えられた漸化式：
$$
a_{n+1} = p a_n + q \quad (\text{初期値 } a_0)
$$
を横軸 $t$（時間）として考えると、これは時間離散系の1次線形動的システムに相当します。
✅ 1. 離散時間ステップとしての解釈（Interpretation with respect to time）
この式は、「現在の状態 $a_n$ に基づいて、次の時刻 $t = n+1$ の値 $a_{n+1}$ を決定する」時間発展の法則です。
- 横軸：$t = n$（離散的な整数時間）
- 縦軸：状態量 $a(t) = a_n$
- 時間ステップごとに、一定の比率 $p$ で前の値に比例し、さらに定数 $q$ が加わる。
✅ 2. 制御工学的観点からの構造（Relation to Discrete Control Systems）
この式は次のように捉えられます：
$$
a(t+1) = p \cdot a(t) + q
$$
これは一次遅れ系（first-order lag system）の差分方程式形式であり、次のブロック線図に対応：
+----+ +-----+ +----+
--| z⁻¹|<-----| ×p |<-----| +q |<---
+----+ +-----+ +----+
↑
a(t)
- $z^{-1}$ は1ステップ遅れ（前時刻の値を取得）
- $p$：フィードバックゲイン（現在値の重み）
- $q$：外部定数入力（ステップ入力とみなせる）
✅ 3. ラプラス変換・Z変換との対応
このような差分方程式をZ変換で記述すると：
$$
z A(z) = p A(z) + \frac{qz}{z - 1}
\Rightarrow
A(z) = \frac{qz}{(z-1)(z - p)} + \text{initial condition term}
$$
これはステップ応答のZドメイン表現に近い形になります。
✅ 4. 時間応答の波形（例）
Pythonコードや数式により得られた $a(t)$ のプロットは、次のような波形になります：
- $|p| < 1$ のとき：指数的に安定点（定常値） $\dfrac{q}{1 - p}$ に収束
- $|p| = 1$ のとき：等差数列
- $|p| > 1$ のとき：指数的に発散
これは、時間軸 $t$ に沿って状態量がどのように変化するかを示す「離散時間システムの応答グラフ」として理解されます。