🎓 モンスターボールの体積とイプシロン-デルタ論法で学ぶ極限の定義

第1章：モンスターボールの体積

モンスターボールは球体に近い構造です。球の体積は、次の式で表されます：

V = (4/3)πr³

ここで、

仮に半径 r = 3 cm だとすると：

V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27) = 36π ≒ 113.1 cm³

この体積公式は、積分によって得られます。積分は、極限の概念に基づいています。そしてその極限の厳密な定義が「イプシロン-デルタ論法（ε-δ論法）」です。

定義（関数f(x)が点aで極限Lを持つ）：

関数 f(x) が点 a において極限 L に収束するとは、次を満たすことをいう：

任意の正の数 ε > 0 に対して、ある正の数 δ > 0 が存在して、
0 < |x - a| < δ ならば |f(x) - L| < ε となる

つまり、

lim (x→a) f(x) = L
⇔ ∀ε>0, ∃δ>0, s.t. 0 < |x - a| < δ → |f(x) - L| < ε

関数 f(x) = x² に対して、x → 2 のとき f(x) → 4 を証明する。

|x² - 4| = |(x - 2)(x + 2)|

|x + 2| < 5 ならば |(x - 2)(x + 2)| < 5|x - 2| < ε

よって、|x - 2| < ε/5 とすれば、

|x² - 4| < ε

δ = min{1, ε/5} とすれば、|x - 2| < δ のとき |x² - 4| < ε

球の体積公式 V = (4/3)πr³ は、回転体の体積として積分によって得られます：

V = ∫_{-r}^{r} π (r² - x²) dx = π ∫_{-r}^{r} (r² - x²) dx

この積分自体が「リーマン和→極限→積分値」という構造になっていて、解析学的には全てが ε-δ 論法で支えられています。