熱力学第一法則とマイヤーの関係式

✅ 熱力学第一法則とマイヤーの関係式

● 熱力学第一法則（第1法則）：

$$
\Delta U = Q - W
$$

● 状態A→B（等圧変化）：

• 吸熱量：$Q_{AB} = nC_P(T_1 - T_0)$
• 仕事：$W_{AB} = \int_{V_0}^{V_1} P,dV = nR(T_1 - T_0)$
• よって内部エネルギー変化：

$$
\Delta U = Q - W = n(C_P - R)(T_1 - T_0)
$$

---

● 状態A→C（等体積変化）：

• 吸熱量 = 内部エネルギー変化：

$$
Q_{AC} = \Delta U = nC_V(T_1 - T_0)
$$

→ 両方から：

$$
n(C_P - R)(T_1 - T_0) = nC_V(T_1 - T_0)
\quad \Rightarrow \quad
C_P = C_V + R
$$

✅ これはマイヤーの関係式

---

✅微小断熱変化に対する近似

● 熱力学第1法則（微小断熱）：

$$
0 = nC_V \Delta T + P \Delta V \tag{①}
$$

● 状態方程式（PV=nRT）差分展開：

$$
(P + \Delta P)(V + \Delta V) = nR(T + \Delta T) \tag{③}
$$

→ テイラー展開と近似により：

$$
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{C_V}{R} \cdot \frac{\Delta T}{T}, \quad \gamma = \frac{C_P}{C_V}
$$

最終的に、仕事・熱・状態変数の関係から：

$$
\frac{\Delta P}{P} = -\gamma \frac{\Delta V}{V} \quad \text{(断熱条件)} \tag{⑤}
$$

→ ポアソンの関係式につながる

---

✅ ピストンの運動と熱力学結合

• 力の釣り合い：$P S = Mg$
• ピストン運動（単振動方程式）：

$$
M \frac{d^2x}{dt^2} = -\gamma \frac{Mg}{L}x
$$

→ 周期：

$$
\tau = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\gamma g}}
$$

---

✅ ポアソンの式の導出（積分）

断熱変化の微分式：

$$
\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}
\Rightarrow
PV^\gamma = \text{const.}
$$

さらに状態方程式を使えば：

$$
TV^{\gamma - 1} = \text{const.}
$$

---

# Program Name: thermodynamics_poisson.py
# Creation Date: 20250727
# Overview: Thermodynamics first law, Mayer's relation, adiabatic relations and piston oscillation period.
# Usage: Run to calculate and plot thermodynamic quantities under adiabatic process assumptions.

!pip install numpy matplotlib

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- パラメータ定義（Parameters） ---
n = 1.0             # mol数 [mol]
R = 8.314           # 気体定数 [J/mol·K]
Cv = 20.8           # 定積モル比熱（例：1原子分子）[J/mol·K]
Cp = Cv + R         # マイヤーの関係による定圧比熱
gamma = Cp / Cv     # 比熱比 γ

T0 = 300            # 初期温度 [K]
V0 = 0.01           # 初期体積 [m^3]
P0 = n * R * T0 / V0  # 初期圧力 [Pa]

# --- ΔV変化に対する断熱変化 (Adiabatic Process) ---
dV_frac = np.linspace(-0.05, 0.05, 100)         # ΔV/Vの比率
V = V0 * (1 + dV_frac)
P = P0 * (V0 / V) ** gamma                      # PV^γ = const.
T = T0 * (V0 / V) ** (gamma - 1)                # TV^{γ−1} = const.

# --- ピストン単振動の周期計算（Piston Oscillation） ---
M = 1.0        # ピストン質量 [kg]
L = 0.5        # 有効長さ [m]
g = 9.81       # 重力加速度 [m/s^2]

tau = 2 * np.pi * np.sqrt(L / (gamma * g))  # 周期 [s]

# --- プロット（Plotting） ---
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(dV_frac * 100, P / 1e5, label='Pressure [atm]')
plt.plot(dV_frac * 100, T, label='Temperature [K]')
plt.axhline(y=P0/1e5, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.7)
plt.axhline(y=T0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.7)
plt.xlabel("ΔV / V [%]")
plt.ylabel("Pressure / Temperature")
plt.title("Adiabatic Response: ΔP and ΔT vs ΔV/V")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# --- 結果出力（Results） ---
print(f"Mayer relation check: Cp = {Cp:.2f} J/mol·K, γ = {gamma:.3f}")
print(f"Initial Pressure: {P0/1e5:.2f} atm")
print(f"Piston Oscillation Period τ: {tau:.3f} s")