🔹 モデル前提（指 = 片持ち梁）
- 長さ $L$ の片持ち梁
- 自由端に垂直荷重 $F$（単位：N）
- 指の断面：半径 $r$ の円柱（断面2次モーメント $I = \frac{\pi r^4}{4}$）
- 材料のヤング率（縦弾性係数）：$E$
✅ 1. 曲げモーメント $M(x)$ の導出
梁の支点から距離 $x$ での曲げモーメントは：
$$
M(x) = -F (L - x)
$$
（符号は「下向き荷重→負のモーメント」を意味します）
✅ 2. 応力（最大曲げ応力）$\sigma_{\text{max}}$
材料力学の基本式より：
$$
\sigma = \frac{M y}{I}
$$
- $M$：モーメント
- $y$：中立軸から最遠点（= $r$）
- $I$：断面2次モーメント
よって、最大応力（中立軸から最も離れた表面）では：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot r}{I}
$$
片持ち梁の端での最大モーメント $M_{\text{max}} = F L$ を代入：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{F L \cdot r}{I}
$$
断面が円柱なら：
$$
I = \frac{\pi r^4}{4}
$$
これを代入：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{F L \cdot r}{\frac{\pi r^4}{4}} = \frac{4 F L}{\pi r^3}
$$
✅ 3. たわみ量 $\delta$ の導出（自由端）
片持ち梁の自由端のたわみ公式（集中荷重 $F$）：
$$
\delta = \frac{F L^3}{3 E I}
$$
同様に $I = \frac{\pi r^4}{4}$ を代入：
$$
\delta = \frac{F L^3}{3 E \cdot \frac{\pi r^4}{4}} = \frac{4 F L^3}{3 \pi E r^4}
$$
✅ 結果まとめ（証明済み）
-
最大曲げ応力：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{4 F L}{\pi r^3}
$$ -
自由端たわみ量：
$$
\delta = \frac{4 F L^3}{3 \pi E r^4}
$$
# Program Name: finger_beam_bending_analysis.py
# Creation Date: 20250704
# Overview: Calculate bending stress and deflection for a finger modeled as a cantilever beam
# Usage: Run the script to compute σ_max and δ using given geometric and material properties
import numpy as np
# --- Parameters / パラメータ定義 ---
F = 5.0 # 荷重 [N] / Applied load
L = 0.07 # 指の長さ [m] / Beam length (e.g. 7 cm)
r = 0.0075 # 指の半径 [m] / Radius (e.g. 7.5 mm)
E = 1.5e9 # ヤング率 [Pa] / Young's modulus (e.g. rubber-like, 1.5 GPa)
# --- Moment of Inertia / 断面2次モーメント（円柱） ---
I = (np.pi * r**4) / 4 # 単位: m^4
# --- Max bending stress / 最大曲げ応力 σ_max ---
sigma_max = (F * L * r) / I
# --- Deflection at free end / 自由端たわみ量 δ ---
delta = (F * L**3) / (3 * E * I)
# --- Results Display / 結果表示 ---
print(f"Moment of Inertia I: {I:.2e} m^4")
print(f"Maximum Bending Stress σ_max: {sigma_max:.2f} Pa")
print(f"Deflection δ at Free End: {delta*1000:.2f} mm")
🔹 前提条件（モデル設定）
- 梁（＝指）を $x = 0$（固定端）から $x = L$（自由端）とする
- 片持ち梁の自由端に集中荷重 $F$ [N] をかける
- ヤング率：$E$、断面2次モーメント：$I$
- たわみ関数：$y(x)$（$x$ に対するたわみ）
✅ 1. Euler-Bernoulli 梁方程式（運動方程式）
$$
\frac{d^2}{dx^2} \left( E I \frac{d^2 y(x)}{dx^2} \right) = q(x)
$$
ここで $q(x)$ は分布荷重（単位長さあたり）。
今回は集中荷重 $F$ が $x = L$ にだけかかるため：
$$
q(x) = F \cdot \delta(x - L)
$$
✅ 2. 曲げモーメントとの関係（一次積分）
分布荷重がゼロ（$x < L$）の範囲では：
$$
E I \frac{d^2 y(x)}{dx^2} = M(x)
$$
これは、たわみの2階微分が曲げモーメント $M(x)$ に比例することを意味します。
✅ 3. 曲げモーメント $M(x)$ の導出
自由端から距離 $x$ だけ離れた点のモーメント：
$$
M(x) = -F (L - x)
$$
※固定端に近づくほどモーメントは大きくなります。
✅ 4. 曲げ応力の公式導出
応力は以下の式で表される：
$$
\sigma(x) = \frac{M(x) \cdot y}{I}
$$
最も表面（$y = r$）で最大：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{F L \cdot r}{I}
$$
断面が円柱なら $I = \dfrac{\pi r^4}{4}$：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{4 F L}{\pi r^3}
$$
✅ 5. たわみの公式導出
上記の $M(x) = -F(L - x)$ を $E I \dfrac{d^2 y}{dx^2}$ に代入して両辺2回積分：
$$
\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{F}{E I} (L - x)
$$
積分1回：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{F}{E I} \left( L x - \frac{x^2}{2} \right) + C_1
$$
さらに積分：
$$
y(x) = -\frac{F}{E I} \left( \frac{L x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right) + C_1 x + C_2
$$
✅ 6. 境界条件から定数決定
- 固定端 $x=0$：$y(0) = 0$, $\frac{dy}{dx}(0) = 0$
- これにより $C_1 = 0$, $C_2 = 0$
よって：
$$
y(x) = -\frac{F}{E I} \left( \frac{L x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right)
$$
特に自由端 $x = L$ での最大たわみ：
$$
\delta = y(L) = \frac{F L^3}{3 E I}
$$
✅ 結果（運動方程式から導出された公式）
- 最大曲げ応力（根元）：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{4 F L}{\pi r^3}
$$
- 自由端たわみ：
$$
\delta = \frac{4 F L^3}{3 \pi E r^4}
$$