✅ 1. ラプラス変換の基本対応
ラプラス変換における畳み込み定理（Convolution Theorem）：
$$
\mathcal{L}\left[ (f * g)(t) \right] = F(s) \cdot G(s)
$$
したがって、時間領域で：
$$
x(t) = (g * u)(t) = \int_0^t g(\tau) \cdot u(t - \tau) , d\tau
$$
ここで：
- $g(t)$：インパルス応答（伝達関数 $G(s)$ のラプラス逆変換）
- $u(t)$：入力
- $x(t)$：出力
✅ 2. システム例（質量–ダンパ–ばね系）
運動方程式：
$$
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = u(t)
$$
ラプラス変換：
$$
X(s) = G(s) \cdot U(s), \quad G(s) = \frac{1}{ms^2 + cs + k}
$$
✅ 3. インパルス応答 $g(t)$
ラプラス逆変換により：
$$
g(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s)] = \text{（2次系の応答：指数 or 減衰振動）}
$$
例（過減衰）：
$$
g(t) = \frac{1}{m(\lambda_2 - \lambda_1)}\left(e^{\lambda_1 t} - e^{\lambda_2 t} \right), \quad \lambda_{1,2} = \text{固有根}
$$
✅ 4. 畳み込み積分による出力：
$$
x(t) = \int_0^t g(\tau) u(t - \tau) , d\tau
\quad \text{（= 入力 × インパルス応答）}
$$
この積分は「過去の入力履歴の加重和（=遅れの分布）」として解釈されます。
✅ 5. まとめ：伝達関数 ↔ 畳み込み積分の対応表
| 項目 | 周波数領域（s領域） | 時間領域（t領域） |
|---|---|---|
| 入力 | $U(s)$ | $u(t)$ |
| 出力 | $X(s) = G(s) U(s)$ | $x(t) = \int_0^t g(\tau) u(t-\tau) d\tau$ |
| 伝達関数 | $G(s) = \frac{X(s)}{U(s)}$ | $g(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s)]$ |
| 物理的意味 | 応答特性のフィルタ作用 | 入力の時間的重み付き積分（遅れの影響） |
✅ 追加例（ステップ応答）
入力：単位ステップ $u(t) = 1$ の場合：
$$
x(t) = \int_0^t g(\tau) \cdot 1 , d\tau = \int_0^t g(\tau) d\tau
\quad \Rightarrow \quad \text{ステップ応答}
$$
✅ 結論：
伝達関数の式：
$$
G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k}
\quad \Rightarrow \quad
x(t) = \int_0^t g(\tau) u(t - \tau) d\tau
$$