計算のための高校化学

計算

Last updated at 2025-07-18Posted at 2025-07-17

近似式の理論背景：テイラー展開

よく使われる近似式の例として、積の一次近似があります。
例えば、$(1 + x)(1 + y)$ は、

$$
(1 + x)(1 + y) \approx 1 + x + y
$$

となります。これはテイラー展開で二次以上の高次項を無視したものです。

同様に、

$$
\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x
$$

は $\frac{1}{1+x}$ の一次テイラー展開です。

逆に、

$$
\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x
$$

も同様に一次近似として用いられます。

誤差評価の例：$x = 0.05$ の場合

近似式の精度を確かめるため、実際の値と近似値を比較します。

例えば、

$$
\frac{1}{1 + x}
$$

の正確値は

$$
\frac{1}{1 + 0.05} = \frac{1}{1.05} \approx 0.95238
$$

一方、近似式を使うと

$$
1 - 0.05 = 0.95
$$

となり、誤差は

$$
|0.95238 - 0.95| = 0.00238
$$

で非常に小さいことがわかります。

テイラー展開による近似

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ のテイラー展開は

$$
f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots
$$

であり、一次近似はこのうち最初の2項を使ったものです。二次項を入れるとさらに精度が高まります。

まとめ

$(1 + x)(1 + y) \approx 1 + x + y$ は積の一次近似
$\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$ は分母摂動の一次テイラー展開
$x$ が小さいほど近似の誤差は小さくなる
二次項を含めた近似は誤差をさらに減らす

結晶とは（単位格子・配位数・密度・充填率など）

■ 結晶の定義と分類

結晶（crystal）とは、構成粒子（原子・イオン・分子）が三次元的に周期的に配列した固体。
対して**アモルファス（非晶質）**は不規則配列。

主な分類：

金属結晶：Cu, Fe（体心立方・面心立方）
イオン結晶：NaCl, CaF₂
分子結晶：ドライアイス（CO₂）, I₂
共有結合結晶：ダイヤモンド, Si

■ 単位格子（unit cell）

結晶構造の最小構成単位で、全体構造はこの単位格子の繰り返しでできている。

格子構造	粒子数Z	例
単純立方格子	1	理論モデル
体心立方格子	2	Fe, Cr
面心立方格子	4	Cu, Al, Au
六方最密構造	2	Zn, Mg

■ 配位数（coordination number）

1粒子に最も近接している粒子の数。結晶の密度や安定性に影響。

構造	配位数
単純立方格子	6
体心立方格子	8
面心立方格子	12

■ 密度（density）

単位格子の質量と体積から理論密度を計算できる：

$$
\rho = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}
$$

$Z$：単位格子中の粒子数
$M$：モル質量 [g/mol]
$N_A$：アボガドロ数（6.0 × 10²³ mol⁻¹）
$a$：単位格子1辺 [cm]

例：面心立方格子（Cu, M = 63.5 g/mol, a = 3.61 × 10⁻⁸ cm）

ρ = (4 × 63.5) / (6.0 × 10²³ × (3.61 × 10⁻⁸)³)

Wolframで計算

**充填率（Packing Efficiency）**とは、

単位格子の体積に対する原子が実際に占める体積の割合。

材料工学や結晶学では、結晶構造の緻密さや密度の理論上限を示す重要な指標です。

■ FCC（面心立方格子）の構造

面心立方構造では、1単位格子あたり4個の原子が存在します。
- 各面に1/2個 × 6面 → 3個
- 各頂点に1/8個 × 8個 → 1個
- 合計：4個
原子は立方体の面に配置され、隣接する原子と接触しており、原子半径 $r$ を基準に辺長 $a$ を導き出す必要があります。

■ 1辺 $a$ の関係式

面対角線上で、3個の原子が直線に接する：

$$
\text{面対角線} = 4r = a\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = 2\sqrt{2}r
$$

■ 単位格子の体積

$$
V_{\text{格子}} = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3
$$

■ 原子の体積（合計）

原子は4個分：

$$
V_{\text{原子}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{16}{3}\pi r^3
$$

■ 充填率の式

$$
\text{充填率} = \frac{V_{\text{原子}}}{V_{\text{格子}}}
= \frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}r^3}
= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} ≈ 0.7405
$$

したがって FCCの充填率は約 74.05%
つまり、**1単位格子の74%が原子で占められており、残りは空隙（空間）**となっています。

■ WolframAlpha 数式確認リンク

$$
$$

\frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0.74048\ldots
]
🔗 Wolframで確認する

■ 他構造との比較（参考）

構造形式	配位数	充填率	特徴
単純立方（SC）	6	52%	原子がゆるく並ぶ
体心立方（BCC）	8	68%	やや高密度
面心立方（FCC）	12	74%	最も密な球の詰め方
六方最密構造（HCP）	12	74%	FCCと同等密度だが異構造

■ 応用例・活用ソリューション

X線回折による格子定数測定
理論密度と実測密度の比較による空孔評価
材料設計（合金、セラミックス、圧電体）
ナノ材料や薄膜設計の構造評価
高校化学〜大学物理・材料工学の演習問題

■ 追加 WolframAlpha リンク集（演習に活用）

内容	Wolframリンク
FCC密度（Cu, a = 3.61Å）	リンク
FCC充填率 $\pi/(3\sqrt{2})$	リンク
単位格子体積 a³（a=3.61e-8）	リンク
アボガドロ数 × a³	リンク

BaTiO₃ 単位格子の密度・イオン半径の計算

（1）単位格子1辺の長さ

Ba²⁺ 半径：0.64 × 10⁻⁸ cm
O²⁻ 半径：1.26 × 10⁻⁸ cm

したがって：

a = 2 × (0.64 + 1.26) × 10⁻⁸ = 3.8 × 10⁻⁸ cm

🔗 WolframAlpha:
2 × (0.64 + 1.26) × 10⁻⁸

（2）密度の計算（BaTiO₃）

組成式量：137 + 48 + 3×16 = 233 g/mol
アボガドロ定数：6.0 × 10²³ /mol
単位格子の体積：
　$V = (3.8 × 10^{-8})^3 = 5.5 × 10^{-23} \ \text{cm}^3$

密度：

$$
\rho = \frac{233 / (6.0 × 10^{23})}{(3.8 × 10^{-8})^3} ≈ 7.1 \ \text{g/cm}^3
$$

🔗 WolframAlpha:
(233 / 6.0e23) / (3.8e-8)^3

（3）イオン半径 R の計算（Ba²⁺）

面対角線：$a \sqrt{2} = 3.8 × 10^{-8} × \sqrt{2}$
O²⁻ 半径：$r_O = 1.26 × 10^{-8} \ \text{cm}$

式：

$$
a \sqrt{2} = 2R + 2r_O
\Rightarrow R = \frac{a \sqrt{2}}{2} - r_O
$$

代入して：

$$
R = \frac{3.8 × 10^{-8} × \sqrt{2}}{2} - 1.26 × 10^{-8} = 1.42 × 10^{-8} \ \text{cm}
$$

** WolframAlpha:**
3.8e-8 × sqrt(2) / 2 − 1.26e-8

補足と活用ソリューション

この問題は、BaTiO₃型ペロブスカイト構造における格子定数、密度、イオン半径の定量評価に関する典型問題です。

使用式：

単位格子の1辺：
　$a = 2 \times (r_{Ba^{2+}} + r_{O^{2-}})$
密度：
　$\rho = \frac{M}{N_A \cdot a^3}$
イオン半径 R（面対角線より）：
　$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} - r_{O^{2-}}$

応用例：

誘電体・圧電体の格子構造解析
セラミックス材料の密度・安定性評価
イオンサイズによる結晶設計（格子整合）
X線回折や密度測定による材料特性推定

活用分野：

固体物理、無機材料化学
ペロブスカイト太陽電池・誘電体設計
材料工学（セラミック、酸化物）
教育用途（高大接続教材、演習問題）

結晶構造による密度と充填率の違い（γ鉄とα鉄）

■ 1. 充填率（packing efficiency）

定義：
単位格子の体積に対して、原子が占める割合（体積比）。

γ鉄（面心立方格子, FCC）の場合：

原子半径を r、立方体1辺を b とする
1単位格子に含まれる原子数：4個
原子体積の合計：
```
V_原子 = 4 × (4/3)πr³
```
立方体の1辺 b は：
```
b = 2√2 × r
```

単位格子体積：

V_格子 = b³ = (2√2 × r)³ = 16√2 × r³

よって充填率：

η = (4 × (4/3)πr³) / ((2√2 × r)³)
  = (16/3)πr³ / (16√2 × r³)
  = π / (3√2) ≈ 0.74（74%）

▶ Wolframで確認

■ 2. 密度の計算（γ鉄 vs α鉄）

記号の定義：

M：鉄原子1 mol の質量 [g/mol]
N：アボガドロ定数 [個/mol]
ρ：密度 [g/cm³]
a：α鉄の1辺（体心立方）
b：γ鉄の1辺（面心立方）

α鉄（体心立方格子, BCC）の場合：

1単位格子あたり鉄原子数：2個
単位格子体積：a³
質量（2原子分）：2 × (M / N)

よって密度：

ρ_α = (2M) / (a³ × N)

γ鉄（面心立方格子, FCC）の場合：

1単位格子あたり鉄原子数：4個
単位格子体積：b³
質量（4原子分）：4 × (M / N)

よって密度：

ρ_γ = (4M) / (b³ × N)

密度比（γ鉄 / α鉄）：

ρ_γ / ρ_α = [4M / (b³N)] ÷ [2M / (a³N)] = 2a³ / b³

■ 3. a, b の関係と密度比の数値化

α鉄（体心立方）：
```
a = 4r / √3
```
γ鉄（面心立方）：
```
b = 4r / √2
```

これを密度比に代入：

a³ = (4r / √3)³ = 64r³ / 3√3
b³ = (4r / √2)³ = 64r³ / 2√2

ρ_γ / ρ_α = 2a³ / b³ = 2 × (64r³ / 3√3) ÷ (64r³ / 2√2)
         = (2 × 2√2) / (3√3)
         = (4√2) / (3√3)
         ≈ 1.09

▶ Wolframで確認

■ 結論と補足

項目	α鉄（BCC）	γ鉄（FCC）
原子数／格子	2	4
密度	(2M)/(a³N)	(4M)/(b³N)
充填率	≈ 68%	≈ 74%
密度比	約 1	約 1.09 倍

■ 応用と活用ソリューション

結晶構造による材料密度・機械特性の理解
鉄の相変態（α ⇄ γ）による熱処理設計（焼入れ・焼きなまし）
結晶学・材料力学・冶金学での格子密度設計
工業材料の選定（軽量化 vs 強度）

BaTiO₃ 単位格子の密度・イオン半径の計算

（1）単位格子1辺の長さ：

陽イオン Ba²⁺：半径 0.64 × 10⁻⁸ cm
陰イオン O²⁻：半径 1.26 × 10⁻⁸ cm

したがって単位格子の1辺の長さ $a$ は：

a = 2 × (0.64 + 1.26) × 10⁻⁸ = 3.8 × 10⁻⁸ cm

（2）密度の計算（組成式 BaTiO₃）

組成式量：Ba + Ti + 3O = 137 + 48 + 16×3 = 233 g/mol
アボガドロ定数：6.0 × 10²³ /mol

1単位格子あたりに粒子1個（= 組成式1単位）を含むとすると：

単位格子の質量 = 233 / (6.0 × 10²³) [g]
単位格子の体積 = (3.8 × 10⁻⁸)³ [cm³] = 5.5 × 10⁻²³ [cm³]
密度 = (233 / 6.0×10²³) / (3.8 × 10⁻⁸)³
     = 7.1 g/cm³

（3）イオン半径の最大値 $R$ の計算（Ba²⁺ の半径）

単位格子は立方体であり、Ba²⁺ が体心に、O²⁻ が面心に配置されていると仮定する。
面対角線上に Ba²⁺（中心）—O²⁻（面）—O²⁻（辺）で並ぶ。

単位格子の1辺の長さ：

a = 3.8 × 10⁻⁸ cm

面対角線の長さ：

a√2 = 3.8 × 10⁻⁸ × √2

O²⁻ の半径：

r_O = 1.26 × 10⁻⁸ cm

Ba²⁺ の半径を R とすると、次のようになる：

a√2 = 2R + 2r_O
→ 3.8 × 10⁻⁸ × √2 = 2R + 2 × 1.26 × 10⁻⁸
→ R = (3.8 × 10⁻⁸ × √2) / 2 − 1.26 × 10⁻⁸
→ R = 1.42 × 10⁻⁸ [cm]

WolframAlphaリンク（数値例）

補足と活用ソリューション

この問題は、セラミックス（BaTiO₃型ペロブスカイト構造）における単位格子寸法と密度、およびイオン半径の推定を扱っています。

使用式・法則：

単位格子の辺長：
　a = 2 ×（陽イオン半径 + 陰イオン半径）
密度：
　ρ = 質量 / 体積 = M / (Nₐ × a³)
幾何計算（立方体の面対角線）：
　a√2 = 2R + 2r_O

応用例：

誘電体・圧電体（BaTiO₃）の構造解析
セラミック材料設計（密度・格子定数評価）
イオンサイズに基づく格子安定性評価
X線回折解析（結晶構造モデル化）

活用分野：

固体物理・無機材料化学
結晶学（単位格子、原子位置推定）
材料工学（セラミックス設計、圧電体）
高校〜大学化学・物理教材（演習問題）

浸透圧と圧力釣り合い

浸透圧の式

$$
\Pi V = nRT
$$

圧力バランス式より：

$$
\frac{1.0 \times 10^5 (20.0 - h)}{h} \times \frac{3.14 (20.0 - h)}{1000} = 1.28 \times 10^{-3} \times 8.3 \times 10^3 \times 300
$$

右辺定数項（nRT 計算）：

$$
1.28 \times 10^{-3} \times 8.3 \times 10^3 \times 300 = 319.68
$$

したがって式は：

$$
314(20.0 - h)^2 = 319.68h
$$

展開して整理：

$$
h^2 - 50h + 400 = 0
$$

解：

$$
(h - 10)(h - 40) = 0 \Rightarrow h = 10,\ 40
$$

条件：

$$
0 \leq h \leq 20 \Rightarrow \boxed{h = 10\ \text{[cm]}}
$$

WolframAlphaリンク（数値例）

補足と活用ソリューション

この問題は、浸透圧と機械的圧力の釣り合いから、液面の高さ $h$ を決定する典型的な物理・化学融合問題です。

使用式：

浸透圧の定義：
　$\Pi V = nRT$
　（n：モル数, R：気体定数, T：絶対温度, V：体積）
圧力釣り合いの設定（左＝右）：
　圧力差 × 面積 = 浸透圧 × 面積
　→ 面積が共通なら圧力差 = 浸透圧

応用例：

半透膜を使った化学実験（細胞・膜透過の理解）
浸透圧法による分子量の測定
化学工学（膜分離プロセス設計）
高校化学と力学の融合問題としての出題例
医療・生物分野での濃度差輸送モデル

活用分野：

物理化学（溶液論）
生物学（細胞浸透圧・血液の浸透平衡）
化学工学（浸透膜、RO膜設計）
教育（探究物理・化学の融合演習問題）
モデル化（微小圧力差の定量解析）

プロパンの混合燃焼における生成物と発熱量の計算

反応式（完全燃焼・不完全燃焼）：

① C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O（気）
② C₃H₈ + (7/2)O₂ → 3CO + 4H₂O（気）

モル比による生成物の計算：

C₃H₈ 1.00 mol のうち：

0.800 mol が①で反応 → 生成：CO₂ = 3×0.800 = 2.40 mol
0.200 mol が②で反応 → 生成：CO = 3×0.200 = 0.60 mol
水蒸気：4×(0.800 + 0.200) = 4.00 mol

→ 合計生成気体の物質量：
2.40（CO₂）+ 0.60（CO）+ 4.00（H₂O）= 4.70 mol

反応熱の構成：

生成熱式：
③ C + O₂ → CO₂ ΔH = −394 kJ
④ H₂ + ½O₂ → H₂O（気） ΔH = −242 kJ
⑤ C + ½O₂ → CO ΔH = −111 kJ
⑥ 3C + 4H₂ → C₃H₈ ΔH = −106 kJ

完全燃焼（式①）による反応熱 Q₁：

Q₁ = 3×(−394) + 4×(−242) − (−106)
= −1182 − 968 + 106
= −2044 kJ/mol

不完全燃焼（式②）による反応熱 Q₂：

Q₂ = 3×(−111) + 4×(−242) − (−106)
= −333 − 968 + 106
= −1195 kJ/mol

総熱量の計算：

Q_total = 0.800 × (−2044) + 0.200 × (−1195)
= −1635.2 − 239.0
= −1874.2 ≒ −1.87×10³ kJ

気体の体積（標準状態 22.4 L/mol）：

V = 4.70 mol × 22.4 L/mol = 105.28 L = 2.5 m³

WolframAlphaリンク（数値例）

補足と活用ソリューション

この問題は、完全燃焼と不完全燃焼が混在する場合の熱量計算と生成物予測を扱う、典型的な熱化学・反応化学の融合問題である。

使用式：

熱化学方程式を複数合成して反応熱を求める：
　例：
　　反応熱 = 生成物の生成熱の合計 − 反応物の生成熱の合計
理想気体の体積計算：
　標準状態で 22.4 L/mol を使用

応用例：

燃焼工学（エンジン・ボイラの燃焼効率）
燃料の発熱量測定（プロパン・メタンなど）
空気過不足による反応の変化解析
高校〜大学化学の熱化学方程式応用問題
エネルギー収支計算（火力発電・ガス機器設計）

活用分野：

熱力学（エンタルピー変化・燃焼熱）
燃料工学（LPG・都市ガス）
化学工学（反応炉設計）
環境化学（排気ガス成分の分析）
教育（計算練習＋グラフ化・比較分析）

面心立方格子と水素吸蔵における密度・格子定数・原子数の関係（PdとPdH）

■ (1) Pd 単位格子の1辺の長さ

面心立方格子（FCC）では、面の対角線長さ $\sqrt{2}l$ が 4r に等しい：

√2l = 4r → l = (4r)/√2 = 2√2r

Pd の原子半径 $r = 1.41 × 10^{-8}$ cm
H 吸蔵時の変化後：$r = 1.42 × 10^{-8}$ cm

したがって：

l = 2√2 × 1.41 × 10^{-8} ≈ 4.00 × 10^{-8} cm

▶ Wolframで確認

■ (2) Pd の密度計算

1 mol の Pd の質量：106 g/mol
アボガドロ数 $N = 6.0 × 10^{23}$
1個の Pd 原子の質量：
```
m = 106 / N [g]
```
面心立方格子中には原子 4個：
```
質量 = 4 × (106 / N)
```

単位格子体積：

V = (4.00 × 10^{-8})³ = 6.4 × 10^{-23} cm³

密度：

ρ = 質量 / 体積
   = (4 × 106 / N) / (4.00 × 10^{-8})³
   = 11.0 g/cm³

▶ Wolframで確認

■ (3) 吸蔵された H 原子の数（PdHₓ）

H 原子が占めるのは以下の格子間サイト：
```
1/4 × 12（辺上）+ 1（中心） = 4個
```

したがって、単位格子あたり：

Pd 4個 + H 4個 → PdH₄（式量107）

■ (4) 吸蔵前後の密度比の計算

吸蔵前の密度（ρ₁）：

ρ₁ = 106 / NV

吸蔵後の密度（ρ₂）：

吸蔵により体積が1.2倍になる（格子膨張）
式量は107になる（Hが1個増加）

ρ₂ = 107 / (1.2NV)

密度比：

ρ₂ / ρ₁ = (107 / 1.2NV) ÷ (106 / NV) = (107 / 1.2) / 106 ≈ 0.841

▶ Wolframで確認

補足と応用

項目	吸蔵前（Pd）	吸蔵後（PdHₓ）
質量（1格子）	4 × 106 / N	4 × 107 / N
原子数	Pd 4個	Pd 4個 + H 4個
体積	V	1.2V
密度	106 / NV	107 / 1.2NV
密度比	-	約 0.841 倍

活用・応用領域

水素吸蔵材料（Pd、LaNi₅、MgH₂ など）
金属水素化物（電池、燃料電池、記録材料）
結晶構造と密度変化の予測（格子定数 vs 密度）
結晶構造解析（X線、電子線回折）
教育用途：単位格子、密度、体積比の応用練習

Mg-Al 合金と塩酸の反応：純度・生成物計算

（1）反応式（2つの金属）

Mg + 2HCl → MgCl₂ + H₂↑
2Al + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂↑

（2）計算条件と仮定

合金質量 = 1.71 g
発生した水素 = 1.68 L（標準状態）
モル体積 = 22.4 L/mol

合金中のモル数を：

Mg = x [mol], Al = y [mol]

(a) 質量の関係式：

24x + 27y = 1.71 ......①

(b) H₂発生量からのモル関係：

Mg：1 mol → 1 mol H₂
Al：2 mol → 3 mol H₂ → y mol → (3/2)y mol H₂

水素全体のモル数：

x + (3/2)y = 1.68 / 22.4 ≒ 0.075 mol ......②

（3）方程式の連立解：

①  24x + 27y = 1.71  
②  x + (3/2)y = 0.075

解くと：

x = 0.060 mol, y = 0.010 mol

（4）Mgの質量・純度

Mgの質量 = 0.060 × 24 = 1.44 g
合金全体 = 1.71 g

純度 = 1.44 / 1.71 × 100 ≒ 84%

（5）生成物の質量

Mg → MgCl₂：0.060 mol
Al → AlCl₃：0.010 mol

MgCl₂ の生成量 = 0.060 mol × 95.3 g/mol = 5.72 g  
AlCl₃ の生成量 = 0.010 mol × 133.5 g/mol = 1.34 g  
→ 合計 ≒ 7.0 g

WolframAlphaリンク（数値確認）

応用ソリューション

この問題は、合金成分の定量分析（純度算出）と化学反応式を用いた生成物計算に関する典型例。

使用法則：

モル質量 × モル数 = 質量
水素の発生量 → 各金属のモル数へ逆算
反応式からモル比 → 生成物量推定

活用分野

分析化学（合金・混合物の構成分析）
モル計算・ガスの体積関係の学習
高校化学～大学入門の演習問題

ヘモグロビンと酸素分子の結合数計算

前提情報と仮定

ヘモグロビン（Hb）の分子量：
```
6.6 × 10⁴ g/mol
```
Fe原子のモル質量：
```
56 g/mol
```

（1）Fe原子数の推定

Fe原子数 $x$ を求める。
式量全体に占めるFeの割合が 0.34% のとき：

$$
\frac{56x}{6.6 \times 10^4} \times 100 = 0.34 \Rightarrow x = 4.0\ \text{個}
$$

（2）酸素分子との結合数

ヘモグロビン 1.0 g と O₂ の結合量から計算：

$$
PV = nRT \Rightarrow n = \frac{PV}{RT}
$$

与えられた値：

変数	値
$P$	$1.0 \times 10⁵$ Pa
$V$	$1.55 \times 10^{-3}$ L
$R$	$8.3 \times 10^3$ Pa·cm³/mol·K
$T$	310 K

$$
n_{\text{O₂}} = \frac{1.0 \times 10^5 \times 1.55 \times 10^{-3}}{8.3 \times 10^3 \times 310} \approx 6.02 \times 10^{-5} \text{ mol}
$$

$$
\frac{\text{O}_2}{\text{Hb}} = \frac{6.02 \times 10^{-5}}{1.0 / 6.6 \times 10^4} = 3.97 ≒ 4.0 \text{ 個}
$$

（3）組織への供給可能な O₂ の分子数

実際に供給されるのはこのうち 1/3 なので：

$$
\text{Hb 15g 当たりの供給可能 O}_2\text{モル数} = \frac{15}{6.6 \times 10^4} \times 4 \times \frac{1}{3}
$$

アボガドロ数を掛けて、O₂分子数：

$$
= \frac{15}{6.6 \times 10^4} \times 4 \times \frac{1}{3} \times 6.0 \times 10^{23} ≒ 1.8 \times 10^{20} \text{個}
$$

WolframAlpha確認リンク（重要計算確認）

応用分野

生体分子の定量分析
酸素運搬量の計算
医療・薬学における酸素供給評価
モル計算演習（高校化学〜大学基礎）

固体炭素 C と水蒸気 H₂O の反応

（1）反応式と仮定

以下の2つの反応が同時に進行：

① C + H₂O → CO + H₂
② C + 2H₂O → CO₂ + 2H₂

炭素の投入量：0.60 mol
水蒸気の投入量：1.6 mol
反応後の H₂ の量：0.80 mol
各反応の進行モルを：
```
①式：x mol
②式：y mol
```

（2）水素ガス H₂ の生成量より式を立てる

各反応による H₂ 生成：

①式：x mol の反応で H₂ は x mol
②式：y mol の反応で H₂ は 2y mol

合計で：

x + 2y = 0.80 ......①

（3）CO・CO₂ の生成比より式を立てる

反応後に生成した気体は：

CO：x mol
CO₂：y mol
CO : CO₂ = 2 : 1 という関係より：
```
x : y = 2 : 1 → x = 2y ......②
```

（4）連立方程式の解

式①に②を代入：

x + 2y = 0.80
→ 2y + 2y = 0.80 → 4y = 0.80 → y = 0.20
→ x = 2y = 0.40

（5）各気体の生成量と残存物

反応後の水蒸気消費量：

H₂O = x + 2y = 0.40 + 0.40 = 0.80 mol

反応後に存在する物質とその量：

物質	モル数
H₂O（未反応）	1.60 − 0.80 = 0.80 mol
CO	x = 0.40 mol
CO₂	y = 0.20 mol
H₂	0.80 mol
合計（気体）	1.60 mol（CO + CO₂ + H₂）

WolframAlphaリンク（数値確認）

応用ソリューション

この問題は、複数反応の同時進行において、生成物と反応物のモル比を用いて進行度を特定する応用問題です。

使用法則：

化学反応式と係数比 → 反応進行度を表す変数（x, y）設定
生成物の量（H₂）→ モル数合計の式
CO:CO₂ 比 → 比例式
モル数保存・物質収支 → 残存量の計算

活用分野

反応速度論と生成量の解析
実験における気体生成量の見積り
複数反応系のモデル化・連立方程式の応用

エタノール蒸気の圧力・体積・モル数計算（ボイルの法則応用）

（1）状態Bのエタノール蒸気の圧力 $P$ の計算

ボイルの法則より：

(P₁)(V₁) = (P₂)(V₂)

与えられた条件：

状態A：
圧力 $= \frac{7.0 \times 10^4}{76}$ [Pa]
体積 $= 47 × 3.0$ [cm³]
状態B：
圧力 $= P$ [Pa]
体積 $= 78 × 3.0$ [cm³]

計算式：

P = (7.0×10⁴ / 76) × (47 / 78)

WolframAlphaリンク：

P = (7.0×10⁴ / 76) × (47 / 78)

（2）状態Aでのモル数 $n$ の計算

気体の状態方程式より：

n = PV / RT

圧力 $= \frac{7.0×10^4}{76}$ [Pa]
体積 $= 9.0×3.0 = 27.0$ [cm³] = 0.027 [L]
気体定数 $R = 8.3×10³$ [cm³·Pa/(mol·K)]
温度 $T = 300$ [K]

計算式：

n = (7.0×10⁴ / 76) × 27 / (8.3×10³ × 300)

WolframAlphaリンク：

n = (7.0×10⁴ / 76) × 27 / (8.3×10³ × 300)

（3）状態Bでのモル数 $n'$ の計算

体積 $= 47×3.0 = 141$ [cm³]
他の条件同じ

計算式：

n' = (7.0×10⁴ / 76) × 141 / (8.3×10³ × 300)

WolframAlphaリンク：

n' = (7.0×10⁴ / 76) × 141 / (8.3×10³ × 300)

ポイントまとめ

項目	値
圧力 P（状態B）	約 5.6 × 10⁴ Pa
モル数 n（状態A）	約 1.0 × 10⁻⁴ mol
モル数 n'（状態B）	約 5.2 × 10⁻⁴ mol

使用法則・定理：

ボイルの法則 $P_1V_1 = P_2V_2$
理想気体の状態方程式 $PV = nRT$
単位換算：1 cm³ = 0.001 L、Pa = N/m²

応用分野：

蒸気圧・気化熱の測定
密閉系での気体変化解析
高校〜大学初年の理想気体演習問題

ファンデルワールス状態方程式と実在気体の圧力補正

【1】理想気体と実在気体の違い（補正式）

圧力補正：

実測圧 $P'$ は、理想気体の圧力 $P$ より 分子間引力の分だけ小さい。

P' = P - a / V²  
⇔ P = P' + a / V² ……①

体積補正：

実測体積 $V'$ は、理想気体の体積 $V$ より 分子自身の体積分だけ大きい。

V' = V + b  
⇔ V = V' - b ……②

【2】ファンデルワールスの状態方程式（整理形）

理想気体の状態方程式：

PV = RT

補正後の形（Van der Waals式）：

(P' + a/V²)(V - b) = RT

【3】式の整理と近似形（画像内の導出式）

両辺を RT で割ると：

PV' / RT = 1 + (bP')/RT - a / (V'RT) + ab / (V'²RT)

この中で、

第2項：分子自身の体積補正
第3項：分子間引力の補正

【4】計算例（与えられた数値）

画像の式(5)に相当：

(P' + 3.6×10⁵) × 0.96 = 2.49×10⁶

WolframAlpha確認リンク：

(P' + 3.6×10^5) × 0.96 = 2.49×10^6

【5】解：

P' = 2.23 × 10⁶ [Pa]

【6】使われた数値と単位の一覧

記号	値	単位	意味
$a$	3.6 × 10⁵	Pa·m⁶/mol²	分子間引力補正定数
$V'$	1.0²	m³/mol	実測体積の2乗
$b$	0.040	m³/mol	分子の固有体積
$T$	300	K	絶対温度
$R$	8.3 × 10³	Pa·cm³/mol·K	気体定数
$P'$	求める圧力	Pa	実在気体の測定圧

ポイント整理

高温・低圧では、気体分子間の引力・体積は無視できる → 理想気体近似が有効。
圧力や体積が大きくなるほど補正項（aやbの影響）が効いてくる。
ファンデルワールス式は、理想気体では説明できない現象の補正に用いられる。

硝酸カリウム KNO₃ の再結晶量の計算

（1）初期条件の設定

硝酸カリウム水溶液：質量 100 g
KNO₃ の質量：40 g（質量パーセント濃度 40%）

KNO₃：100 × 0.40 = 40 g  
H₂O：100 − 40 = 60 g

（2）溶解度と温度の関係から、結晶析出の開始温度を推定

水100gあたりのKNO₃量：

40 / 60 × 100 = 66.6 g

よって、この水溶液は 約40℃で飽和
→ 冷却により析出が始まる。

（3）10℃での溶解度を利用して析出量を計算

10℃のKNO₃溶解度：約 20 g / 100 g水

水が 60 g あるので：

x / 60 = 20 / 100 → x = 12 g

（4）析出するKNO₃結晶の質量 y を求める

40 g溶けていたが、冷却後は12 gしか溶けない：

y = 40 − 12 = 28 g

（5）飽和溶液とKNO₃の比率から検算

飽和溶液：110 g中に 52.4 g KNO₃ が含まれる（10℃）

式：

(52.4 − y) / (100 + 20) = 20 / 100  
→ 52.4 − y = 24  
→ y = 28.4 g

WolframAlphaリンク（数値確認用）

計算内容	WolframAlphaリンク
40 ÷ 60 × 100	40 ÷ 60 × 100
20 ÷ 100 × 60	20 ÷ 100 × 60
40 − 12	40 − 12
52.4 − y = 20 ÷ 100 × 120 → y	solve+52.4+-+y+=+20%2F100*120

解法のポイントまとめ

濃度 → 溶質質量 → 飽和条件の判定
冷却後の溶解度 → 飽和限界以下の物質が析出
質量保存と比例式を活用して再確認

応用分野

再結晶・析出法の定量計算
溶解度曲線の読み取りトレーニング
実験操作前の理論的見積り

CaCl₂・6H₂O 溶液と浸透圧差の計算

（1）構成比の計算

CaCl₂・6H₂O の構成：

CaCl₂ の質量：
```
73.0 × 111 / 219 = 37.0 g → 1/3 mol
```
WolframAlphaで確認
結晶水の質量：
```
73.0 × 108 / 219 = 36.0 g
```
WolframAlphaで確認

（2）溶液全体の質量

水 500g に溶かした場合：
```
500 + 36.0 = 536.0 g
```
確認リンク

（3）CaCl₂ の電離と粒子数

CaCl₂ → Ca²⁺ + 2Cl⁻ → 1 mol あたり 3粒子

（4）液面差による体積変化と浸透圧式の導出

水位変化：
```
x / 2 → 2.5x mL
```
総体積：
```
(50 + 2.5x) / 1000 L
```

（5）浸透圧の式と代入

浸透圧（片側のみ考慮）：

x / 1026 × 10⁵ = (3.0 × 8.3 × 10³ × 300) / (50 + 2.5x) × 1000

右辺は：

= 7.47 × 10⁶ / (50 + 2.5x)

WolframAlphaで展開確認

（6）整理して得られる式：

x² + 20x − 308 = 0

WolframAlphaで解く

解：

x = 10 cm（正の解のみ有効）

結論と考察

項目	結果
水位差（x）	10 cm
電離後の粒子数	CaCl₂ → 3 粒子
浸透圧モデル式	π = nRT/V
溶液体積の変化	x cm により 2.5x mL
実験適用の応用範囲	浸透圧測定・分子量推定・膜輸送

尿素・ショ糖・水混合溶液における蒸気圧差と水移動量の計算

（1）モル計算

水（H₂O）：
```
180 g ÷ 18.0 = 10.0 mol
```
尿素（CO(NH₂)₂）：
```
6.00 g ÷ 60.0 = 0.100 mol
```
ショ糖（C₁₂H₂₂O₁₁）：
```
6.84 g ÷ 342 = 0.0200 mol
```

WolframAlphaで確認

（2）溶液A・Bのモル分率（x₁）

A液（水+尿素）における水のモル分率：
```
x₁A = 10.0 / (10.0 + 0.100) = 0.990
```
確認
B液（水+ショ糖）における水のモル分率：
```
x₁B = 10.0 / (10.0 + 0.0200) = 0.998
```
確認

（3）水の蒸気圧（Raoultの法則）

蒸気圧はモル分率×純水の蒸気圧（3.13×10³ Pa）：

A液：
```
3.13×10³ × 0.990 = 3.10×10³ Pa
```
B液：
```
3.13×10³ × 0.998 = 3.12×10³ Pa
```

確認リンク

（4）蒸気圧差と水の移動

A液は蒸気圧が低く、B液の水蒸気がAへ移動する。
蒸気圧差があるため、B液→A液へ水分子が移動し、両者のモル分率が等しくなるまで続く。

（5）水の移動量 n mol を求める式

両液で水のモル分率が等しくなるとすると：

(10.0 + n) / (10.0 + 0.1 + n) = (10.0 − n) / (10.0 + 0.02 − n)

WolframAlphaで式確認

これを解くと：

n = 6.67 mol

結論

項目	結果
A液の水の初期モル数	10.0 mol
B液の水の初期モル数	10.0 mol
A液の溶質：尿素	0.100 mol
B液の溶質：ショ糖	0.020 mol
水蒸気圧（A vs B）	3.10×10³ vs 3.12×10³ Pa
移動する水の量（B→A）	6.67 mol
移動停止の条件	両液のモル分率が等しくなる

溶質のベンゼンと水への分配計算（抽出操作）

（1）分配係数の基本式と初期条件

初期状態：

水層に溶質 1.0 g
ベンゼンと水は混ざらず、2層に分かれる（上層：ベンゼン、下層：水）
1回目操作後、水層に残る溶質：0.25 g

分配係数の式：

$$
K = \frac{C_2}{C_1} = \frac{0.75 / 100}{0.25 / 100} = 3.0
$$

（ベンゼン層と水層の濃度比）

WolframAlphaで確認

（2）1回目の操作による抽出量

水層に最初 1.0 g 溶質あり
ベンゼン層に移る溶質を x[g] とする

式：

$$
K = \frac{x/50}{(1.0 - x)/100} = 3.0
$$

整理して：

$$
\frac{2x}{1.0 - x} = 3.0 → x = 0.60
$$

WolframAlphaで解く

（3）2回目の操作による抽出量

1回目後、水層に残る溶質：0.40 g
新たにベンゼン層に移る量を y[g] とする

式：

$$
K = \frac{y/50}{(0.40 - y)/100} = 3.0
$$

整理して：

$$
\frac{2y}{0.40 - y} = 3.0 → y = 0.24
$$

WolframAlphaで解く

（4）抽出総量と操作回数の効果

操作回数	抽出量（g）
1回目	0.60
2回目	0.24
合計	0.84 g（0.60 + 0.24）

単回の抽出で得られる最大は 0.75 g（K=3.0 の理論値）
2回抽出の方が有利で、抽出量が増える

結論と考察

分配係数 K を用いることで、抽出効率の定量評価が可能
複数回に分けた抽出操作は、単回操作よりも効率的
実験設計・製薬・有機合成などでの抽出条件最適化に有用

過酸化水素 H₂O₂ の分解における反応速度式の導出

（1）平均反応速度の定義

時間 0〜1分の濃度変化より：

$$
\bar{v} = \frac{0.30 - 0.50}{1} = -0.20\ [\text{mol/L·分}]
$$

※濃度減少なので正の値で考える場合：

$$
v = 0.20\ [\text{mol/L·分}]
$$

（2）反応速度式の定義

反応速度式は：

$$
v = k[\text{H₂O₂}]^n
$$

ここでは一次反応と仮定し、n = 1 とすると：

$$
v = k[\text{H₂O₂}]
$$

（3）平均濃度の導入

濃度変化の平均をとって：

$$
[\text{H₂O₂}]_{\text{avg}} = \frac{0.50 + 0.30}{2} = 0.40\ \text{mol/L}
$$

代入して反応速度定数 k を求める：

$$
k = \frac{v}{[\text{H₂O₂}]_{\text{avg}}} = \frac{0.20}{0.40} = 0.50\ \text{[分}^{-1}]
$$

WolframAlphaで確認

（4）次の時間区間（1分→2分）での計算

濃度を x mol/L とすると、速度式は：

$$
v = \frac{0.30 - x}{1}
$$

平均濃度：

$$
[\text{H₂O₂}]_{\text{avg}} = \frac{0.30 + x}{2}
$$

反応速度定数 k の定義より：

$$
k = \frac{0.30 - x}{(0.30 + x)/2} = 0.50
$$

この式を解いて x を求める：

$$
\frac{0.30 - x}{(0.30 + x)/2} = 0.50
\Rightarrow 2(0.30 - x) = 0.50(0.30 + x)
$$

WolframAlphaで代数計算

（5）式の整理と検算

$$
0.60 - 2x = 0.15 + 0.50x
\Rightarrow 0.45 = 2.50x
\Rightarrow x = 0.18\ \text{mol/L}
$$

WolframAlphaで解く

結論と応用

項目	値
初期濃度	0.50 mol/L
1分後濃度	0.30 mol/L
2分後濃度	0.18 mol/L
平均速度定数 k	0.50 [分⁻¹]

応用分野：

酵素反応の初速度解析
一次反応速度のフィッティング
化学反応の温度依存解析（Arrhenius式）

一次反応と半減期

（1）一次反応の定義式

反応：

$$
A \longrightarrow B
$$

反応速度は濃度に比例：

$$
v = -\frac{d[A]}{dt} = k[A]
$$

変形して：

$$
\frac{d[A]}{[A]} = -k,dt
$$

両辺を積分（$[A]_0$ → $[A]$、0 → t）：

$$
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]} = -k \int_0^t dt
\Rightarrow \log [A] = -kt + \log [A]_0
$$

よって：

$$
[A] = [A]_0 e^{-kt}
$$

WolframAlphaで確認

（2）半減期の導出式

定義：

$$
[A] = \frac{[A]_0}{2}
\Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-kt}
$$

両辺に自然対数をとる：

$$
\log 2 = kt
\Rightarrow t = \frac{\log 2}{k}
$$

$$
\log 2 \approx 0.693
$$

WolframAlphaで log(2) を確認

（3）具体計算：k = 6.38 × 10⁻³ の場合

$$
t = \frac{0.693}{6.38 \times 10^{-3}} \approx 108.6 ≒ 109 \text{分}
$$

WolframAlphaで計算

（4）2段階での確認式

$$
k = \frac{v}{[H_2O_2]_{avg}} = \frac{0.20}{0.40} = 0.50\ [\text{分}^{-1}]
$$

WolframAlphaで計算

次の時点（t = 2分）での方程式：

$$
k = \frac{0.30 - x}{\frac{0.30 + x}{2}} = 0.50
\Rightarrow 2(0.30 - x) = 0.50(0.30 + x)
$$

WolframAlphaで解く

まとめ

項目	結果	WolframAlphaリンク
濃度式	[A] = [A]₀ e⁻ᵏᵗ	リンク
半減期公式	t = log(2)/k	リンク
半減期計算	t ≒ 109分（k = 6.38×10⁻³）	リンク
実験から k	k = 0.20 / 0.40 = 0.50	リンク
次ステップ解	x ≈ 0.13	リンク

応用分野と技術利用

放射性物質の崩壊（半減期）
医薬品の分解速度
食品や燃料の保存期間
工業プロセスの設計とモニタリング
AIによる反応予測モデルへの実装

二次反応と半減期

（1）二次反応の速度式

反応速度が濃度の2乗に比例する：

$$
\frac{dC}{dt} = -k C^2
$$

🔗 WolframAlphaで確認

（2）変数分離と積分

変数を分離して積分：

$$
\frac{dC}{C^2} = -k,dt
\quad\Rightarrow\quad
\int \frac{dC}{C^2} = - \int k,dt
$$

積分結果：

$$
-\frac{1}{C} = -kt + B
\quad\Rightarrow\quad
\frac{1}{C} = kt + \frac{1}{C_0}
$$

🔗 WolframAlphaで積分確認

（3）濃度と時間の関係式

整理された濃度の式（C₀：初期濃度）：

$$
\frac{1}{C} = kt + \frac{1}{C_0}
$$

🔗 WolframAlphaで式を入力

（4）半減期の導出

半減期 $t_{1/2}$ は、$\displaystyle C = \frac{1}{2} C_0$ のとき：

$$
\frac{1}{0.5 C_0} = kt_{1/2} + \frac{1}{C_0}
\quad\Rightarrow\quad
\frac{2}{C_0} = kt_{1/2} + \frac{1}{C_0}
\quad\Rightarrow\quad
kt_{1/2} = \frac{1}{C_0}
$$

よって：

$$
t_{1/2} = \frac{1}{k C_0}
$$

🔗 WolframAlphaで導出式を解く

（5）数値計算：$t_{1/2} = 200$ 分のとき

$$
t_{1/2} = \frac{1}{k C_0} = 200
\quad\Rightarrow\quad
k = \frac{1}{200 C_0}
$$

🔗 WolframAlphaで式確認

まとめ表（WolframAlphaリンク付き）

項目	数式	WolframAlphaリンク
速度式	$\frac{dC}{dt} = -k C^2$	リンク
濃度式	$\frac{1}{C} = kt + \frac{1}{C_0}$	リンク
半減期導出	$t_{1/2} = \frac{1}{k C_0}$	リンク
半減期→kの計算	$k = \frac{1}{200 C_0}$	リンク

反応速度定数 $k$ の温度依存性とアレニウスプロット

（1）反応速度式と温度依存性の基本

反応：

$$
\mathrm{A \rightarrow B}
$$

反応速度 $v$ は反応物Aの濃度 $[A]$ に比例し、

$$
v = k [A]^n
$$

$k$：反応速度定数（温度依存）
$n$：反応の次数

（2）アレニウスの式

$$
k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}
$$

$A$：頻度因子
$E_a$：活性化エネルギー（J/mol）
$R$：気体定数（8.31 J/mol·K）
$T$：絶対温度（K）

🔗 WolframAlpha：アレニウス式の計算

（3）アレニウス式の対数変形

$$
\log k = -\frac{E_a}{2.303RT} + \log A
$$

または

$$
\log_{10} k = -\frac{E_a}{2.3RT} + \log_{10} A
$$

🔗 WolframAlpha：対数変形

（4）アレニウスプロット

縦軸：$\log k$、横軸：$1/T$でプロットすると直線に：

$$
\log k = -\frac{E_a}{2.3R} \cdot \frac{1}{T} + \log A
$$

傾き：

$$
m = -\frac{E_a}{2.3R}
$$

🔗 WolframAlpha：線形グラフ

（5）関連 WolframAlpha クエリ一覧

内容	式・説明	リンク
アレニウス式一般形	$k = A e^{-E_a / RT}$	リンク
対数変形	$\log k = -\frac{E_a}{2.303RT} + \log A$	リンク
活性化エネルギー算出	傾き $m = -\frac{E_a}{2.3R}$	リンク
$k$ の温度依存グラフ	$k(T)$ のプロット	リンク
アレニウスプロット線形化	$\log k$ 対 $1/T$	リンク
頻度因子 $A$ の意味	定数としての $A$	リンク

（6）アレニウスプロットの応用例

触媒効果解析（活性化エネルギーの低減）
反応機構の推定
燃焼制御・爆発防止
保存温度管理
AIによる反応速度予測モデルの構築

（7）追加計算例

活性化エネルギーの計算

傾き $m$ から $E_a$ を算出：

$$
E_a = -m \times 2.3 R
$$

🔗 WolframAlphaで傾きから計算

（8）補足：気体定数の値

$$
R = 8.314, \mathrm{J/(mol \cdot K)}
$$

解離度と平衡定数 $K_p$ の計算例

（1）反応系

$$
\mathrm{N_2O_4 \rightleftharpoons 2NO_2}
$$

（2）半平衡時のモル数

$$
N_2O_4: 0.010 (1 - \alpha), \quad NO_2: 0.010 \times 2\alpha
$$

全モル数：

$$
n = 0.010 (1 + \alpha)
$$

（3）状態方程式

$$
PV = nRT
$$

数値例：

$$
4.6 \times 10^4 \times 1.0 = 0.010 (1 + \alpha) \times 8.3 \times 10^3 \times 340
$$

🔗 WolframAlphaで$\alpha$を求める

（4）分圧の式

$$
P_{N_2O_4} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}P, \quad P_{NO_2} = \frac{2\alpha}{1+\alpha}P
$$

（5）平衡定数 $K_p$ の式

$$
K_p = \frac{P_{NO_2}^2}{P_{N_2O_4}} = \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2} P
$$

🔗 WolframAlphaで計算例

（6）圧力代入計算

$$
K_p = \frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2} \times 9.0 \times 10^4 = 1.2 \times 10^5
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（7）解離度 $\alpha$ の計算

$$
\alpha^2 = 0.25 \Rightarrow \alpha = 0.50
$$

🔗 WolframAlphaで平方根

反応の分圧・濃度・平衡定数・速度定数の計算

（1）分圧の計算例

例えば $t_1$ での HI 分圧計算：

$$
P_{HI} = (0.50 - 0.30) \times 2 = 0.40 \times 10^5 \quad \text{[Pa]}
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（2）濃度計算

状態方程式から、

$$
[H_2] = \frac{P}{RT} = \frac{0.10 \times 10^5}{8.3 \times 10^3 \times 600} = 2.0 \times 10^{-3} \quad \mathrm{mol/L}
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（3）平衡定数 $K$ の計算

$$
K = \frac{(1.6 \times 10^{-2})^2}{(2.0 \times 10^{-3})^2} = 64
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（4）速度比の計算

$$
\frac{v_1}{v_2} = 64 \times \frac{\left(\frac{0.30 \times 10^5}{RT}\right)^2}{\left(\frac{0.40 \times 10^5}{RT}\right)^2} = 36
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（5）補足：気体定数の値

$$
R = 8.314 \quad \mathrm{J/(mol \cdot K)}
$$

アンモニア合成の平衡計算例

（1）全物質量と $x$ の計算

$$
\frac{2x}{12.0 - 2x} \times 100 = 50
$$

🔗 WolframAlphaで $x$ を解く

（2）熱量計算

$$
92 \times 2 = 184 = 1.8 \times 10^2 , \mathrm{kJ}
$$

🔗 WolframAlphaで計算

（3）体積 $V$ の計算

$$
1.0 \times 10^5 \times V = 8.3 \times 10^3 \times 8 \times 673
$$

（$12.0 - 4.0 = 8$ mol、温度は $273+400=673$ K）

🔗 WolframAlphaで計算

（4）平衡定数 $K$ の計算

$$
K = \frac{\left(\frac{4.0}{4.5}\right)^2}{\frac{1.0}{4.5} \times \left(\frac{3.0}{4.5}\right)^3}
$$

🔗 WolframAlphaで計算

反応平衡と速度定数の計算例

（1）平衡定数 $K$ の計算

反応：

$$
A + B \rightleftharpoons 2C
$$

平衡時モル数（mol）：

$$
A = 1 - x, \quad B = 1 - x, \quad C = 2x
$$

平衡定数の式：

$$
K = \frac{[C]^2}{[A][B]} = \frac{\left(\frac{2x}{2}\right)^2}{\left(\frac{1 - x}{2}\right)^2} = 64
$$

完全平方式なので両辺の平方根をとり、

$$
\frac{2x}{2} \Big/ \frac{1 - x}{2} = 8
$$

よって、

$$
\frac{2x}{1 - x} = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 0.80 \quad (\mathrm{mol})
$$

濃度 $C$ は、

$$
C = 2x = 2 \times 0.80 = 1.6 \quad (\mathrm{mol})
$$

🔗 WolframAlphaで $x$ を解く

（2）速度定数 $k_1$ の計算

実験1の速度式：

$$
v_r = k_1 [A][B]
$$

実験条件：

$$
T = 7^\circ C, \quad v_r = 1.00 \times 10^{-2} = k_1 \times 1.00 \times 2.00
$$

したがって、

$$
k_1 = 5.00 \times 10^{-3} \quad (L/mol \cdot min)
$$

（3）速度定数 $k_1'$ の計算

実験2の速度式：

$$
v_r = k_1' [C]^2
$$

実験条件：

$$
T = 7^\circ C, \quad v_r = 2.00 \times 10^{-3} = k_1' \times 5.00^2
$$

したがって、

$$
k_1' = 8.00 \times 10^{-5} \quad (L/mol \cdot min)
$$

（4）平衡状態における速度定数の関係

平衡状態では、

$$
v_f = v_r \quad \Rightarrow \quad k_1 [A][B] = k_1' [C]^2
$$

よって平衡定数は、

$$
K = \frac{k_1}{k_1'} = \frac{5.00 \times 10^{-3}}{8.00 \times 10^{-5}} = 62.5
$$

（5）速度定数 $k_2$ の計算

同様に、

$$
k_2 = 4.00 \times 10^{-2}
$$

WolframAlphaリンクまとめ

内容	式	リンク
平衡定数式の $x$ 解法	$\frac{2x}{1-x} = 8$	解く
速度定数 $k_1$ 計算	$1.00 \times 10^{-2} = k_1 \times 2$	計算
速度定数 $k_1'$ 計算	$2.00 \times 10^{-3} = k_1' \times 5.00^2$	計算
平衡定数の比計算	$\frac{5.00 \times 10^{-3}}{8.00 \times 10^{-5}} = 62.5$	計算

酢酸とエタノールの反応の平衡定数計算例

反応

$$
\mathrm{CH_3COOH + C_2H_5OH \rightleftharpoons CH_3COOC_2H_5 + H_2O}
$$

(1) 未反応物の存在と反応量

反応液中の未反応酢酸はNaOHで中和される
加水分解されない
反応液に残った酢酸の物質量を $x$ mol とすると、

$$
x \times \frac{2.0}{100} = 0.20 \times \frac{45}{1000}
$$

よって、

$$
x = 0.45 \quad (\mathrm{mol})
$$

反応して生成した酢酸エチルと水はそれぞれ

$$
0.55 \quad (\mathrm{mol})
$$

(2) 平衡定数 $K$ の式

$$
K = \frac{[\mathrm{CH_3COOC_2H_5}][\mathrm{H_2O}]}{[\mathrm{CH_3COOH}][\mathrm{C_2H_5OH}]} = \frac{\left(\frac{0.55}{0.10}\right)^2}{\left(\frac{0.45}{0.10}\right)^2} \approx 1.5
$$

(3) 平衡の計算（酢酸エチルの生成量 $x$ mol）

体積を $V$ とすると、

$$
K = \frac{\left(\frac{x}{V}\right)^2}{\left(\frac{4.0 - x}{V}\right)\left(\frac{2.0 - x}{V}\right)} = 1.5
$$

両辺を整理すると、

$$
x^2 - 18x + 24 = 0
$$

よって、

$$
x = \frac{18 \pm \sqrt{228}}{2} \approx 15.1
$$

(4) 別反応例：$N_2O_4$ の解離度 $\alpha$

反応：

$$
N_2O_4 \rightleftharpoons 2NO_2
$$

平衡時のモル数：

$$
N_2O_4: 0.90(1 - \alpha), \quad NO_2: 0.90 \times 2\alpha
$$

体積比：

$$
\frac{V_A}{V_B} = 9.0
$$

部屋Aの容量：

$$
7.2 , (L)
$$

平衡定数：

$$
K = \frac{[NO_2]^2}{[N_2O_4]} = \frac{\left(\frac{1.80 \alpha}{7.2}\right)^2}{\frac{0.90(1 - \alpha)}{7.2}} = 0.45
$$

(5) 解離度 $\alpha$ の計算

$$
\alpha^2 + 0.90 \alpha - 0.90 = 0
$$

追加のWolframAlphaリンク例

$K$ の計算：
https://www.wolframalpha.com/input?i=0.550.55%2F%280.450.45%29
二次方程式の解：
https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+x%5E2-18x%2B24%3D0
解離度の方程式：
https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+alpha%5E2+%2B+0.9alpha+-+0.9+%3D+0

酢酸とエタノールの反応の平衡定数計算例

(1) 未反応物の存在と反応量 $x$

右辺の計算：
$;0.20 \times \dfrac{45}{1000}$
🔗 計算
方程式を立てる：
$x \times \dfrac{2.0}{100} = 0.20 \times \dfrac{45}{1000}$
🔗 式を入力
$x$ を解く：
🔗 解く
生成量の計算：
$0.55 = 1.00 - 0.45$
🔗 計算

(2) 平衡定数 $K$ の計算

分子部分：
$\displaystyle\bigl(\tfrac{0.55}{0.10}\bigr)^2$ →
🔗 計算
分母部分：
$\displaystyle\bigl(\tfrac{0.45}{0.10}\bigr)^2$ →
🔗 計算
比をとる：
$\displaystyle\frac{(0.55/0.10)^2}{(0.45/0.10)^2}$ →
🔗 計算

(3) 平衡の二次方程式

方程式：
$x^2 - 18x + 24 = 0$
🔗 式を入力
解を求める：
🔗 解く
判別式の平方根：
$\sqrt{228}$ →
🔗 計算
具体的な解：
$\displaystyle x=\frac{18\pm\sqrt{228}}{2}$ →
- プラス解: 🔗 計算
- マイナス解: 🔗 計算
解の近似値（プラス解）:
🔗 計算

(4) 別反応例：$N_2O_4$ の解離度 $\alpha$

分子部分：
$\displaystyle\bigl(\tfrac{1.80,\alpha}{7.2}\bigr)^2$ →
🔗 計算
分母部分：
$\displaystyle\frac{0.90,(1-\alpha)}{7.2}$ →
🔗 計算
$K$ の計算：
$\displaystyle\frac{(1.80\alpha/7.2)^2}{0.90(1-\alpha)/7.2}$ →
🔗 計算
解離度の方程式：
$\alpha^2 + 0.90\alpha - 0.90 = 0$ →
🔗 式を入力
$\alpha$ を解く：
🔗 解く

酢酸＋エタノール反応と N₂O₄ 解離の平衡計算

A. 酢酸＋エタノール反応

$$
\mathrm{CH_3COOH + C_2H_5OH \rightleftharpoons CH_3COOC_2H_5 + H_2O}
$$

(1) 既知データ：初期モル数／生成量

初期：酢酸 4.0 mol、エタノール 2.0 mol
平衡：酢酸エチル（生成量 $x$ mol）、酢酸・エタノールそれぞれ $4.0 - x$、$2.0 - x$

(2) 既に求めた $K=1.5$ を使って二次方程式を立てる

$$
K = \frac{\bigl(\tfrac{x}{V}\bigr)^2}{\bigl(\tfrac{4.0 - x}{V}\bigr)\bigl(\tfrac{2.0 - x}{V}\bigr)} = 1.5
;\Longrightarrow;
x^2 - 18x + 24 = 0
$$

方程式入力 → 🔗 入力
解を求める → 🔗 解く
判別式√228 → 🔗 計算
プラス解（有効解） → 🔗 計算

→ $x\approx15.1$（論理的に $x<2.0$ より、1.45 mol を採用）

(3) 酢酸＋エタノールを $x$ molずつ反応させた場合

平衡定数別設定：

$$
K = \frac{\bigl(\tfrac{1.0}{V}\bigr)^2}{\bigl(\tfrac{x-2.0}{V}\bigr)^2} = 2.0
;\Longrightarrow;
2x^2 - 4x + 1 = 0
$$

方程式入力 → 🔗 入力
解を求める → 🔗 解く
解の近似（大きい方） → 🔗 計算

→ $x\approx1.71$ mol

B. N₂O₄ ⇄ 2 NO₂ の解離度計算

$$
\mathrm{N_2O_4 \rightleftharpoons 2,NO_2}
$$

(4) 平衡モル数と体積比

部屋A：初期 $0.90$ mol、体積 $V_A=7.2$ L
解離度 $\alpha$ とすると平衡：

$$
N_2O_4:0.90(1-\alpha),\quad NO_2:0.90\times2\alpha
$$

(5) 平衡定数 $K =0.45$ の式

$$
K = \frac{[NO_2]^2}{[N_2O_4]}
= \frac{\bigl(\tfrac{1.80,\alpha}{7.2}\bigr)^2}{\tfrac{0.90(1-\alpha)}{7.2}}
= 0.45
$$

分子入力 → 🔗 計算
分母入力 → 🔗 計算
全体計算 → 🔗 計算

(6) 解離度 $\alpha$ の二次方程式

$$
\alpha^2 + 0.90,\alpha - 0.90 = 0
$$

方程式入力 → 🔗 入力
解を求める → 🔗 解く

→ $\alpha\approx0.60$（物理的に正の解）

(7) 部屋Aの全圧 $P$ の計算

平衡気体量：

$$
n = 0.90(1+\alpha) = 0.90\times1.60 = 1.44\text{ mol}
$$

状態方程式 $PV=nRT$：

$$
P = \frac{nRT}{V_A} = \frac{1.44 \times 8.3\times10^3 \times 333}{7.2}
$$

🔗 圧力計算

→ $P\approx5.52\times10^5$ Pa

希薄 HCl 溶液の pH 計算

1. 電離による初期イオン濃度

HCl は強酸としてほぼ完全電離：

$$
\mathrm{HCl ;\rightarrow; H^+ + Cl^-}
$$

電離で生じる $[H^+]=10^{-7},\mathrm{mol/L}$（例：塩酸濃度 10⁻⁷ M と仮定）
水の自己解離により生じるイオン：

$$
\mathrm{H_2O \rightleftharpoons H^+ + OH^-}
$$

それぞれの濃度を $x$ mol/L とおく

2. 全水素イオン濃度と水のイオン積

全水素イオン濃度：

$$
[H^+]_{\rm tot} = 10^{-7} + x
$$
水酸化物イオン濃度：

$$
[OH^-] = x
$$
水のイオン積条件：

$$
K_w = [H^+][OH^-] = 1.0\times10^{-14}
$$

これを合わせて式を立てると、

$$
(10^{-7} + x),x = 1.0\times10^{-14}
;\Longrightarrow;
x^2 + 10^{-7}x - 10^{-14} = 0
$$

3. 二次方程式の解法

(1) 方程式入力

🔗 入力

(2) 解を求める

🔗 解く

– 2 解のうち物理的に正の解

$$
x \approx 0.60\times10^{-7},\mathrm{mol/L}
$$

4. 総水素イオン濃度と pH 計算

総 $[H^+]$：

$$
10^{-7} + 0.60\times10^{-7} = 1.60\times10^{-7},\mathrm{mol/L}
$$

🔗 計算
pH：

$$
\mathrm{pH} = -\log_{10}[H^+] = -\log_{10}(1.6\times10^{-7})
$$

🔗 pH 計算

→ $\displaystyle \mathrm{pH}\approx6.8$

CO₂ 溶解と炭酸の 2 段階電離：pH とイオン濃度の計算

溶解した CO₂ 濃度を $C$（mol/L）とし、炭酸 $\mathrm{H_2CO_3}$ の第1電離度を $\alpha$ とします。

1. 第1電離（支配的過程）

$$
\mathrm{H_2CO_3 \rightleftharpoons H^+ + HCO_3^-}
\quad;\quad
K_1 = 5.0\times10^{-7},\mathrm{(mol/L)}
$$

平衡時：

$$
[\mathrm{H_2CO_3}] = C(1-\alpha),\quad
[\mathrm{H^+}] = [\mathrm{HCO_3^-}] = C\alpha
$$

$$
K_1 = \frac{C\alpha \times C\alpha}{C(1-\alpha)} = \frac{C\alpha^2}{1-\alpha}
;\Longrightarrow;
\frac{\alpha^2}{1-\alpha} = \frac{K_1}{C}
$$

近似：$\alpha\ll1$ のとき $1-\alpha\approx1$

$$
\alpha \approx \sqrt{\frac{K_1}{C}}
$$

リンク $\displaystyle \alpha=\sqrt{\tfrac{5.0\times10^{-7}}{3.5\times10^{-2}}}$ →
https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%285.0e-7%2F3.5e-2%29

2. 全水素イオン濃度 $[H^+]$ と pH

$$
[H^+] \approx C,\alpha = C,\sqrt{\frac{K_1}{C}} = \sqrt{C,K_1}
$$

リンク $\displaystyle [H^+]=\sqrt{3.5\times10^{-2}\times5.0\times10^{-7}}$ →
https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%283.5e-2*5.0e-7%29

$$
\mathrm{pH} = -\log_{10}[H^+]
$$

リンク pH →
https://www.wolframalpha.com/input?i=-log10%285.91e-4%29
（例：$[H^+]\approx5.91\times10^{-4}$）

3. 第2電離による炭酸イオン $[\mathrm{CO_3^{2-}}]$

$$
\mathrm{HCO_3^- \rightleftharpoons H^+ + CO_3^{2-}}
\quad;\quad
K_2 = 5.0\times10^{-11},\mathrm{(mol/L)}
$$

生成した第2電離分の $[H^+]$ ではなく、全 $[H^+]$ を使う：

$$
K_2 = \frac{[H^+],[CO_3^{2-}]}{[HCO_3^-]}
;\Longrightarrow;
[CO_3^{2-}] = K_2 \frac{[HCO_3^-]}{[H^+]}
$$

ここで $[HCO_3^-]\approx C\alpha$、$[H^+]$ は上記全 $[H^+]$。

リンク $[CO_3^{2-}]=5.0\times10^{-11}\times\dfrac{3.79\times10^{-3}}{5.91\times10^{-4}}$ →
https://www.wolframalpha.com/input?i=5.0e-11*%283.79e-3%2F5.91e-4%29

4. 問2：$C=1.0\times10^{-5}$ mol/L の場合

$$
\alpha \approx \sqrt{\frac{K_1}{C}}
= \sqrt{\frac{5.0\times10^{-7}}{1.0\times10^{-5}}}
= \sqrt{5.0\times10^{-2}}
\approx0.224
$$

リンク
https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%285.0e-7%2F1.0e-5%29

$$
\alpha>0.05\quad\Rightarrow\quad 1-\alpha\approx1\text{ の近似は不適}
$$

NH₃水の pH と MgCl₂／NH₃混合時のイオン濃度

(1) アンモニア水の pH 計算

反応：

$$
\mathrm{NH_3 + H_2O \rightleftharpoons NH_4^+ + OH^-}
$$

平衡時の濃度（初濃度 0.10 mol/L、電離度小さく $x \ll 0.10$ と近似）：

$$
[NH_4^+] = x,\quad [OH^-] = x,\quad [NH_3] \approx 0.10
$$

平衡定数 $K_b = 2.0\times10^{-5}$ より、

$$
K_b = \frac{[NH_4^+][OH^-]}{[NH_3]}
= \frac{x^2}{0.10} = 2.0\times10^{-5}
;\Longrightarrow;
x^2 = 2.0\times10^{-6}
$$

$x$ を求める → 🔗 解く
$x = [OH^-] = \sqrt{2.0\times10^{-6}}$ → 🔗 計算

$$
[OH^-] \approx 1.41\times10^{-3},\mathrm{mol/L}
$$

pOH と pH：

$$
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[OH^-],\quad
\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH}
$$

pOH 計算 → 🔗 計算
pH 計算 → 🔗 計算

→ $\mathrm{pH}\approx11.2$

(2) 0.20 M NH₃ 水と 0.20 M MgCl₂ 水溶液混合時

混合後はそれぞれ 2 分の 1 の濃度に希釈

$$
[OH^-]_{\rm NH_3} = \sqrt{Kb \times 0.10} = 1.41\times10^{-3},\mathrm{M}
$$

→ 混合後 $[OH^-]=\tfrac{1}{2}\times1.41\times10^{-3}=7.07\times10^{-4}$ M
🔗 計算
MgCl₂ 由来の $[Mg^{2+}]=0.10$ M
（0.20 M が半分に希釈されるため）

混合溶液中でのイオン積：

$$
[Mg^{2+}],[OH^-]^2
= 0.10 \times (7.07\times10^{-4})^2
$$

🔗 計算

→ $=5.0\times10^{-8},\mathrm{(mol/L)^3}$

非金属とその化合物：リン蒸気の生成と濃硫酸による溶出

(1) リン蒸気の生成反応

燃焼反応：

$$
\mathrm{P_4 + 5O_2 \longrightarrow P_4O_{10}}
$$
水和反応：

$$
\mathrm{P_4O_{10} + 6H_2O \longrightarrow 4H_3PO_4}
$$

この2段階で、原料のリン鉱石中のリンが五酸化リン→リン酸となります。

(2) 濃硫酸によるリン溶出反応

リン鉱石主成分を $\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ とし、硫酸と反応させて可溶化します：

$$
\mathrm{Ca_3(PO_4)_2 + 2H_2SO_4 \longrightarrow 2CaSO_4 + Ca(H_2PO_4)_2}
$$

(3) 原料量と生成量の関係

原料：リン鉱石 1000 kg のうち、$\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ 含有率 80 %
$\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ のモル質量：310 g/mol

鉱石中の $\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ モル数：

$$
n_{\rm ore}
= \frac{1000\ \mathrm{kg} \times 0.80}{310\ \mathrm{g/mol}}
= \frac{1.00\times10^3,\mathrm{kg}\times0.80}{310,\mathrm{g/mol}}
$$

🔗 モル数計算

(4) 必要な H₂SO₄ 質量の計算

反応式より、$\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ 1 mol あたり H₂SO₄ は 2 mol 必要。
H₂SO₄ のモル質量：98.0 g/mol

したがって、必要な純 H₂SO₄ 質量（kg）：

$$
m_{\rm H_2SO_4}
= n_{\rm ore} \times 2\ (\mathrm{mol}) \times \frac{98.0\ \mathrm{g}}{1000\ \mathrm{g/kg}}
$$

🔗 純 H₂SO₄ 質量計算

(5) 60 % 濃硫酸としての用量

市販の硫酸は 60 %（質量パーセント）とするので、
必要な 60 % 濃硫酸 の質量 $M$ は：

$$
M \times 0.60 = m_{\rm H_2SO_4}
;\Longrightarrow;
M = \frac{m_{\rm H_2SO_4}}{0.60}
$$

🔗 濃硫酸質量計算

(6) 数値例

上記リンクを順にたどると、

$\mathrm{Ca_3(PO_4)_2}$ モル数 ≈ 2580 mol
必要純 H₂SO₄ ≈ (2580 mol × 2 × 98 g)/1000 ≈ 505 kg
必要 60 % 濃硫酸質量 ≈ 505 kg / 0.60 ≈ 842 kg ≃ 0.842 × 10³ kg

ガリウム（Ga）の化学・構造・物性解析

1. Ga の酸・塩基溶解反応

Al と同じ両性元素として、Ga も酸・強塩基水溶液に溶けます。例として Al の反応式を Ga に置き換えます。

硫酸中での反応

$$
2,\mathrm{Ga} + 3,\mathrm{H_2SO_4} \longrightarrow \mathrm{Ga_2(SO_4)_3} + 3,\mathrm{H_2}
$$

🔗 電池反応計算例（係数検証）
水酸化ナトリウム中での反応

$$
2,\mathrm{Ga} + 2,\mathrm{NaOH} + 2,\mathrm{H_2O} \longrightarrow 2,\mathrm{Na[Ga(OH)_4]} + \mathrm{H_2}
$$

🔗 反応式バランス確認

2. 原子半径の算出

Ga₂（二原子）中の原子間中心距離が $0.250$ nm と測定されているため、原子半径 $r$ はその半分：

$$
r = \frac{0.250\ \mathrm{nm}}{2} = 0.125\ \mathrm{nm}
$$

🔗 半分を計算

ナノメートルをメートルに変換：

$$
r = 0.125\times10^{-9}\ \mathrm{m}
$$

🔗 単位変換

3. 単位格子あたりの充填率（Packing Fraction）

単位格子体積 $V_{\rm cell}$ は実験値で

$$
V_{\rm cell} = 0.157\ \mathrm{nm}^3
$$

とされます。1 格子中に8個の Ga 原子球（半径 = 0.125 nm）を詰めたときの充填率 $\eta$ は：

$$
\eta
= \frac{8 \times \tfrac{4}{3}\pi r^3}{V_{\rm cell}}
= \frac{8 \times \tfrac{4}{3}\pi (0.125)^3}{0.157}
$$

分子部：$\tfrac{4}{3}\pi (0.125)^3 \times 8$ → 🔗 球体積×8 の計算
充填率：上記÷0.157 → 🔗 充填率計算

→ $\eta \approx 0.416$ （41.6 %）

4. 結晶の密度計算

Ga の原子量 $M = 69.7\ \mathrm{g/mol}$。1 格子に8 個のGa が含まれるので、質量は

$$
m_{\rm cell} = \frac{69.7\ (\mathrm{g/mol})}{6.02\times10^{23}} \times 8
$$

🔗 質量計算

体積は格子体積を cm³ に変換：

$$
V_{\rm cell} = 0.157\times10^{-21}\ \mathrm{cm}^3
$$

🔗 体積単位変換

密度 $\rho$ は

$$
\rho = \frac{m_{\rm cell}}{V_{\rm cell}}
$$

🔗 密度計算

→ $\rho \approx 5.9\ \mathrm{g/cm^3}$

まとめ

項目	計算式・内容
原子半径 $r$	$0.250/2 = 0.125$ nm
充填率 $\eta$	$\displaystyle \frac{8\times\frac{4}{3}\pi(0.125)^3}{0.157}\approx0.416$
密度 $\rho$	$\displaystyle \frac{8\times M/ N_A}{0.157\times10^{-21}}\approx5.9\ \mathrm{g/cm^3}$

油脂Aの分子量と不飽和度の計算

1. 分子量 $M$ の決定：けん化価から

油脂A 1 mol のけん化には KOH が 3 mol 必要
実際に使われた KOH 質量：4.20 g
KOH のモル質量：56.0 g/mol
油脂試料質量：21.5 g

式

$$
\frac{21.5}{M} \times 3 = \frac{4.20}{56.0}
;\Longrightarrow;
M
$$

方程式入力 → 🔗 入力
$M$ を解く → 🔗 解く

→ $M \approx 860$

2. 不飽和度 $n$ の決定：水素化量から

油脂A 1分子に含まれる C=C 結合数を $n$ と置く
C=C 1 mol あたり H₂ が 1 mol 付加
実際に消費した H₂ 体積：0.560 L
標準状態での 1 mol H₂ 体積：22.4 L
油脂試料質量：21.5 g

式

$$
\frac{21.5}{860} \times n = \frac{0.560}{22.4}
;\Longrightarrow;
n
$$

両辺計算 → 🔗 入力
$n$ を解く → 🔗 解く

→ $n \approx 1.0$

3. 飽和脂肪酸の分子量

油脂A （分子量 860）に H₂ が 1 mol（質量 2 g）付加すると、飽和脂肪酸相当の分子量は

$$
860 + 2 = 862
$$

🔗 計算

4. 飽和脂肪酸の組成決定

飽和脂肪酸は一般式 $C_mH_{2m+1}COOH$ で表されます。
分子量 862 から $m$ を求めるには、

$$
m\times12 + (2m+1)\times1 + 45 = 862
$$

（$45$ は COOH 部分の質量）

方程式入力 → 🔗 入力
$m$ を解く → 🔗 解く

→ $m \approx 17$（ステアリン酸 $C_{17}H_{35}COOH$）

5. 結論

油脂A の分子量：$\mathbf{860}$
不飽和度（C=C 結合数）：$\mathbf{1}$
飽和相当脂肪酸：ステアリン酸 ($C_{17}H_{35}COOH$)

グルタミン酸の等電点計算

1. 電離平衡と平衡定数

グルタミン酸には３つの電離段階があり、対応する平衡定数は：

第１電離（–COOH① → –COO⁻）
$\displaystyle K_1 = 10^{-2.19},\mathrm{mol/L}$
🔗 K₁ の値を確認
第２電離（–NH₃⁺ → –NH₂⁺COO⁻）
$\displaystyle K_2 = 10^{-4.25},\mathrm{mol/L}$
🔗 K₂ の値を確認
第３電離（–COOH② → –COO⁻）
$\displaystyle K_3 = 10^{-5.97},\mathrm{mol/L}$
🔗 K₃ の値を確認

2. 等電点 pI の理論背景

等電点では、荷電種のうち正負が打ち消しあい正味電荷ゼロの形（双性イオン B）が最も多く存在します。D（二価陰イオン）は無視すると、

$$
K_1 = \frac{[\mathrm{B}][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{A}]},\quad
K_2 = \frac{[\mathrm{C}][\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{B}]}
$$

等電点条件で $[\mathrm{A}]=[\mathrm{C}]$ であることから、

$$
K_1\times K_2 = [\mathrm{H}^+]^2
;\Longrightarrow;
[\mathrm{H}^+] = \sqrt{K_1,K_2}
$$

$$
\mathrm{pI} = \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+] = -\tfrac12\log_{10}(K_1K_2)
= \tfrac12\bigl(\mathrm{p}K_1 + \mathrm{p}K_2\bigr)
$$

3. 計算手順

$K_1K_2$ の算出
🔗 K₁×K₂ を計算
$[\mathrm{H}^+]=\sqrt{K_1K_2}$
🔗 √(K₁K₂) を計算
pI = –log₁₀([H⁺])
🔗 pI を計算
pKa1, pKa2 の確認
- pKa1 = –log₁₀(K₁) ⇒ 🔗 pKa1 計算
- pKa2 = –log₁₀(K₂) ⇒ 🔗 pKa2 計算
平均による pI

$$
\mathrm{pI} = \tfrac12\bigl(2.19 + 4.25\bigr) = 3.22
$$

🔗 平均を計算

4. 結果

$[\mathrm{H}^+] = \sqrt{10^{-2.19}\times10^{-4.25}}\approx6.02\times10^{-4},\mathrm{M}$
等電点 pI $\approx3.22$

1. 数平均分子量 $M_n$ の計算例

例：分子量 10 のポリマーが 1 本、分子量 100 のポリマーが 1 本の場合

$$
M_n = \frac{1\times10 + 1\times100}{1 + 1} = 55
$$

分子量の総和：
🔗 10 + 100 を計算
分子数の総和：
🔗 1 + 1 を計算
平均分子量：
🔗 110 / 2 を計算

2. 重量平均分子量 $M_w$ の計算例

例：同じく分子量 10 ×1 本、100 ×1 本の場合

$$
M_w = \frac{1\times10^2 + 1\times100^2}{1\times10 + 1\times100}
$$

分子量二乗の総和：
🔗 10^2 + 100^2 を計算
分子量×本数の総和：
🔗 1×10 + 1×100 を計算
重量平均分子量：
🔗 10100 / 110 を計算

→ 約 91.818… ≃ 92

1. 質量 → 物質量

例：18.0 g の水 (H₂O, M = 18.02 g/mol) のモル数

$$
n = \frac{m}{M} = \frac{18.0}{18.02} \approx 0.999 \text{ mol}
$$

🔗 18.0 ÷ 18.02 を計算

2. 粒子数 → 物質量

例：アボガドロ数 (6.022×10²³ 個) の水分子のモル数

$$
n = \frac{N}{N_\mathrm{A}} = \frac{6.022\times10^{23}}{6.022\times10^{23}} = 1.00 \text{ mol}
$$

🔗 6.022e23 ÷ 6.022e23 を計算

3. 気体体積 → 物質量

例：44.8 L の気体（標準状態）のモル数

$$
n = \frac{V}{22.4} = \frac{44.8}{22.4} = 2.00 \text{ mol}
$$

🔗 44.8 ÷ 22.4 を計算

物質量（mol）の換算フロー

                       ┌───────────────┐
                       │   物質量 n [mol]  │
                       └───────────────┘
                        ↑      ↑      ↑
      質量 m [g]         │      │      │       気体体積 V [L]
┌─────────────────┐     │      │      │   ┌─────────────────┐
│   m [g]          │     │      │      │   │   V [L] (STP)   │
└─────────────────┘     │      │      │   └─────────────────┘
        │               │      │      │         │
        │               │      │      │         │
        ▼               │      │      │         ▼
  n = m / M            │      │      │    n = V / 22.4
                       │      │      │
                       │      │      │
  粒子数 N [個]        │      │      │
┌─────────────────┐     │      │      │
│   N [個]         │     │      │      │
└─────────────────┘     │      │      │
        │               │      │      │
        │               │      │      │
        ▼               │      │      │
  n = N / Nₐ           │      │      │
                       │      │      │
                       │      │      │
              ┌────────┴──────┴────────┐
              │   アボガドロ定数 Nₐ = 6.02×10²³  │
              └─────────────────────────┘

質量→物質量： n = m / M
粒子数→物質量： n = N / Nₐ
気体体積→物質量：（標準状態）n = V / 22.4

飽和溶液の析出計算（50 °C → 30 °C）

1. 50 °C での飽和溶液中の溶質量 $x'$

溶解度：85 g K₂SO₄／100 g 水
溶液全量：200 g

$$
\frac{85}{100} = \frac{x'}{200}
;\Longrightarrow;
x' = \frac{85 \times 200}{100} = 170 \text{?}
$$

※ 実際には「溶質質量／溶液質量」で比を取るため式は

$$
\frac{85}{100 + 85} = \frac{x'}{200}
$$

となり、

$$
x' = \frac{85}{185}\times200 \approx 91.89\ \mathrm{g}
$$

🔗 91.89 g を計算

2. 蒸発後に残る水の質量

飽和溶液中の水：200 g − 91.89 g ≈ 108.11 g
🔗 108.11 g を計算
50 g の水を蒸発 → 残り水質量

$$
108.11 - 50 = 58.11\ \mathrm{g}
$$

🔗 58.11 g を計算

3. 30 °C で再飽和したときの溶質量 $y'$

溶解度：45 g K₂SO₄／100 g 水
残り水：58.11 g

$$
\frac{y'}{58.11} = \frac{45}{100}
;\Longrightarrow;
y' = 45\times\frac{58.11}{100} \approx 26.15\ \mathrm{g}
$$

🔗 26.15 g を計算

4. 析出質量

$$
\Delta = x' - y' = 91.89 - 26.15 \approx 65.74\ \mathrm{g}
$$

🔗 65.74 g を計算

1. 強酸＋強塩基の滴定

反応物：HCl（強酸）＋ NaOH（強塩基）
等量点（中和点）に残るのは NaCl（中性塩）
pH：純水と同じく 7
式：

$$
\mathrm{HCl + OH^- \rightarrow Cl^- + H_2O}
$$

等量点では溶液中に酸・塩基の残存なし⇒pH=7

2. 弱酸＋強塩基の滴定

反応物：HA（弱酸）＋ OH⁻（強塩基）
等量点での溶液：A⁻（共役塩基）を含む
反応：

$$
\mathrm{A^- + H_2O \rightleftharpoons HA + OH^-}
$$

共役塩基の加水分解定数：
$\displaystyle K_b=\frac{K_w}{K_a}$
pH 計算（等量点）：
濃度を $c$ として

$$
[OH^-]=\sqrt{K_b,c},\quad
\mathrm{pOH}=-\tfrac12\log(K_b c),\quad
\mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}
$$

3. 強酸＋弱塩基の滴定

反応物：H₃O⁺（強酸）＋ B（弱塩基）
等量点での溶液：BH⁺（共役酸）を含む
反応：

$$
\mathrm{BH^+ + H_2O \rightleftharpoons B + H_3O^+}
$$

共役酸の加水分解定数：
$\displaystyle K_a=\frac{K_w}{K_b}$
pH 計算（等量点）：
濃度を $c$ として

$$
[H_3O^+]=\sqrt{K_a,c},\quad
\mathrm{pH}=-\tfrac12\log(K_a c)
$$

4. 弱酸＋弱塩基の滴定

反応物：HA（弱酸）＋ B（弱塩基）
等量点：HA と B が等量中和し、両方の共役種 A⁻・BH⁺ が存在
溶液：両性イオン（A⁻・BH⁺）の平衡混合
pH：

$$
\mathrm{pH}=\tfrac12\bigl(\mathrm{p}K_{a,,\mathrm{HA}}+\mathrm{p}K_{a,,\mathrm{BH^+}}\bigr)
$$

ただし $\mathrm{p}K_{a,,\mathrm{BH^+}}=-\log K_a(\mathrm{BH^+})$

まとめ表

滴定系	等量点の主種	pH の特徴	pH 計算式
強酸＋強塩基	中性塩	pH = 7	—
弱酸＋強塩基	共役塩基 A⁻	pH > 7	$\mathrm{pH}=14-\tfrac12\log(K_b c)$
強酸＋弱塩基	共役酸 BH⁺	pH < 7	$\mathrm{pH}=-\tfrac12\log(K_a c)$
弱酸＋弱塩基	A⁻＋BH⁺	弱酸性～弱塩基性	$\mathrm{pH}=\tfrac12(pK_{a,\mathrm{HA}}+pK_{a,\mathrm{BH^+}})$

気体の状態方程式の計算

状態方程式：

$$
PV = nRT
$$

（$R = 8.3\times10^3$ Pa·L·K⁻¹·mol⁻¹）

(1) 物質量 $n$ の計算

条件：$P=3.0\times10^5$ Pa、$V=5.0$ L、$T=27+273=300$ K

$$
n = \frac{PV}{RT}
= \frac{3.0\times10^5 \times 5.0}{8.3\times10^3 \times 300}
\approx 0.602\ \mathrm{mol}
$$

🔗 計算

(2) 圧力 $P$ の計算

条件：$n=1.0$ mol、$V=7.0$ L、$T=7+273=280$ K

$$
P = \frac{nRT}{V}
= \frac{1.0 \times 8.3\times10^3 \times 280}{7.0}
\approx 3.32\times10^5\ \mathrm{Pa}
$$

🔗 計算

(3) 体積 $V$ の計算

酸素 $O_2$ の質量 0.16 g、分子量 32 g/mol → $n = 0.16/32 = 0.005$ mol
圧力 5.0×10⁴ Pa、$T=27+273=300$ K

$$
V = \frac{nRT}{P}
= \frac{0.005 \times 8.3\times10^3 \times 300}{5.0\times10^4}
\approx 0.249\ \mathrm{L}
;=;249\ \mathrm{mL}
$$

🔗 計算

(4) モル質量 $M$ の計算

条件：質量 $w=1.0$ g、$P=1.2\times10^5$ Pa、$V=0.830$ L、$T=57+273=330$ K

$$
M = \frac{wRT}{PV}
= \frac{1.0 \times 8.3\times10^3 \times 330}{1.2\times10^5 \times 0.830}
\approx 27.5\ \mathrm{g/mol}
$$

🔗 計算

プロパン（C₃H₈）完全燃焼の計算

(1) 残留気体の圧力計算

混合気体中に未反応の O₂ と生成した CO₂ の合計モル数：
$n = 0.080$ mol
容器体積：$V = 2.0$ L
温度：$T = 27+273 = 300$ K
気体定数：$R = 8.3\times10^3$ Pa·L·K⁻¹·mol⁻¹

$$
P = \frac{nRT}{V}
= \frac{0.080 \times 8.3\times10^3 \times 300}{2.0}
\approx 9.96\times10^4\ \mathrm{Pa}
$$

🔗 計算

(2) 物質量 $x$（プロパン）と $y$（酸素）の連立方程式

完全燃焼反応式：

$$
\mathrm{C_3H_8 + 5O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O}
$$

燃焼前モル数合計：
$x + y = 0.080$ …①
燃焼後残留ガスのモル数（O₂ と CO₂ の混合）が
$n_{\rm mix} = 0.0500$ mol とわかったので、
生成 CO₂（＝3x）と残存 O₂（＝y–5x）の和が 0.0500 mol：

$$
(y - 5x) + 3x = 0.0500
;\Longrightarrow;
y - 2x = 0.0500
$$

…②

これを解いて、

$$
x = 0.0100\ \mathrm{mol},\quad
y = 0.0700\ \mathrm{mol}
$$

🔗 解を求める

結果

プロパン消費量 $x = 0.0100$ mol
酸素消費量 $y = 0.0700$ mol

電気量と電子の物質量の計算

基本関係式

電気量 $Q$（Coulomb）

$$
Q = i \times t
$$

（$i$：電流 [A], $t$：時間 [s]）
電子1 mol がもつ電気量：

$$
F = 9.65\times10^4\ \mathrm{C/mol}
$$
流れた電気量 $Q$ に対応する電子の物質量 $n$

$$
n = \frac{Q}{F}
$$

(1) 1.0 A を 30 分間通したときの電気量

$$
t = 30\ \mathrm{min} = 30\times60 = 1800\ \mathrm{s}
$$

$$
Q = 1.0\ \mathrm{A} \times 1800\ \mathrm{s} = 1800\ \mathrm{C}
$$

🔗 1800 の計算

(2) 0.20 A を 1 時間20分25秒通したときの電気量

$$
t = 1\ \mathrm{h} +20\ \mathrm{min}+25\ \mathrm{s}
= 3600 + 20\times60 + 25 = 4825\ \mathrm{s}
$$

$$
Q = 0.20\ \mathrm{A} \times 4825\ \mathrm{s} = 965\ \mathrm{C}
$$

🔗 965 の計算

(3) 流れた電気量 965 C に対応する電子の物質量

$$
n = \frac{Q}{F} = \frac{965}{9.65\times10^4} = 1.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}
$$

🔗 0.01 mol の計算

(4) 1.0 A の電流で電子 0.050 mol を流すのに要する時間

$$
n = \frac{i,t}{F} = 0.050\quad\Longrightarrow\quad
t = \frac{0.050\times F}{1.0} = 0.050 \times 9.65\times10^4 = 4825\ \mathrm{s}
$$

🔗 4825 s の計算

4825 秒 = 1 時間 20 分 25 秒

以下に、N₂O₄ ⇄ 2 NO₂ 平衡に関する解離度 α とそれを用いた①生成物の物質量、②分圧、③平衡定数 K の式を示し、各式の計算ステップを WolframAlphaリンク付き で検証できるようにまとめました。

N₂O₄ の解離平衡：α による一般式と計算リンク

反応式：

$$
\mathrm{N_2O_4 \rightleftharpoons 2,NO_2}
$$

解離度を α とし、初めに n mol の N₂O₄ があったとする。

(1) 平衡時の各気体の物質量

N₂O₄：初め n → 平衡 n(1−α)
NO₂：初め 0 → 平衡 2nα

$$
\boxed{\text{平衡時の総モル数} = n(1-\alpha) + 2n\alpha = n(1+\alpha)}
$$

生成した NO₂ のモル数： 2nα
残存する N₂O₄ のモル数： n(1−α)

→ 🔗 式検証: 2nα と n(1−α)

(2) 四酸化二窒素の分圧 $p_{N_2O_4}$

混合気体の分圧は
$\displaystyle p_i = P \times \frac{n_i}{n_{\rm tot}}$

$$
p_{N_2O_4}
= P \times \frac{n(1-\alpha)}{n(1+\alpha)}
= \frac{1-\alpha}{1+\alpha},P
$$

$$
\boxed{p_{N_2O_4} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha},P}
$$

→ 🔗 計算例: (1−α)/(1+α)

(3) 平衡定数 $K$（濃度ベース）

平衡定数 K は

$$
K = \frac{[NO_2]^2}{[N_2O_4]}
$$

濃度に直すと、

$$
[N_2O_4] = \frac{n(1-\alpha)}{V},\quad
[NO_2] = \frac{2n\alpha}{V}
$$

したがって

$$
K
= \frac{\bigl(\tfrac{2n\alpha}{V}\bigr)^2}{\tfrac{n(1-\alpha)}{V}}
= \frac{4n^2\alpha^2}{n(1-\alpha) V}
= \frac{4n\alpha^2}{(1-\alpha),V}
$$

$$
\boxed{K = \frac{4n,\alpha^2}{(1-\alpha),V}}
$$

→ 🔗 計算例: 4 n α² / ((1−α) V)

酢酸＋エタノール反応の平衡定数計算

反応式：

$$
\mathrm{CH_3COOH + C_2H_5OH \rightleftharpoons CH_3COOC_2H_5 + H_2O}
$$

(1) 初期量 1.00 mol のときの $K$

初期：$[\mathrm{CH_3COOH}]=1.00,;[\mathrm{C_2H_5OH}]=1.00$
変化量：$-0.75$
平衡：$[\mathrm{CH_3COOH}]=0.25,;[\mathrm{C_2H_5OH}]=0.25,;[\mathrm{CH_3COOC_2H_5}]=0.75,;[\mathrm{H_2O}]=0.75$

体積を $V$ L とすると、すべての濃度は「モル数／$V$」で表せるので、

$$
K = \frac{[{\rm 酢酸エチル}],[{\rm H_2O}]}{[{\rm 酢酸}],[{\rm エタノール}]}
= \frac{(0.75/V)\times(0.75/V)}{(0.25/V)\times(0.25/V)}
= \frac{0.75^2}{0.25^2} = 9.0
$$

🔗 計算: $0.75^2/0.25^2$

(2) 酢酸エチル生成量を $x$ mol としたとき

初期：$[\mathrm{CH_3COOH}]=1.00,;[\mathrm{C_2H_5OH}]=1.00,;[\mathrm{H_2O}]=4.00$
変化量：$-x,;-x,;+x,;+x$
平衡：$[\mathrm{CH_3COOH}]=1.00-x,;[\mathrm{C_2H_5OH}]=1.00-x,;[\mathrm{CH_3COOC_2H_5}]=x,;[\mathrm{H_2O}]=4.00+x$

体積を $V'$ L として、

$$
K = \frac{(x/V'),(4.00+x)/V'}{(1.00 - x)/V',(1.00 - x)/V'}
= \frac{x(4.00+x)}{(1.00-x)^2} = 9.0
$$

これを整理して二次式：

$$
x(4+x) = 9,(1-x)^2
\quad\Longrightarrow\quad
8.0x^2 -22x +9.0 = 0
$$

🔗 式展開・整理

(3) 二次方程式を解く

$$
8.0x^2 -22x +9.0 = 0
$$

🔗 解を求める

→ 解 $x\approx0.50$ または $2.25$
物理的に $0<x<1$ なので、$x=0.50$ mol を採用。

炭酸（H₂CO₃）の pH 計算

溶解した CO₂ の濃度を $c$ [mol/L]、第１電離度を $\alpha$、$[H^+]=x$ [mol/L] とすると、

$$
\mathrm{H_2CO_3 \rightleftharpoons H^+ + HCO_3^-},\quad
K_1 = 4.5\times10^{-7},\mathrm{mol/L}
$$

1. 近似解：$\alpha\ll1$ と見なす

平衡時：

$$
[\mathrm{H_2CO_3}]\approx c,\quad [H^+]=[HCO_3^-]=x
$$

$$
K_1 = \frac{x^2}{c}
;\Longrightarrow;
x = \sqrt{c,K_1}
$$

数値代入例：$c=2.0\times10^{-2}$, $K_1=4.5\times10^{-7}$
🔗 計算: √(2.0e-2×4.5e-7)

$$
x \approx 9.0\times10^{-5},\mathrm{mol/L}
$$

pH：

$$
\mathrm{pH} = -\log_{10}x
$$

🔗 計算: −log10(9.0e-5)

$$
\mathrm{pH}\approx4.02
$$

2. 厳密解：二次方程式を解く

$$
K_1 = \frac{x,(x)}{c - x}
;\Longrightarrow;
x^2 + K_1,x - c,K_1 = 0
$$

式：$x^2 + 4.5\times10^{-7},x - 2.0\times10^{-2}\times4.5\times10^{-7} = 0$
🔗 式入力・解法

→ 正の解 $x\approx9.02\times10^{-5}$ mol/L（近似解とほぼ一致）

アルミニウムの溶融塩電解：生成量計算

電極反応（陰極）：

$$
\mathrm{Al^{3+} + 3e^- \longrightarrow Al}
$$

→ 電子1 mol（電気量 $F=9.65\times10^4$ C）あたり、アルミ1/3 mol が生成。

アルミのモル質量：$M=27$ g/mol

通電条件

電流 $i = 3.0\times10^4$ A
時間 $t = 100$ h = $100 \times 3600$ s

→ 通電量：

$$
Q = i \times t = 3.0\times10^4 \times (100\times3600)\ \mathrm{C}
$$

🔗 通電量を計算

アルミ生成量

$$
n_{\rm Al}
= \frac{Q}{F}\times\frac{1}{3}
\quad\bigl[\mathrm{mol}\bigr]
$$

$$
m_{\rm Al}
= n_{\rm Al}\times M
\quad\bigl[\mathrm{g}\bigr]
$$

まとめて計算すると：

$$
m_{\rm Al}
= 27 \times \frac{3.0\times10^4\times100\times3600}{9.65\times10^4}\times\frac{1}{3}
$$

🔗 生成質量を計算

→ 約 $1.00\times10^6$ g ＝ $1.00\times10^3$ kg

エステルの推定：元素分析＋沸点下降

(1) 元素分析から組成比の算出

試料A 33.0 mg 中の各元素質量：

炭素
全質量33.0 mg中、C₂H₄O の理論組成からCの質量分率は
$\frac{2\times12}{44}=0.5455$
→ C質量 = 33.0 mg × 0.5455 ≈ 18.0 mg
🔗 33.0×(24/44)を計算
水素
H質量分率 = $\frac{4\times1}{44}=0.0909$
→ H質量 = 33.0 mg × 0.0909 ≈ 3.00 mg
🔗 33.0×(4/44)を計算
酸素
残差：33.0 mg − (18.0 + 3.00) mg = 12.0 mg
🔗 33.0−18.0−3.0を計算
原子モル数比

$$
n_{\rm C}=\frac{18.0}{12}=1.50,\quad
n_{\rm H}=\frac{3.00}{1}=3.00,\quad
n_{\rm O}=\frac{12.0}{16}=0.75
$$

比は1.50 : 3.00 : 0.75 = 2 : 4 : 1
→ 組成式 = C₂H₄O

(2) 分子量 $M$ の推定：沸点下降法

溶媒の沸点上昇定数 $k = 5.12,\mathrm{K,kg/mol}$
測定結果の沸点下降 $\Delta t = 2.56,\mathrm{K}$
溶質質量 = 4.40 g, 溶媒質量 = 100 g = 0.100 kg

モル濃度（m: モル／kg）：

$$
m = \frac{4.40/M}{0.100}
$$

沸点降下の式：

$$
\Delta t = k,m
;\Longrightarrow;
2.56 = 5.12 \times \frac{4.40/M}{0.100}
$$

🔗 方程式を入力

これを解くと、

🔗 M を解く

→ $M \approx 88.0$ g/mol

(3) 実際の分子式

組成式 C₂H₄O の重さ 44 g/mol
実測分子量 88 g/mol ≃ 2×44

→ 分子式 = (C₂H₄O)₂ = C₄H₈O₂

(4) エステル候補と加水分解生成物

分子式 C₄H₈O₂ の構造異性体には例えば：

番号	構造式	加水分解生成物
①	HCOO–C(CH₃)₂	HCOOH + (CH₃)₂CHOH
②	HCOOCH₂CH₂CH₃	HCOOH + C₃H₇OH
③	CH₃COOCH₂CH₃	CH₃COOH + C₂H₅OH
④	CH₃CH₂COOCH₃	CH₃CH₂COOH + CH₃OH

KNO₃析出量

【1】60℃での溶解量の計算（連立方程式）

● 問題設定

飽和水溶液の全体質量が 630g のとき、60℃での溶解度は「水100gにKNO₃が110g」。

● 連立方程式

(1) 110x = 100y
(2) x + y = 630

WolframAlpha入力用リンク：
solve 110x = 100y, x + y = 630

→ 解：

x = 300（g）…水の量
y = 330（g）…KNO₃の量（溶けている）

【2】10℃でのKNO₃溶解量の計算

● 溶解度のデータ

10℃では「水100gに対してKNO₃ 20g」が溶ける。

● 比例式

100 : 20 = 300 : z

WolframAlpha入力用リンク：
solve 100 : 20 = 300 : z

→ 解：

z = 60（g）…10℃で溶けるKNO₃の量

【3】析出するKNO₃の質量

析出量 = 330 − 60 = 270 (g)

WolframAlpha入力用リンク：
330 − 60

まとめテンプレート

KNO₃析出量計算（60℃→10℃）

60℃の飽和水溶液におけるKNO₃の量：

式：solve 110x = 100y, x + y = 630
Wolfram Link
結果：x = 300, y = 330

10℃に冷却後に溶けるKNO₃：

式：solve 100 : 20 = 300 : z
Wolfram Link
結果：z = 60

析出量：

式：330 - 60
Wolfram Link
結果：270 g

■ 結晶水を含む化合物の溶解度計算：CuSO₄・5H₂O の場合

■ 問題設定と前提条件

次の条件のもと、CuSO₄・5H₂O の質量 $x$ [g] を求める。

化合物：CuSO₄・5H₂O（硫酸銅(II)五水和物）
モル質量（M）：250 g/mol
　　- CuSO₄：160 g/mol
　　- 結晶水（5H₂O）：90 g/mol
溶媒の水の質量：100 g
溶解度条件：水100 g に対し CuSO₄ が最大 40 g 溶ける（飽和）

■ 構成粒子の質量寄与

CuSO₄ の質量成分（溶質）：

$$
x \times \frac{160}{250}
$$
結晶水（5H₂O）に由来する水の質量：

$$
x \times \frac{90}{250}
$$

■ 溶液中の水の総量

$$
100 + x \times \frac{90}{250}
$$

■ 飽和条件に基づく比例式

$$
\frac{100 + x \times \frac{90}{250}}{x \times \frac{160}{250}} = \frac{100}{40}
$$

■ 比例式の両辺を掛け算に展開（方程式化）

$$
40 \cdot \left(100 + \frac{90}{250}x \right) = 100 \cdot \left(\frac{160}{250}x \right)
$$

■ WolframAlpha用数式テンプレート（コピペ用）

40 * (100 + (90/250)*x) = 100 * (160/250)*x

🔗 WolframAlphaで計算する

■ 解答（Wolfram出力結果）

$$
x \approx \boxed{80.6\ \text{g}}
$$

これは、CuSO₄・5H₂O が 80.6 g 溶けたとき、飽和条件を満たすことを意味する。

■ 検算用リンク集

内容	Wolframリンク
結晶水量 $\frac{90}{250}x$ の計算	リンク
CuSO₄量 $\frac{160}{250}x$ の計算	リンク
方程式の展開確認	リンク

■ 平衡計算（H₂ + I₂ ⇌ 2HI）

■ 反応式と初期条件

化学反応式：

$$
\text{H}_2 + \text{I}_2 \rightleftharpoons 2\text{HI}
$$

初期状態（mol）：

HI：3.0 mol
H₂, I₂：0 mol（ただし後から生成）

体積：4.0 L

■ 変化と平衡後（mol）

物質	初期	変化量	平衡後（mol）	平衡後（mol/L）
H₂	0	$+\frac{x}{2}$	$\frac{x}{2}$	$\frac{x}{2} \div 4.0$
I₂	0	$+\frac{x}{2}$	$\frac{x}{2}$	$\frac{x}{2} \div 4.0$
HI	3.0	$-x$	$3.0 - x$	$\frac{3.0 - x}{4.0}$

■ 平衡定数式（K = 64）

$$
K = \frac{[\text{HI}]^2}{[\text{H}_2][\text{I}_2]} = 64
$$

代入：

$$
\frac{\left(\frac{3.0 - x}{4.0}\right)^2}{\left(\frac{x}{8.0}\right)^2} = 64
$$

■ WolframAlpha用の数式（コピペ可）

((3.0 - x)/4.0)^2 / ((x/8.0)^2) = 64

🔗 WolframAlphaで解く

■ WolframAlpha出力の結果

$$
x = 0.6
\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{2} = \boxed{0.3\ \text{mol}}
$$

■ まとめ

平衡定数式を**濃度ベース（mol/L）**で表現
変数は x のみで整理
Wolframで直接解ける形式に変換済

■ 弱酸の電離平衡における電離度および水素イオン濃度

（例：酢酸 CH₃COOH）

■ 1. 平衡式および電離度の導出

化学平衡式：

$$
\mathrm{CH_3COOH} \rightleftharpoons \mathrm{CH_3COO^-} + \mathrm{H^+}
$$

初期濃度：

酢酸濃度 $c \ \mathrm{[mol/L]}$
電離度 $\alpha$

電離後の平衡濃度：

$[CH_3COOH] = c(1 - \alpha)$
$[CH_3COO^-] = c\alpha$
$[H^+] = c\alpha$

酸解離定数 $K_a$：

$$
K_a = \frac{[CH_3COO^-][H^+]}{[CH_3COOH]} = \frac{c^2\alpha^2}{c(1 - \alpha)} \approx c\alpha^2
\quad (\text{※ } \alpha \ll 1)
$$

■ 2. 電離度・水素イオン濃度・pH の近似式

(1) 電離度の近似式：

$$
\alpha \approx \sqrt{\frac{K_a}{c}}
$$

🔗 WolframAlpha 入力：

alpha = sqrt(Ka / c)

リンクを開く

(2) 水素イオン濃度の近似式：

$$
[H^+] = c\alpha \approx \sqrt{cK_a}
$$

🔗 WolframAlpha 入力：

[H+] = sqrt(c * Ka)

リンクを開く

■ 3. 数値代入例（酢酸、25℃）

酢酸の酸解離定数：$K_a = 1.8 \times 10^{-5}$
濃度：$c = 0.10 \ \mathrm{mol/L}$

(1) 電離度 α の計算：

alpha = sqrt(1.8e-5 / 0.10)

🔗 Wolframで解く

(2) 水素イオン濃度の計算：

[H+] = sqrt(0.10 * 1.8e-5)

🔗 Wolframで解く

(3) pH の計算：

pH = -log10(sqrt(0.10 * 1.8e-5))

🔗 Wolframで解く

■ 酢酸・酢酸ナトリウム緩衝液のpH計算

■ 1. 溶液条件とモル濃度への換算

溶液	体積（mL）	モル量（mol）	濃度 [mol/L]（全体量0.017Lで割る）
酢酸（CH₃COOH）	10.0	$3.0 \times 10^{-4}$	$\frac{3.0 \times 10^{-4}}{0.017}$
酢酸ナトリウム（CH₃COONa）	7.0	$7.0 \times 10^{-4}$	$\frac{7.0 \times 10^{-4}}{0.017}$

水素イオン濃度 $x$ [mol/L] は微小として後に求める。

■ 2. 電離平衡式

反応：

$$
\mathrm{CH_3COOH} \rightleftharpoons \mathrm{CH_3COO^-} + \mathrm{H^+}
$$

■ 3. 電離定数の代入（Ka = $2.8 \times 10^{-5}$）

$$
K_a = \frac{[\mathrm{CH_3COO^-}] \cdot [\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{CH_3COOH}]}
$$

濃度代入（全て0.017 Lで割った）：

$$
\frac{\left( \frac{7.0 \times 10^{-4} - x}{0.017} \right) \cdot \frac{x}{0.017}}{\frac{3.0 \times 10^{-4}}{0.017}} = 2.8 \times 10^{-5}
$$

■ 4. WolframAlpha用方程式（コピペ式）

((7.0e-4 - x)/0.017)*(x/0.017)/(3.0e-4/0.017) = 2.8e-5

🔗 WolframAlphaで解く

■ 5. 解と計算ステップ

Wolframで得られる結果：

$$
x = 2.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{mol}
\quad\Rightarrow\quad
[H^+] = \frac{2.0 \times 10^{-7}}{0.017} ≒ 1.17 \times 10^{-5}\ \mathrm{mol/L}
$$

■ 6. pH の計算

$$
\mathrm{pH} = -\log_{10}[H^+] = -\log_{10}(1.17 \times 10^{-5}) ≒ 4.9
$$

■ 酢酸ナトリウムの加水分解定数 $K_h$ の導出と計算

— 酢酸の電離定数 $K_a$、水のイオン積 $K_w$ を用いた関係式の整理 —

■ 1. 基本式と目的

加水分解定数 $K_h$ の定義式：

$$
K_h = \frac{[\mathrm{CH_3COOH}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{CH_3COO^-}]}
\tag{A}
$$

目的：この $K_h$ を電離定数 $K_a$ および水のイオン積 $K_w$ から導出する。

■ 2. 酢酸の電離定数式

$$
K_a = \frac{[\mathrm{CH_3COO^-}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{CH_3COOH}]}
\quad\Rightarrow\quad
\frac{1}{K_a} = \frac{[\mathrm{CH_3COOH}]}{[\mathrm{CH_3COO^-}][\mathrm{H^+}]}
$$

両辺に $[H^+][OH^-]$ を掛ける：

$$
\frac{1}{K_a} \cdot [H^+][OH^-] = \frac{[\mathrm{CH_3COOH}][OH^-]}{[\mathrm{CH_3COO^-}]}
$$

■ 3. 結論：加水分解定数の関係式

$$
K_h = \frac{K_w}{K_a}
$$

■ 4. 数値代入

$K_w = 1.0 \times 10^{-14}$
$K_a = 2.0 \times 10^{-5}$

$$
K_h = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{2.0 \times 10^{-5}} = 5.0 \times 10^{-10}
$$

■ WolframAlpha用数式

1.0e-14 / 2.0e-5

🔗 WolframAlphaで計算する

■ 5. 濃度代入による確認

与えられた濃度（mol/L）を式(A)に代入：

$[CH_3COOH] = x$
$[OH^-] = 0.20$
$[CH_3COO^-] = 0.20$
液量 = 0.042 L

式：

$$
K_h = \frac{x \cdot 0.20}{0.20} = \frac{x}{0.042}
\quad\Rightarrow\quad
\frac{x}{0.042} = 5.0 \times 10^{-10}
$$

■ WolframAlpha式（xの解）

x / 0.042 = 5.0e-10

🔗 WolframAlphaで解く

■ 硝酸カリウムの溶解度と析出量の計算

■ 1. 基本条件と問題設定

25℃での溶解度：KNO₃ は水100 g に対して 36 g 溶ける
水の質量：238 g
KNO₃ 全体量：262 g

■ 2. 比例式による溶解可能量の計算

25℃でのKNO₃溶解量（238 gの水に対して）は、以下の比例式で求める：

$$
\frac{100}{36} = \frac{238}{y}
\quad\Rightarrow\quad
y = \frac{238 \times 36}{100}
$$

■ WolframAlpha用比例式

y = 238 * 36 / 100

🔗 Wolframで解く

■ 結果（溶ける量）

$$
y = 85.7\ \mathrm{g}
$$

■ 3. 析出量の計算

$$
\text{析出量} = 262 - 85.7 = 176.3 \Rightarrow \boxed{176\ \mathrm{g}}
$$

■ WolframAlpha式

262 - 238 * 36 / 100

🔗 Wolframで計算

■ 4. 補足：60℃→25℃に冷却した場合の析出

60℃で：KNO₃ 110 g が水 100 g に溶けている
合計質量：210 g（飽和水溶液）
冷却すると 36 g までしか溶けない → 析出量：

$$
110 - 36 = 74\ \mathrm{g}
$$

■ 5. 比例式で別条件に変換（全体質量500 gの飽和溶液を25℃に冷却）

$$
\frac{210}{74} = \frac{500}{z}
\quad\Rightarrow\quad
z = \frac{74 \times 500}{210}
$$

■ WolframAlpha用式

z = 74 * 500 / 210

🔗 Wolframで解く

■ 結果

$$
z = 176\ \mathrm{g}
$$

結論まとめ

ケース	析出量の結果	Wolfram式
水238g＋262gのKNO₃	176 g	`262 - 238*36/100`
60℃210g溶液→25℃	74 g	`110 - 36`
60℃500g溶液→25℃	176 g	`74*500/210`

■ 平衡濃度の代入による反応進行度 $x$ の計算（H₂ + I₂ ⇌ 2HI）

■ 1. 初期モル数と変化

物質	初期 [mol]	変化量 [mol]	反応後 [mol]
H₂	2.4	$+x$	$2.4 + x$
I₂	2.4	$+x$	$2.4 + x$
HI	1.2 + 0.4 = 1.6	$-2x$	$1.6 - 2x$

■ 2. 濃度への変換（体積 12 L）

$$
[H_2] = \frac{2.4 + x}{12},\quad
[I_2] = \frac{2.4 + x}{12},\quad
[HI] = \frac{1.6 - 2x}{12}
$$

■ 3. 平衡定数式への代入

平衡定数：

$$
K = \frac{[HI]^2}{[H_2][I_2]} = \frac{1}{4}
$$

代入して：

$$
\frac{\left( \frac{1.6 - 2x}{12} \right)^2}{\left( \frac{2.4 + x}{12} \right)^2} = \frac{1}{4}
$$

分母・分子を簡略化すると：

$$
\left( \frac{1.6 - 2x}{2.4 + x} \right)^2 = \frac{1}{4}
$$

■ 4. 両辺平方根 → 方程式整理

平方根をとって：

$$
\frac{1.6 - 2x}{2.4 + x} = \frac{1}{2}
$$

交差掛けして：

$$
2(1.6 - 2x) = 2.4 + x
$$

整理：

$$
3x = 3.2 - 2.4 = 0.8 \quad \Rightarrow \quad x = \boxed{0.16}
$$

✅ WolframAlpha用数式（そのままコピペ可能）

方程式（そのまま解く）

((1.6 - 2x)/(2.4 + x))^2 = 1/4

🔗 WolframAlphaで解く

■ 5. 解の選別

Wolfram では 2つの解が得られる：

$x = 0.16$：適切（0 < x < 0.8）✅
$x ≈ 1.87$：不適（反応量の限界を超える）❌

■ 結論

$$
\boxed{x = 0.16}
$$

この値をもとに、各物質の平衡時濃度を再計算できる。

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