ポケモンで学ぶ統計学２級

はじめに

統計学では頻繁にギリシャ文字が登場する。これらは「平均」「標準偏差」「相関係数」「係数」など、数学的概念や推定量の記号として用いられる。

主なギリシャ文字と読み方

記号	読み方	用途の例
$\mu$	ミュー	母平均（Population mean）
$\sigma$	シグマ	母標準偏差（Standard deviation）
$\alpha$	アルファ	有意水準（Significance level）
$\beta$	ベータ	回帰係数（Regression coefficient）
$\rho$	ロウ	母相関係数（Population correlation）
$\theta$	シータ	母数（Parameter）

ポケモンとの接続

• 「ポケモンのすばやさの平均」を $\mu_{\text{Speed}}$ などと書く。
• 「すばやさのばらつき」は $\sigma_{\text{Speed}}$。
• 「こうげき → 勝率」の回帰分析では、係数を $\beta$ で表す。

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統計入門 × ポケモン：1-3. 統計学に必要な数学

概要

統計を理解するには、以下の数学的素養が重要になる。

1. 四則演算と方程式

• 変数の代入や計算：例）「合計 = HP + Attack + ...」

2. 関数・グラフ

• 正規分布や回帰直線の形を理解する。

3. 確率の基本

• ポケモンがクリティカルヒットする確率など、事象の起きやすさを数値で扱う。

4. 線形代数の初歩

• 行列やベクトルは重回帰分析や主成分分析で必須。

5. 微分・積分（応用）

• 最尤推定や機械学習アルゴリズムで登場。

ポケモンで学ぶ

• 「種族値の平均」「標準偏差」「相関係数」は中学〜高校数学で十分扱える。
• 学ぶ順序：平均 → 分散 → 確率 → 回帰 → 推定

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統計入門 × ポケモン：1-4. 変数の尺度

変数の尺度とは

統計学では、変数の「種類」によって扱い方が異なる。代表的な4種類を以下に示す。

尺度	特徴	例（ポケモン）
名義尺度	順序なし。名前・カテゴリのみ	タイプ（炎、水、草など）
順序尺度	順序あり。差の意味なし	ランク（S, A, B, Cなど）
間隔尺度	順序・差あり。絶対的な0がない	技の威力（相対評価）
比率尺度	順序・差・0あり。倍数が意味を持つ	種族値（HP=0は「ない」ことを意味する）

ポケモンとの接続

• 「すばやさ」「こうげき」などの種族値は比率尺度。
• 「タイプ」や「タマゴグループ」は名義尺度。

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統計入門 × ポケモン：1-5. 説明変数と目的変数

定義

用語	定義	例（ポケモンで）
説明変数	独立変数。目的変数に影響を与える要因	種族値（こうげき・すばやさなど）
目的変数	従属変数。説明変数によって値が決まる対象	総合戦闘力、勝率、人気など

ポケモンの例

「バトルでの強さ（総合力）」を予測する場合：

• 目的変数：総合力（Total）
• 説明変数：HP、こうげき、ぼうぎょ、とくこう、とくぼう、すばやさ

線形モデルで表現

$$
\text{Total} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{HP} + \cdots + \beta_6 \cdot \text{Speed} + \epsilon
$$

Python実装例（抜粋）

from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

2-1. 度数分布と累積度数分布

度数分布とは

データを階級（範囲）ごとに分けて、その中に何個あるかを数えた表。データのばらつきや偏りを視覚化する基本。

累積度数分布とは

各階級までに累計でいくつあるかを数える。全体に占める比率を見るのに有効。

例（すばやさの度数分布）

階級（すばやさ）	度数	累積度数
0～49	12	12
50～99	55	67
100～149	89	156
150～199	23	179
200～255	5	184

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2-2. ヒストグラム

ヒストグラムとは

階級ごとの棒グラフ。横軸に階級、縦軸に度数を取る。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.hist(df['Speed'], bins=10, edgecolor='black')
plt.title('Distribution of Speed')
plt.xlabel('Speed')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True)
plt.show()

ポイント

• 階級数（棒の本数）によって見え方が変わる
• 平均や分散だけではわからない分布の形がわかる

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2-3. 階級幅の決め方

階級幅とは

各階級の「横幅」。設定の仕方でヒストグラムの印象が変わる。

よく使われる方法

• スタージェスの公式：

  $$
  k = 1 + \log_2(n)
  $$

  （kは階級数、nはデータ数）

• 平方根の法則：

  $$
  k = \sqrt{n}
  $$

例（184匹のポケモン種族値）

スタージェスなら

$$
1 + \log_2(184) ≈ 8.52 → 9階級程度が適切
$$

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2-4. ローレンツ曲線

ローレンツ曲線とは

**「不平等さ」や「偏りの可視化」**に使う折れ線グラフ。

• 横軸：累積の個体数割合（0～100%）
• 縦軸：累積の種族値割合（例：すばやさ）

完全平等（全員同じ値）なら45度線上
偏りが大きいほど曲線は下に膨らむ

ポケモン例

すばやさに偏りがあると、一部の高速ポケモンが全体の大半のスピード値を占めることが見える。

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2-5. ジニ係数

ジニ係数とは

ローレンツ曲線から導く不平等の指標（0〜1）

• 0：完全平等
• 1：完全不平等

定義

ローレンツ曲線と45度線との間の面積Aを用いて

$$
\text{ジニ係数} = \frac{A}{A + B}
$$

通常、台形の面積計算で数値化される。

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2-6. ジニ係数の求め方（Python）

実装（すばやさのジニ係数）

import numpy as np

def gini_coefficient(x):
    x = np.sort(x)                  # 昇順に並び替え
    n = len(x)
    cumulative_x = np.cumsum(x)
    sum_x = cumulative_x[-1]
    index = np.arange(1, n+1)
    return (n + 1 - 2 * np.sum(cumulative_x / sum_x * index) / n)

speed_values = df['Speed'].values
gini = gini_coefficient(speed_values)
print(f"Gini coefficient for Speed: {gini:.3f}")

解釈

• 0.0〜0.3：比較的平等（種族値が平均的）
• 0.3〜0.6：やや不平等（特化型ポケモンが多い）
• 0.6以上：かなり不平等（ごく一部に突出した速度）

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3-1. 平均・中央値・モード

平均（Mean）

すべての値の合計を個数で割った値。最も一般的な代表値。

$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$

中央値（Median）

データを小さい順に並べたとき、中央にくる値。外れ値に強い。

最頻値（モード, Mode）

最も頻繁に出現する値。カテゴリ型や整数データで有効。

ポケモンでの例（HP種族値）

hp_values = df['HP']
print('Mean:', hp_values.mean())
print('Median:', hp_values.median())
print('Mode:', hp_values.mode().values[0])

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3-2. 平均・中央値・モードの関係

分布が正規に近い場合

$$
\text{平均} ≒ \text{中央値} ≒ \text{モード}
$$

右に歪んだ分布（例：攻撃力に突出がある場合）

$$
\text{モード} < \text{中央値} < \text{平均}
$$

左に歪んだ分布

$$
\text{平均} < \text{中央値} < \text{モード}
$$

ポケモンの種族値分布で視覚確認

import seaborn as sns

sns.histplot(df['Attack'], kde=True)
plt.title('Distribution of Attack')
plt.xlabel('Attack')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True)
plt.show()

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3-3. 平均・中央値・モードの使い方

用途	推奨代表値	理由
外れ値がない連続データ	平均	データ全体の重心として扱える
外れ値がある場合	中央値	極端値の影響を受けにくい
カテゴリ・整数型	モード	最頻出値として自然な代表

ポケモンでの適用例

• 「平均種族値」：全体の強さの目安
• 「中央値」：極端な高速ポケモンがいても影響されない
• 「モード」：標準的なHPやすばやさを知るのに便利

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3-4. いろいろな平均

加重平均（Weighted Mean）

各値に重み（例：出現率や使用率）をかけた平均：

$$
\bar{x}_{w} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}
$$

調和平均（Harmonic Mean）

速度など逆数的意味があるときに有効：

$$
\text{調和平均} = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}}
$$

幾何平均（Geometric Mean）

倍率の平均などに：

$$
\text{幾何平均} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
$$

例：ポケモンの使用率を加味した加重平均HP

weighted_hp = (df['HP'] * df['Usage']).sum() / df['Usage'].sum()
print(f"Weighted Mean HP: {weighted_hp:.2f}")

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3-5. 歪度と尖度

歪度（Skewness）

分布の左右非対称さを表す。

• 正：右に長い尾（攻撃特化）
• 負：左に長い尾

from scipy.stats import skew
print('Skewness (Speed):', skew(df['Speed']))

尖度（Kurtosis）

分布の尖り具合。

• 高い：とがっている（中心に集中）
• 低い：平べったい（分散が大きい）

from scipy.stats import kurtosis
print('Kurtosis (Speed):', kurtosis(df['Speed']))

解釈

• 歪度 ≒ 0：正規分布的
• 尖度 > 3：尖っている（leptokurtic）
• 尖度 < 3：平たい（platykurtic）

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4-1. 箱ひげ図とは

箱ひげ図（Box plot）は、データの分布・ばらつき・外れ値を一目で可視化する手法。
中央値・四分位範囲・最小値・最大値・外れ値が視覚的に把握できる。

表示要素

• 箱：第1四分位（Q1）～第3四分位（Q3）
• 中央線：中央値（Q2）
• ひげ：最小値～最大値（外れ値を除く）
• 点：外れ値

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4-2. 箱ひげ図の見方

例（すばやさ種族値）

import matplotlib.pyplot as plt

plt.boxplot(df['Speed'])
plt.title('Boxplot of Speed')
plt.ylabel('Speed')
plt.grid(True)
plt.show()

解釈ポイント

• 箱が短い：ばらつきが小さい（安定）
• 箱が長い：ばらつきが大きい（多様）
• 外れ値：極端に速い（例：デオキシス）

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4-3. 外れ値検出のある箱ひげ図

外れ値の定義（IQR法）

$$
\text{IQR} = Q3 - Q1
$$

$$
\text{外れ値} > Q3 + 1.5 \times IQR \quad または \quad < Q1 - 1.5 \times IQR
$$

実装

Q1 = df['Speed'].quantile(0.25)
Q3 = df['Speed'].quantile(0.75)
IQR = Q3 - Q1

outliers = df[(df['Speed'] < Q1 - 1.5*IQR) | (df['Speed'] > Q3 + 1.5*IQR)]
print(outliers[['Name', 'Speed']])

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4-4. 箱ひげ図の書き方（データ数が奇数の場合）

手順（nが奇数）

1. 中央値（Q2）を求める：中央の値
2. 下半分→Q1（中央値）
3. 上半分→Q3（中央値）

例：データ = [40, 50, 60, 70, 80]
Q2 = 60
Q1 = 50（40と50の中央値）
Q3 = 70（70と80の中央値）

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4-5. 箱ひげ図の書き方（データ数が偶数の場合）

手順（nが偶数）

1. Q2は中央2つの平均
2. Q1：下半分の中央値（含まない）
3. Q3：上半分の中央値（含まない）

例：データ = [40, 50, 60, 70, 80, 90]
Q2 = (60+70)/2 = 65
Q1 = 50（40と50の中央値）
Q3 = 80（80と90の中央値）

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4-6. 幹葉表示

幹葉表示（Stem-and-leaf display）とは

データの形を保ちながら、頻度と分布を可視化する方法。

構造

• 幹：上位桁
• 葉：下位桁

ポケモン例（すばやさ）

Speed データ（抜粋）: [40, 42, 45, 48, 50, 52, 56, 61, 67]

幹｜葉
4｜0 2 5 8
5｜0 2 6
6｜1 7

Python実装例（テキスト出力）

def stem_and_leaf_plot(data):
    stems = {}
    for num in sorted(data):
        stem, leaf = divmod(num, 10)
        stems.setdefault(stem, []).append(leaf)
    for stem in sorted(stems):
        leaves = ' '.join(str(leaf) for leaf in stems[stem])
        print(f"{stem} | {leaves}")

stem_and_leaf_plot(df['Speed'].tolist())

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5-1. データの集計について

統計学の第一歩は、「分類」「整理」「数える」という基本操作。
具体的には「カテゴリ別に何件あるか」「平均や分布はどうか」といった要約情報を得る。

例：ポケモンのタイプ別出現数

df['Type 1'].value_counts()

種類

• カウント（個数集計）
• サマリー統計量（平均、中央値、最頻値など）
• グループごとの平均（タイプ別平均攻撃力など）

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5-2. 棒グラフ・円グラフ・折れ線グラフ

棒グラフ（Bar Plot）

カテゴリごとの比較に使う。タイプ別の平均攻撃力などに適する。

df.groupby('Type 1')['Attack'].mean().plot(kind='bar')

円グラフ（Pie Chart）

全体に占める割合を視覚化。タイプ別分布など。

df['Type 1'].value_counts().plot.pie(autopct='%1.1f%%')

折れ線グラフ（Line Graph）

時系列や進化段階の変化を追うのに使用。

df[df['Name'].str.contains('Pikachu|Raichu')][['Name', 'Speed']].plot(x='Name', y='Speed', kind='line')

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5-3. クロス集計表1（カテゴリ×カテゴリ）

クロス集計表（Crosstab）は、2つのカテゴリ変数の同時分布を表す。

例：Type1 × Generation

pd.crosstab(df['Type 1'], df['Generation'])

行が「タイプ」、列が「登場世代」。それぞれの組み合わせの件数が確認できる。

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5-4. クロス集計表2（カテゴリ×連続値の平均）

カテゴリ変数と数値変数を組み合わせ、平均や合計などを計算。

例：Type1 × Attack（平均）

df.pivot_table(values='Attack', index='Type 1', columns='Generation', aggfunc='mean')

列方向に「世代」、行方向に「タイプ」、交差セルに「攻撃の平均値」。

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5-5. 帯グラフ・モザイク図

帯グラフ（Stacked Bar Chart）

カテゴリの構成比を比較。タイプ別の「分類（Legendary / Non-Legendary）」の比率など。

pd.crosstab(df['Type 1'], df['Legendary'], normalize='index').plot(kind='bar', stacked=True)

モザイク図（Mosaic Plot）

カテゴリ×カテゴリの割合とボリュームを同時に可視化。

from statsmodels.graphics.mosaicplot import mosaic

mosaic(df, ['Type 1', 'Legendary'])

面積の広さが度数、色がカテゴリ構成を表す。

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5-6. 三角グラフ（Ternary Plot）

三成分の比率（例：HP・Attack・Speed）を同時に表現。
分類・進化前後・バランス型か否かの分析に用いる。

ライブラリ準備とプロット

!pip install plotly

import plotly.express as px

# 正規化（三成分が1.0になるように）
subset = df[['HP', 'Attack', 'Speed']].copy()
subset = subset.div(subset.sum(axis=1), axis=0)

fig = px.scatter_ternary(subset, a='HP', b='Attack', c='Speed', title='Ternary Plot: HP vs Attack vs Speed')
fig.show()

解釈

• HPが高いと左下へ、Attackが高いと右下へ、Speedが高いと上へプロットされる
• タイプや分類別で色分け可能

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統計入門 × ポケモン：第6章 分散と標準偏差

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6-1. 分散

定義

分散（Variance）は、データが平均からどれだけ離れているかを表す指標。

$$
\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$

• 大きいほどばらつきが大きい
• 単位は元データの2乗

例（こうげき種族値）

attack_values = df['Attack']
variance = attack_values.var()
print(f"Variance of Attack: {variance:.2f}")

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6-2. 標準偏差

定義

標準偏差（Standard Deviation）は、分散の平方根。

$$
\sigma = \sqrt{\text{Variance}}
$$

• 元のデータと同じ単位
• データの広がり具合を直感的に把握できる

std_dev = attack_values.std()
print(f"Standard Deviation of Attack: {std_dev:.2f}")

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6-3. 標準偏差の使い方

活用場面

• 「平均±標準偏差」でデータのばらつき範囲を把握
• 正規分布なら、約68%が「±1σ」以内に収まる

ポケモンの例（Speed）

mean = df['Speed'].mean()
std = df['Speed'].std()

within_1std = df[(df['Speed'] >= mean - std) & (df['Speed'] <= mean + std)]
print(f"Percentage within ±1σ: {len(within_1std) / len(df) * 100:.1f}%")

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6-4. 変動係数

定義

変動係数（Coefficient of Variation, CV）は、平均に対する標準偏差の比率。

$$
\text{CV} = \frac{\sigma}{\mu}
$$

• 単位が異なるデータ同士のばらつきの比較に有効

cv_attack = df['Attack'].std() / df['Attack'].mean()
cv_speed = df['Speed'].std() / df['Speed'].mean()
print(f"CV Attack: {cv_attack:.3f}, CV Speed: {cv_speed:.3f}")

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7-1. ! の使い方（階乗）

定義

階乗（n!）は1からnまでの積。

$$
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1
$$

例：3匹のポケモンを並べる方法の数

$$
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
$$

import math
print(math.factorial(3))  # → 6

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7-2. P の使い方（順列）

定義

n個からr個を順番を考慮して取り出す方法

$$
{}_{n}P_r = \frac{n!}{(n - r)!}
$$

例：5匹から3匹を順に出す

$$
{}_{5}P_3 = \frac{5!}{2!} = 60
$$

from math import perm
print(perm(5, 3))  # → 60

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7-3. C の使い方（組合せ）

定義

n個からr個を順番を考慮せずに選ぶ方法

$$
{}_{n}C_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}
$$

例：6匹から2匹を選んでダブルバトルを行う

$$
{}_{6}C_2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15
$$

from math import comb
print(comb(6, 2))  # → 15

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まとめ（第6・7章）

• 標準偏差・分散・変動係数はデータのばらつきを定量化
• 階乗・順列・組合せはあらゆる確率や組み合わせの基礎
• ポケモンを使った実例は、概念理解と応用力強化に最適

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8-1. 事象とは

定義

事象（Event）は、確率空間における結果の集合。

例：

• 「くさタイプのポケモンである」
• 「すばやさが100以上である」

それぞれが事象である。

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8-2. ベン図

ベン図とは

**複数の事象の関係（包含・排反・共通）**を図式化する方法。

例：

• A：こうげき > 100
• B：すばやさ > 100

A ∩ B（両方を満たす）＝ 高速物理アタッカー
A ∪ B（どちらかを満たす）＝ 攻撃特化か高速型

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8-3. 余事象・空事象・排反事象

用語	意味
余事象	起きないほう（例：Aの余事象はAが起きない）
空事象	起こり得ない（例：HP=–50など）
排反事象	同時に起きない（例：ほのおタイプかつみずタイプ）

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8-4. 和事象

和事象 A ∪ B：AまたはBが起きる（含む・または）

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

例：

• A：ドラゴンタイプ
• B：すばやさが120超え

---

8-5. 積事象

積事象 A ∩ B：AかつBが同時に起きる

例：

• A：いわタイプ
• B：こうげき > 120

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)
$$

---

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9-1. 確率

定義

全体のうち、ある事象が起きる割合

$$
P(A) = \frac{\text{事象Aの数}}{\text{全体の数}}
$$

例：「伝説ポケモン」である確率

p_legendary = df['Legendary'].mean()

---

9-2. 確率の計算（数え上げ）

例：「HPが偶数のポケモン」

p_even_hp = (df['HP'] % 2 == 0).mean()

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9-3. 確率の計算（順列・組み合わせ）

例：「5匹の中から3匹を選ぶ確率（順序あり・なし）」

from math import perm, comb
print(perm(5, 3))  # 順列
print(comb(5, 3))  # 組合せ

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9-4. 確率の計算（余事象）

例：「こうげき ≧ 150 ではない」確率

p_not = 1 - (df['Attack'] >= 150).mean()

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9-5. 確率と独立

2事象 A, B が独立であるとは：

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$

例：「フェアリータイプ」と「HPが100以上」が独立か調べる：

p_a = (df['Type 1'] == 'Fairy').mean()
p_b = (df['HP'] >= 100).mean()
p_ab = ((df['Type 1'] == 'Fairy') & (df['HP'] >= 100)).mean()

print("独立性成立:", abs(p_a * p_b - p_ab) < 0.01)

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9-6. 加法定理

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

例：「ほのおタイプ」または「すばやさ > 100」の確率

---

9-7. 期待値

定義

事象の値 × その確率 の総和

$$
E[X] = \sum x_i P(x_i)
$$

例：こうげき値の期待値

expected_attack = df['Attack'].mean()

離散事象例（急所ダメージ：0.125×2倍 + 0.875×1倍）

$$
E[\text{ダメージ倍率}] = 0.875 \cdot 1 + 0.125 \cdot 2 = 1.125
$$

---

10-1. 条件付き確率とは

定義

ある事象Aが起きたときに、事象Bが起きる確率を条件付き確率と呼ぶ。

$$
P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
$$

例：伝説ポケモン（Legendary）の中で「ドラゴンタイプ（Type1=Dragon）」である確率

p_b_given_a = (
    ((df['Legendary'] == True) & (df['Type 1'] == 'Dragon')).sum() /
    (df['Legendary'] == True).sum()
)

---

10-2. 条件付き確率と独立

2つの事象A, Bが独立であるとは：

$$
P(B | A) = P(B)
$$

つまり、Aが起きてもBの確率に影響を与えない。

検証例：

A = すばやさ > 100
B = 伝説ポケモン

p_b = (df['Legendary'] == True).mean()
p_b_given_a = df[df['Speed'] > 100]['Legendary'].mean()

print("独立:", abs(p_b - p_b_given_a) < 0.01)

---

10-3. 乗法定理

定義

事象AとBが同時に起こる確率は、以下で求められる：

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)
$$

または、

$$
P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B)
$$

例：

A = こうげき > 120
B = 伝説ポケモン

p_a = (df['Attack'] > 120).mean()
p_b_given_a = df[df['Attack'] > 120]['Legendary'].mean()

p_ab = p_a * p_b_given_a

---

10-4. ベイズの定理

定義

条件付き確率の逆転を可能にする確率論の基本定理：

$$
P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

使用例：

「伝説ポケモンである」と観測されたときに「こうげきが150超である」確率

p_a = (df['Attack'] > 150).mean()
p_b = (df['Legendary'] == True).mean()
p_b_given_a = df[df['Attack'] > 150]['Legendary'].mean()

p_a_given_b = (p_b_given_a * p_a) / p_b

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10-5. 事前確率と事後確率

用語	定義
事前確率	観測前の確率（例：伝説ポケモンである確率）
尤度	条件付き確率（例：攻撃力150超のポケモンが伝説である確率）
事後確率	情報を得たあとの確率（例：伝説だと分かったとき攻撃150超である確率）

ベイズの定理により、新しい情報を踏まえて確率を更新できる。

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10-6. ベイズの定理の使い方（ポケモン例）

ケーススタディ

• 事象A：こうげき > 150（攻撃的アタッカー）
• 事象B：伝説ポケモンであると判明

このとき、ベイズの定理により
「伝説だと分かった後にそのポケモンが攻撃的である確率」が求まる。

実装

df['A'] = df['Attack'] > 150
df['B'] = df['Legendary'] == True

P_A = df['A'].mean()
P_B = df['B'].mean()
P_B_given_A = df[df['A']]['B'].mean()

P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")

11-1. 確率変数と確率分布

定義（確率変数）

確率変数（random variable）は、ある試行の結果を実数で表す関数。
たとえばポケモンの「すばやさ」は、個体によって値が異なるため、確率的な性質を持つ変数として扱うことができる。

実例（ポケモン）

• 確率変数 $X =$ すばやさ種族値
• 試行：ポケモンをランダムに1体選ぶ
• $X \in {5, 20, ..., 160}$（データに応じて離散的 or 連続的）

確率分布とは

確率変数 $X$ の各値に対応する確率（または密度）を与える関数。これを視覚化・数値化したものが確率分布。

---

11-2. 離散型確率分布と確率質量関数（PMF）

離散型：値が整数やカテゴリなど、飛び飛び

確率質量関数（Probability Mass Function）

$$
P(X = x_i) = f(x_i)
\quad \text{such that} \quad \sum_{i} f(x_i) = 1
$$

実例：ポケモンの「HP種族値」の分布

pmf = df['HP'].value_counts(normalize=True).sort_index()
pmf.plot(kind='bar', figsize=(10,4))
plt.title('PMF of HP')
plt.xlabel('HP')
plt.ylabel('Probability')
plt.grid(True)
plt.show()

→ 最頻値（モード）、ばらつき、歪みなどが視覚的にわかる。

---

11-3. 連続型確率分布

連続型：取り得る値が実数（区間的）

例：仮にポケモンの「すばやさ」が連続変数として測定された場合（例：技使用後の行動時間など）

特徴

• 単一の値に対する確率はゼロ： $P(X = x) = 0$
• 区間確率で扱う： $P(a \le X \le b)$

---

11-4. 確率密度と確率密度関数（PDF）

定義

$$
P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) , dx
\quad \text{with} \quad f(x) \ge 0, \int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1
$$

実例：すばやさを正規分布で近似

import numpy as np
from scipy.stats import norm

x = np.linspace(mean - 3*std, mean + 3*std, 300)
pdf = norm.pdf(x, loc=mean, scale=std)

plt.plot(x, pdf)
plt.title('Probability Density Function (Speed)')
plt.xlabel('Speed')
plt.ylabel('Density')
plt.grid(True)
plt.show()

補足

このグラフの「面積」が「確率」に相当。高さそのものではなく、区間幅との積で確率になる。

---

11-5. 連続型確率分布と確率1：区間確率の計算

実例：すばやさが 100〜120 にある確率

$$
P(100 \le X \le 120) = F(120) - F(100)
\quad \text{where } F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$

p = norm(loc=mean, scale=std).cdf(120) - norm(loc=mean, scale=std).cdf(100)
print(f"P(100 <= Speed <= 120): {p:.3f}")

→ 分布の中で一定区間に該当する個体の割合を示す。

---

11-6. 連続型確率分布と確率2：Zスコアと標準正規分布

Zスコアの定義と意義

$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$

• 単位の異なる変数も比較可能に
• 標準正規分布 $N(0,1)$ に変換

実装（すばやさのZスコア）

df['Speed_z'] = (df['Speed'] - mean) / std

Zスコアが ±1 にある確率（68.27%）

p = norm.cdf(1) - norm.cdf(-1)

→ 多くのポケモンの「標準的」なスピード感が見える。

---

コラム：離散と連続の違いをポケモンで整理

種類	確率変数	例	分布関数
離散型	HP、Attack、技の命中回数	PMF（棒グラフ）	$P(X = x)$
連続型	Speedの理論分布	PDF（曲線、面積で確率）	$\int_a^b f(x)dx$

---

12-1. 累積分布関数とは（CDF）

定義（累積分布関数）

確率変数 $X$ がある値以下である確率を表す関数：

$$
F(x) = P(X \le x)
$$

特徴

• $x$ が増えるほど $F(x)$ は増加
• 離散型でも連続型でも定義可能

---

12-2. 累積分布関数の性質

基本性質

1. 増加関数： $F(x_1) \le F(x_2)$ （if $x_1 < x_2$）
2. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
3. 不連続点がある場合 → 離散型分布

実例（Speed種族値の累積分布）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

speed = df['Speed'].sort_values().values
n = len(speed)
cdf = np.arange(1, n + 1) / n

plt.step(speed, cdf)
plt.title('Empirical CDF of Speed')
plt.xlabel('Speed')
plt.ylabel('P(X ≤ x)')
plt.grid(True)
plt.show()

---

12-3. 確率変数の期待値（離散・連続）

離散型の期待値

$$
E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
$$

連続型の期待値

$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$

ポケモン実例（Attack）

expected_attack = df['Attack'].mean()
print(f"Expected value of Attack: {expected_attack:.2f}")

→ 攻撃力の平均的な水準を表す。

---

12-4. 期待値の性質

線形性（Linear property）

$$
E[aX + b] = aE[X] + b
$$

和の期待値

$$
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
\quad \text{（独立でなくても成立）}
$$

実例：AttackとSpeedの合計期待値

e_total = df['Attack'].mean() + df['Speed'].mean()
e_sum = (df['Attack'] + df['Speed']).mean()
print(f"Expected sum: {e_total:.2f} vs Calculated: {e_sum:.2f}")

---

12-5. 確率変数の分散（定義と導出）

離散型

$$
\text{Var}(X) = \sum (x_i - E[X])^2 P(X = x_i)
$$

または

$$
\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2
$$

実例：HPの分散と標準偏差

var_hp = df['HP'].var()
std_hp = df['HP'].std()
print(f"Variance: {var_hp:.2f}, Std Dev: {std_hp:.2f}")

---

12-6. 分散の性質

分散のスケーリング性

$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)
$$

分散の加法性（独立な場合）

$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
\quad \text{（XとYが独立なとき）}
$$

実例：AttackとSpeedの合計の分散（確認）

var_sum = df['Attack'].var() + df['Speed'].var()
actual_var = (df['Attack'] + df['Speed']).var()
print(f"Sum of variances: {var_sum:.2f}, Actual variance: {actual_var:.2f}")

---

総まとめ

概念	意味	ポケモンの例
CDF	$P(X \le x)$	すばやさが100以下である確率
期待値	平均的な結果	攻撃種族値の期待値
分散・標準偏差	平均からのズレ具合	HPやSpeedの安定性
線形性	$E[aX + b] = aE[X] + b$	効果量をスケーリングしたときの平均値保存
分散の加法性	$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$	2種族値の合計のばらつき推定

---

13-1. 二項分布（Binomial Distribution）

定義

成功/失敗の2値事象をn回繰り返す試行の成功回数：

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

• $n$：試行回数（例：10回攻撃）
• $p$：成功確率（例：急所率 0.125）

例：急所に当たる回数（10回攻撃中）

from scipy.stats import binom

n = 10
p = 0.125
x = range(0, n + 1)
pmf = binom.pmf(x, n, p)

---

13-2. 二項分布の期待値と分散

$$
E[X] = np \quad,\quad \text{Var}(X) = np(1 - p)
$$

mean = binom.mean(n, p)
var = binom.var(n, p)

---

13-3. ポアソン分布（Poisson Distribution）

定義

単位時間内に起きる希な現象の回数

$$
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$

• $\lambda$：平均発生回数

例：1ターンに出現する状態異常数（平均0.3）

from scipy.stats import poisson

lam = 0.3
x = range(0, 6)
pmf = poisson.pmf(x, mu=lam)

---

13-4. ポアソン分布の期待値と分散

$$
E[X] = \lambda \quad,\quad \text{Var}(X) = \lambda
$$

mean = poisson.mean(mu=lam)
var = poisson.var(mu=lam)

---

13-5. 幾何分布（Geometric Distribution）

定義

初めて成功するまでの試行回数

$$
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p
\quad (k = 1, 2, 3, \dots)
$$

例：モンスターボールでの捕獲成功回数（p=0.3）

from scipy.stats import geom

p = 0.3
x = range(1, 10)
pmf = geom.pmf(x, p)

---

13-6. 幾何分布の期待値と分散

$$
E[X] = \frac{1}{p}
\quad,\quad
\text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2}
$$

mean = geom.mean(p)
var = geom.var(p)

---

13-7. 超幾何分布（Hypergeometric Distribution）

定義

有限集団からの非復元抽出

$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}
$$

• N：母集団（例：30体中）
• K：対象の数（例：伝説が6体）
• n：抽出数（例：5体選ぶ）

例：5体中に伝説が2体含まれる確率

from scipy.stats import hypergeom

N, K, n = 30, 6, 5
x = range(0, 6)
pmf = hypergeom.pmf(x, N, K, n)

---

13-8. 負の二項分布（Negative Binomial）

定義

r回目の成功が出るまでの試行回数

$$
P(X = k) = \binom{k - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}
\quad (k \ge r)
$$

• $r$：成功回数
• $k$：試行回数
• $p$：成功確率

例：3回捕獲に成功するまでに必要な試行回数（p=0.2）

from scipy.stats import nbinom

r = 3
p = 0.2
x = range(r, r + 10)
pmf = nbinom.pmf(x - r, r, p)

---

まとめ（分布の使い分け）

分布名	モデル	ポケモンでの例	期待値	分散
二項分布	成功回数（固定試行）	急所ヒット数	$np$	$np(1 - p)$
ポアソン分布	単位時間内の発生回数	状態異常、乱数要素	$\lambda$	$\lambda$
幾何分布	初成功までの回数	捕獲に成功するまでの試行数	$1/p$	$(1-p)/p^2$
超幾何分布	非復元抽出の成功数	手持ちに含まれる伝説数	$n \cdot K/N$	$n(K/N)(1-K/N)(N-n)/(N-1)$
負の二項分布	複数成功までの試行数	3回の急所成功までの攻撃数	$r/p$	$r(1-p)/p^2$

---

14-1. 正規分布とは

数式定義

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

• $\mu$：平均（ポケモンのSpeedの平均など）
• $\sigma$：標準偏差（Speedのばらつき）

特徴

• 左右対称の釣鐘型
• 平均 = 中央値 = 最頻値
• ±1σに約68.27%が含まれる

実例：Speedの分布を正規分布で近似

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

speed = df['Speed']
mu = speed.mean()
sigma = speed.std()
x = np.linspace(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma, 300)
pdf = norm.pdf(x, mu, sigma)

plt.plot(x, pdf, label='Normal Approximation')
plt.hist(speed, bins=20, density=True, alpha=0.4, label='Empirical Speed')
plt.title('Speed Distribution vs Normal Approximation')
plt.xlabel('Speed')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

---

14-2. 正規分布の再生性と標準正規分布

再生性（加法性）

• 2つの独立した正規分布 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ を足すと：

$$
X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
$$

実例：SpeedとAttackの合計

mu_sum = df['Speed'].mean() + df['Attack'].mean()
var_sum = df['Speed'].var() + df['Attack'].var()
print(f"Speed + Attack ~ N({mu_sum:.2f}, {var_sum:.2f})")

標準正規分布（Standard Normal Distribution）

$$
Z \sim N(0, 1)
$$

任意の正規分布をZスコアで標準化すればこの分布に変換可能。

---

14-3. 標準化したデータの使い方

Zスコアの定義

$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$

• 正規化ではなく標準化
• 外れ値・平均との距離・異なる変数間の比較に有用

実装例：SpeedのZスコア

df['Speed_z'] = (df['Speed'] - mu) / sigma

→ Z > 2：高速ポケモン、Z < -2：鈍足ポケモン

---

14-4. 標準正規分布表（Φ表）

内容

• Zスコアに対する累積確率 $\Phi(z) = P(Z \le z)$
• 対称性： $P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$
• 両側： $P(|Z| \le z) = 2\Phi(z) - 1$

部分表示例（抜粋）

Z	Φ(Z)
0.00	0.5000
0.50	0.6915
1.00	0.8413
1.96	0.9750
2.00	0.9772
3.00	0.9987

---

14-5. 標準正規分布表の使い方1（片側確率）

問題例：

SpeedのZスコアが1.28のポケモンは上位何%か？

z = 1.28
p = norm.cdf(z)
print(f"上位 {100 - p * 100:.2f}%")  # → 約10%

---

14-6. 標準正規分布の使い方2（区間確率）

例1：Speedが±1σ内にある確率（理論）

p = norm.cdf(1) - norm.cdf(-1)
print(f"理論値（±1σ）: {p:.4f}")  # → 約0.6827

例2：実データと比較

lower = mu - sigma
upper = mu + sigma
actual = df[(df['Speed'] >= lower) & (df['Speed'] <= upper)]
print(f"実際の割合: {len(actual)/len(df):.4f}")

---

応用：ポケモンの相対評価・分類

問題：

SpeedがZ > 2のポケモンはどれくらい珍しいか？

df[df['Speed_z'] > 2][['Name', 'Speed', 'Speed_z']]

→ 「上位2.5%以内の高速アタッカー」を抽出可能。

---

まとめ

内容	意味	ポケモンでの応用例
正規分布	実測値のモデル化	SpeedやHPのばらつき分析
標準正規分布（Z分布）	任意の正規分布を比較可能にする	複数種族値の標準化ランキング
Zスコア	平均からの相対的位置	「どれくらい速いか」「どれくらい重いか」の定量評価
分布表	理論分布との対応関係を数値で確認できる	上位5%・平均以上・中央値の判定など
±1σ・±2σの範囲	標準的・稀な個体の区分け	特殊戦術向きの個体・汎用型の見分け

---

第15章：いろいろな確率分布3（指数・一様・2変数分布）

---

15-1. 指数分布（Exponential Distribution）

定義

待ち時間や寿命モデル：

$$
f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0)
$$

• $\lambda$：単位時間あたりの発生率（rate）

ポケモン例

状態異常（麻痺、毒）が「次に発生するまでのターン数」

実装例（平均待ち時間4ターン）

from scipy.stats import expon
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

lam = 1/4  # 平均4ターン
x = np.linspace(0, 20, 300)
pdf = expon.pdf(x, scale=1/lam)

plt.plot(x, pdf)
plt.title('Exponential Distribution (状態異常待ち時間)')
plt.xlabel('Turn')
plt.ylabel('Density')
plt.grid(True)
plt.show()

---

15-2. 離散一様分布（Discrete Uniform Distribution）

定義

同じ確率で整数が出現：

$$
P(X = x) = \frac{1}{n}
$$

ポケモン例

• 「技の威力がランダムで決まる」場面
• 「ランク補正が±1〜±6の間で均等に変化」など

from scipy.stats import randint

pmf = randint.pmf(range(1, 7), 1, 7)

---

15-3. 連続一様分布1（Continuous Uniform Distribution）

定義

範囲 [a, b] の間で一様に発生：

$$
f(x) = \frac{1}{b - a} \quad (a \le x \le b)
$$

ポケモン例

• 個体値が0〜31の間でランダム（理論化すると連続）
• 初期値の速度補正など

from scipy.stats import uniform

a, b = 0, 255
x = np.linspace(a, b, 300)
pdf = uniform.pdf(x, loc=a, scale=b-a)

plt.plot(x, pdf)
plt.title('Continuous Uniform Distribution (個体値近似)')
plt.xlabel('Stat')
plt.ylabel('Density')
plt.grid(True)
plt.show()

---

15-4. 連続一様分布2（累積分布と逆関数）

累積分布関数（CDF）

$$
F(x) = \frac{x - a}{b - a} \quad (a \le x \le b)
$$

応用：一様分布から乱数を生成

samples = uniform.rvs(loc=0, scale=255, size=1000)

---

15-5. 2変数の確率分布（Joint Distribution）

定義

2つの変数 $X, Y$ に関する同時分布：

$$
P(X = x, Y = y)
$$

ポケモン例

• X：Attack
• Y：Speed
  → 「高速アタッカー」「鈍足高火力型」などのカテゴリ化

実装：2Dヒストグラム（攻撃×素早さ）

plt.hist2d(df['Attack'], df['Speed'], bins=30, cmap='Blues')
plt.colorbar()
plt.xlabel('Attack')
plt.ylabel('Speed')
plt.title('Joint Distribution of Attack and Speed')
plt.grid(True)
plt.show()

---

15-6. 2変数の期待値と分散（共分散・相関係数）

期待値と共分散

$$
E[X] = \sum x_i P(x_i), \quad \text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]
$$

相関係数

$$
\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
$$

実装：AttackとSpeedの相関分析

cov = df[['Attack', 'Speed']].cov().iloc[0, 1]
corr = df[['Attack', 'Speed']].corr().iloc[0, 1]
print(f"Covariance: {cov:.2f}, Correlation: {corr:.2f}")

---

まとめ

分布	モデル・意味	ポケモンでの活用例
指数分布	次のイベントまでの待ち時間	状態異常や発動の遅延
離散一様分布	等確率で整数値を出す	ランク変動、ランダム補正
連続一様分布	任意区間で等密度	個体値、補正値の近似
2変数同時分布	種族値2つの関係	Speed×Attack の戦術評価
共分散・相関係数	散布傾向の分析	速くて火力が高い、鈍足高耐久型の判定

---

---

16-1. 母集団と標本（Population and Sample）

定義

• 母集団（population）：調査・分析の対象となる全体（例：すべてのポケモン）
• 標本（sample）：母集団の一部を抽出したデータ

ポケモン例

• 母集団：全世代に存在する全ポケモン（約1000体）
• 標本：特定の世代（例：第1世代）やタイプ（例：ドラゴンタイプ）のポケモン

実装

population = df  # 全ポケモン
sample = df.sample(n=100, random_state=42)  # 無作為抽出標本

---

16-2. 全数調査と標本調査（Census vs Sampling）

全数調査（Census）

• 母集団すべてを調べる
• 費用・時間・労力が大きい
• ポケモンで例えると「全種族値の平均を計算する」

標本調査（Sampling）

• 一部のみから推測
• 現実的・迅速
• 「第3世代の50体だけから全体の傾向を推定」など

比較表

種類	メリット	デメリット
全数調査	正確・完全	コスト・労力・非現実的
標本調査	現実的・速い	誤差・偏りのリスクあり

---

16-3. 標本の抽出方法（Sampling Methods）

1. 無作為抽出（単純ランダム）

sample = df.sample(n=50, random_state=1)

2. 層別抽出（Stratified）

• 各タイプや世代から同数または割合で抽出

sample = df.groupby('Generation').sample(n=10, random_state=1)

3. 系統抽出（Systematic）

• 一定間隔で抽出（例：10体おき）

systematic_sample = df.iloc[::10]

4. クラスター抽出

• 「タイプ」や「世代」でグループ化し、グループ単位で抽出

比較表

方法	特徴	ポケモンでの例
無作為	偏りが少ないが全体把握しにくい	ランダムに50体選ぶ
層別	層を保ちつつ精度が高い	各タイプから均等に抽出
系統	整理されたリストから規則抽出	10体おきに1体選出
クラスター	実装は楽だが推測には注意	第4世代だけ選んで解析

---

16-4. 研究デザイン（Study Design）

調査の基本構造

1. 目的の明確化：何を知りたいのか？
2. 母集団の定義：誰（何）を対象とするか？
3. 抽出法の決定：どのように選ぶか？
4. 変数の設定：何を測定するか？（例：Attack, Speed）
5. 分析手法の選定：平均比較？回帰？検定？

ポケモン例：バトル用高速アタッカーの特徴調査

• 母集団：全ポケモン
• 標本：Speed > 100 かつ Attack > 120 の50体
• 分析：タイプ別に「高速アタッカー」が多いかを比較（クロス集計やχ²検定）

---

まとめ

用語・概念	意味	ポケモンでの例
母集団	全体対象	すべてのポケモン
標本	一部データ	ドラゴンタイプ50体
全数調査	全データを使う	種族値平均を正確に算出
標本調査	一部から全体を推定	第3世代だけから傾向を予測
抽出方法	ランダム・層別・系統・クラスター	各タイプから選ぶ、間引く
研究デザイン	調査目的→抽出→測定→分析	高速アタッカーの条件分析など

---

---

17-1. 大数の法則1（弱法則）

定義

標本平均が母平均に確率的に近づく（確率収束）：

$$
\lim_{n \to \infty} P\left(|\bar{X}_n - \mu| < \varepsilon\right) = 1
$$

ポケモン例

Speedの標本平均は、サンプルサイズが大きいほど「全ポケモンの平均Speed」に近づく。

実装（サンプルサイズを変えた平均の収束）

means = [df['Speed'].sample(n).mean() for n in range(10, 1001, 10)]
plt.plot(range(10, 1001, 10), means)
plt.axhline(df['Speed'].mean(), color='red', linestyle='--', label='True Mean')
plt.xlabel('Sample Size')
plt.ylabel('Sample Mean of Speed')
plt.title('Law of Large Numbers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

---

17-2. 大数の法則2（強法則）

定義

標本平均が母平均にほぼ確実に収束（ほとんど確実に）：

$$
P\left(\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu\right) = 1
$$

→ 概念的には強い主張。実装や直感は弱法則とほぼ同じ。

---

17-3. 中心極限定理1（定理の主張）

定義

独立な確率変数の和（または平均）は、サンプルサイズが大きくなると正規分布に近づく。

$$
\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \Rightarrow N(0,1)
$$

ポケモン例

Speedの標本平均の分布は n が大きくなると正規分布になる。

---

17-4. 中心極限定理2（実装で確認）

import seaborn as sns

sample_means = [df['Speed'].sample(30).mean() for _ in range(1000)]
sns.histplot(sample_means, kde=True)
plt.title('Sampling Distribution of Speed (n=30)')
plt.xlabel('Sample Mean of Speed')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True)
plt.show()

→ 明らかに釣鐘型の分布に近づく。

---

第18章：母平均の点推定

---

18-1. 点推定とは

定義

母数（母平均や母分散など）の推定値を1つの値で表す方法。

$$
\hat{\mu} = \bar{X}
$$

ポケモン例

全ポケモンのHPの平均を、第1世代の平均で推定する。

---

18-2. 母平均の点推定と推定量・推定値

• 推定量：標本から得られる関数（例：$\bar{X}$）
• 推定値：実際の数値（例：112.5）

---

18-3. 推定量の性質（良い推定量の条件）

1. 不偏性：期待値が母数と等しい
   $E[\hat{\mu}] = \mu$
2. 一致性：サンプルサイズ増加で母数に近づく
3. 効率性：分散が最小

---

18-4. 標本分散と不偏分散

定義

$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
$$

なぜ n−1？

→ 母分散の不偏推定量とするため（自由度補正）

sample = df['Attack'].sample(50)
print("不偏分散:", sample.var())  # デフォルトは n-1
print("標本分散（nで割る）:", sample.var(ddof=0))

---

18-5. 標準偏差と標準誤差

用語	定義	意味
標準偏差	データのばらつき	各個体のばらつき
標準誤差	標本平均のばらつき	推定の精度

$$
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

実装

se = df['Attack'].std() / np.sqrt(50)
print(f"標本平均の標準誤差（n=50）: {se:.2f}")

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まとめ（第17・18章）

概念	内容	ポケモンの例
大数の法則	標本平均は母平均に近づく	Speedの平均はn増加で安定
中心極限定理	標本平均の分布は正規分布に近づく	平均Speedの分布が釣鐘型
点推定	母平均を標本平均で近似する	全体HPを第2世代の平均から推測
不偏分散	真の分散の良い推定量	n−1で割って推定
標準誤差	平均のばらつき	Attackの平均を50体で推定する精度の指標

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---

19-1. 区間推定とは（Confidence Interval）

定義

母数（例：母平均）を、一定の確率（信頼係数）で含む区間で推定する方法。

$$
\text{CI} = \left[ \bar{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, ; \bar{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]
$$

• $\bar{X}$：標本平均
• $\sigma$：母標準偏差（既知）
• $z_{\alpha/2}$：標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点

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19-2. 母平均の信頼区間の求め方（母分散既知）

ポケモン例：HPの母平均を推定

import numpy as np
from scipy.stats import norm

# 仮定：母標準偏差σが既知とする
sigma = df['HP'].std()  # 本来は母σとして与えられる値を仮定

sample = df['HP'].sample(50, random_state=1)
x̄ = sample.mean()
n = len(sample)
z = norm.ppf(0.975)  # 95%信頼係数に対応するz値 ≒ 1.96

ci_lower = x̄ - z * (sigma / np.sqrt(n))
ci_upper = x̄ + z * (sigma / np.sqrt(n))

print(f"95% Confidence Interval for μ (σ known): ({ci_lower:.2f}, {ci_upper:.2f})")

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19-3. 95％信頼区間のもつ意味

定義と誤解の回避

• 「母平均が**この区間に入る確率が95%」ではない。
• 正しくは、「このような区間を**無限に繰り返して作ると、95%の割合で母平均を含む」ことを意味。

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19-4. さまざまな信頼区間（母分散既知）

信頼係数とz値対応表

信頼係数	$\alpha$	$z_{\alpha/2}$
90%	0.10	1.645
95%	0.05	1.960
99%	0.01	2.576

ポケモン例：信頼係数を変えて比較

for conf in [0.90, 0.95, 0.99]:
    z = norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
    ci_lower = x̄ - z * (sigma / np.sqrt(n))
    ci_upper = x̄ + z * (sigma / np.sqrt(n))
    print(f"{int(conf*100)}% CI: ({ci_lower:.2f}, {ci_upper:.2f})")

---

図による直感的理解

import matplotlib.pyplot as plt

se = sigma / np.sqrt(n)
x = np.linspace(x̄ - 4*se, x̄ + 4*se, 500)
y = norm.pdf(x, loc=x̄, scale=se)

plt.plot(x, y, label='Sampling Distribution')
plt.axvline(ci_lower, color='red', linestyle='--', label='CI Lower')
plt.axvline(ci_upper, color='blue', linestyle='--', label='CI Upper')
plt.title('95% Confidence Interval for μ (σ known)')
plt.xlabel('Sample Mean')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

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まとめ

項目	内容
区間推定	母平均を一定の信頼係数で含む区間で推定
使用条件	母分散（標準偏差）が既知
95%信頼区間の意味	同様の区間を多数作ると95%が母平均を含む
信頼係数と幅の関係	信頼係数↑ → 区間幅↑
ポケモンでの応用	HP・Attackの平均を一定の精度で見積もる

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---

20-1. 標本と t 分布（Student's t-distribution）

定義

母分散 $\sigma^2$ が未知の場合、標準正規分布ではなく t分布 を使う：

$$
t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}
$$

• $\bar{X}$：標本平均
• $s$：標本標準偏差
• $n$：標本サイズ
• $t_{n-1}$：自由度 $n-1$ のt分布

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20-2. t分布表（t critical values）

自由度 $df$	$t_{0.025}$（95% CI）
10	2.228
20	2.086
30	2.042
∞（標準正規）	1.960

→ t分布は裾が広い：標本サイズが小さいと、推定に不確実性が増す。

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20-3. 母平均の信頼区間の求め方（母分散未知）

95%信頼区間の式

$$
\left[ \bar{X} - t_{n-1,\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}},; \bar{X} + t_{n-1,\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right]
$$

---

20-4. 実装（ポケモン：Speedの信頼区間）

from scipy.stats import t

sample = df['Speed'].sample(20, random_state=42)
x̄ = sample.mean()
s = sample.std(ddof=1)
n = len(sample)
t_critical = t.ppf(0.975, df=n-1)

ci_lower = x̄ - t_critical * (s / np.sqrt(n))
ci_upper = x̄ + t_critical * (s / np.sqrt(n))

print(f"95% Confidence Interval for μ (σ unknown): ({ci_lower:.2f}, {ci_upper:.2f})")

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20-5. さまざまな信頼区間（母分散未知）

信頼係数ごとの幅の比較

for conf in [0.90, 0.95, 0.99]:
    t_crit = t.ppf(1 - (1 - conf)/2, df=n-1)
    ci_lower = x̄ - t_crit * (s / np.sqrt(n))
    ci_upper = x̄ + t_crit * (s / np.sqrt(n))
    print(f"{int(conf*100)}% CI: ({ci_lower:.2f}, {ci_upper:.2f})")

→ 信頼係数が上がると区間が広がるのがわかる。

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20-6. 母平均の差の信頼区間（2標本比較）

ポケモン例：第1世代と第3世代のHPを比較

定義式（等分散仮定）

$$
CI = (\bar{X}_1 - \bar{X}2) \pm t{df,\alpha/2} \cdot \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}
$$

$$
s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
$$

---

実装（例）

g1 = df[df['Generation'] == 1]['HP'].sample(30, random_state=1)
g3 = df[df['Generation'] == 3]['HP'].sample(30, random_state=2)

x̄1, x̄2 = g1.mean(), g3.mean()
s1, s2 = g1.std(ddof=1), g3.std(ddof=1)
n1, n2 = len(g1), len(g3)

# 等分散仮定の下のプール分散
sp2 = ((n1 - 1)*s1**2 + (n2 - 1)*s2**2) / (n1 + n2 - 2)
se_diff = np.sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n2))
t_crit = t.ppf(0.975, df=n1 + n2 - 2)

ci_lower = (x̄1 - x̄2) - t_crit * se_diff
ci_upper = (x̄1 - x̄2) + t_crit * se_diff

print(f"95% CI for μ1 - μ2 (HP): ({ci_lower:.2f}, {ci_upper:.2f})")

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まとめ

項目	内容
t分布	母分散が未知ならt分布使用
t分布の裾が広い理由	標本標準偏差の不確実性が反映されている
信頼区間（母分散未知）	標本標準偏差を使って推定
2標本の平均差の信頼区間	2つの標本平均の差がどの範囲にあるかを推定
ポケモン応用	世代・タイプ別にHPやSpeedの差を検証

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21. 母比率の区間推定（ポケモン種族値で学ぶ）

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21-1. 母比率の信頼区間の求め方1
例題：全国図鑑の中で「すばやさ種族値」が100以上のポケモンが600体中180体だったとする。
このとき、母比率（全ポケモンに占める割合）の95%信頼区間を計算。

$$
\hat{p} = \frac{180}{600} = 0.30,\quad n = 600,\quad z = 1.96
$$

$$
0.30 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.30(1 - 0.30)}{600}} \approx [0.264, 0.336]
$$

---

21-2. 母比率の信頼区間の求め方2（標本サイズが小さい場合）
例題：50体の伝説ポケモンを調査し、30体が「とくこう種族値」120以上だった。

$$
\hat{p} = \frac{30}{50} = 0.60,\quad n = 50
$$

ウィルソン区間を使用するとより精度の高い信頼区間が得られる（省略可）。

---

21-3. 母比率の信頼区間の求め方－エクセル統計
種族値フィルタを行ったExcelで比率を算出し、

=標本比率±1.96*SQRT(標本比率*(1-標本比率)/n)

例：

=0.3±1.96*SQRT(0.3*0.7/600)

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21-4. 必要なサンプルサイズ1（すばやさが速いポケモンの比率推定）
95%信頼水準、誤差±0.05、母比率0.3と見積もる場合

$$
n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.3 \cdot 0.7}{0.05^2} \approx 323
$$

---

21-5. 必要なサンプルサイズ2（母比率未知）
もっとも保守的な見積もりとして $p = 0.5$ を仮定

$$
n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.05^2} = 384.16 \Rightarrow 385体以上必要

---

21-6. 母比率の差の信頼区間
例題：

• 伝説ポケモン：100体中75体が「HP種族値」>80
• 一般ポケモン：200体中100体が「HP種族値」>80
  [
  \hat{p}_1 = 0.75,\quad \hat{p}_2 = 0.50
  $$

$$
差 = 0.75 - 0.50 = 0.25,\quad z = 1.96
$$

$$
\text{SE} = \sqrt{\frac{0.75(1 - 0.75)}{100} + \frac{0.50(1 - 0.50)}{200}} \approx 0.0612
$$

$$
95%CI = 0.25 \pm 1.96 \cdot 0.0612 \approx [0.13, 0.37]
$$

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練習問題（ポケモン版）

1. 「こうげき」種族値が120以上のポケモンは全体のうち240体／800体。95%信頼区間を求めよ。
2. 「伝説ポケモン」と「通常ポケモン」で「すばやさ」>100の比率に差があるか信頼区間を計算せよ。
3. 調査対象が「とくぼう」>110のポケモン。母比率未知で、±4%の誤差内に収めるには何体必要か？

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22. 母分散の区間推定（ポケモン種族値で学ぶ）

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22-1. カイ二乗分布
例：ランダムに抽出したポケモン50体の「HP」種族値の標本分散 $s^2 = 100$
自由度 $df = 49$、信頼水準95%

$$
\chi^2_{0.025} = 73.36,\quad \chi^2_{0.975} = 29.71
$$

$$
\frac{49 \cdot 100}{73.36} \leq \sigma^2 \leq \frac{49 \cdot 100}{29.71}
\Rightarrow [66.77, 164.86]
$$

---

22-2. カイ二乗分布表（Excelで）

=CHISQ.INV(0.025, 49)
=CHISQ.INV.RT(0.025, 49)

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22-3. 母分散の信頼区間の求め方1（種族値「こうげき」）
標本分散から母分散の信頼区間を計算。

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22-4. 母分散の信頼区間の求め方2（Excel統計）
Excelで母分散の区間推定を簡単に実行可能。
標本サイズと分散を求めて、上記のカイ二乗式に代入。

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23. 検定の前に（ポケモン種族値で学ぶ）

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23-1. 検定とは
統計検定とは、標本データから母集団の仮説を検証する方法。
例：伝説ポケモンの「こうげき」平均値が一般ポケモンより高いか？

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23-2. 検定で使う用語

• 帰無仮説（H₀）：差がない、変化がないとする仮説
• 対立仮説（H₁）：差がある、変化があるとする仮説
• 有意水準（α）：誤ってH₀を棄却する確率（通常0.05）
• p値：観測データがH₀のもとで得られる確率

---

23-3. 有意水準と検出力

• 有意水準 α：間違ってH₀を棄却する確率（第1種の過誤）
• 検出力 (1−β)：本当に差があるときにH₀を正しく棄却できる確率
  例：伝説ポケモンの「すばやさ」平均値の差を検出するための標本サイズを決定する際に考慮

---

23-4. 第1種の過誤と第2種の過誤

• 第1種の過誤：実際には差がないのに差があると判断
• 第2種の過誤：実際には差があるのに差がないと判断
  ポケモンで言えば、同じ「こうげき」傾向の2群を違うと誤認するのが第1種、違う群を同じと誤認するのが第2種

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23-5. 検定統計量と棄却域・採択域
t検定などで計算される検定統計量に基づいて、

• 「棄却域」→ H₀を否定（差あり）
• 「採択域」→ H₀を保留（差なし）

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23-6. 両側検定と片側検定

• 両側検定：平均が異なるかどうか（例：「こうげき」平均が違う？）
• 片側検定：一方が大きいか小さいか（例：伝説の方が強い？）

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24. 平均値の検定（ポケモン種族値で学ぶ）

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24-1. 母平均の検定（両側t検定）
例題：一般ポケモンの「HP」平均が100かどうかを検定

• H₀：μ = 100
• H₁：μ ≠ 100
  t検定統計量

$$
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}
$$

---

24-2. 母平均の検定（片側t検定）
例題：伝説ポケモンの「とくこう」平均が100より大きいか？

• H₀：μ ≤ 100
• H₁：μ > 100
  → 右片側検定（上側有意）

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24-3. 2標本t検定とは
2つの独立した群の平均の差の検定。
例：伝説ポケモン vs 一般ポケモンの「すばやさ」比較

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24-4. 対応のない2標本t検定
異なるポケモン群（例：伝説 vs 一般）の「こうげき」種族値の平均比較

$$
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

---

24-5. 対応のある2標本t検定
例：フォルムチェンジ前後の同一ポケモン（例：ギルガルドのブレード⇔シールド）の「こうげき」比較
→ 同じポケモンの前後データをペアで扱う

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25. さまざまな検定（ポケモン種族値・出現数・カテゴリで学ぶ）

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25-1. 母比率の検定
例：全ポケモンのうち、50%以上が「すばやさ」>90 であると言えるか？

• H₀：p = 0.5
• H₁：p > 0.5
  検定統計量：

$$
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}}
$$

---

25-2. 二項分布を用いた検定
例：ある地方のポケモン出現率が特定タイプ（例：でんき）で20%なら、出現10回中3回がでんきタイプという結果は偶然か？

• 二項分布 $B(n, p)$ の確率を直接計算し、p値評価

---

25-3. ポアソン分布を用いた検定
例：ある草むらで「ひこう」ポケモンが1時間に平均3体出現。5体出現した日は異常か？

• H₀：λ = 3
• H₁：λ > 3
  ポアソン分布で

$$
P(X \geq 5 \mid \lambda = 3) = 1 - P(X \leq 4)
$$

---

25-4. 適合度の検定（カイ二乗適合度検定）
例：6タイプ（ほのお・みず・くさ・でんき・じめん・ひこう）の出現割合が等しいと仮定して、観測頻度と比較

• H₀：出現分布は一様分布
• 検定統計量：

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$

---

25-5. 独立性の検定（カイ二乗検定）
例：ポケモンの「タイプ」と「地方」に独立性があるか（例：カントーとガラルでくさタイプの比率が違うか）

• クロス集計表で観測値と期待値を比較し、

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$

---

25-6. 独立性の検定－エクセル統計
Excel関数：

=CHISQ.TEST(観測範囲, 期待範囲)

またはピボットテーブルでクロス表作成後、

=CHISQ.TEST(範囲1, 範囲2)

---

25-7. 母比率の差の検定
例：伝説ポケモンと通常ポケモンで「とくこう」120以上の割合に差があるか？

$$
z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{p(1 - p)\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}
\quad p = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}
$$

---

26. 相関分析（ポケモン種族値で学ぶ）

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26-1. 散布図
例：全ポケモンの「こうげき」と「すばやさ」のペアで散布図を描く
→ 関係があるか視覚的に確認

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26-2. 正の相関と負の相関

• 正の相関：例「こうげき」と「すばやさ」
• 負の相関：例「ぼうぎょ」と「すばやさ」（鈍重なタンク系）

---

26-3. 相関係数（ピアソンのr）

$$
r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \sum(y_i - \bar{y})^2}}
$$

• r > 0.7：強い正の相関
• r < -0.7：強い負の相関

---

26-4. 偏相関係数
「とくこう」と「すばやさ」の関係を、「レベル」など他の変数の影響を取り除いて分析
→ 回帰残差を使って相関係数を再計算

---

26-5. 層別解析
例：「すばやさ」と「とくこう」の相関を、進化段階（未進化・進化済み）ごとに層別して分析
→ 層全体では相関が弱くても、各層内で強い相関があることも（交絡要因の除去）

---

27. 回帰分析

---

27-1. 単回帰分析（Simple Linear Regression）
目的変数（例：「とくこう」）を1つの説明変数（例：「すばやさ」）で予測
モデル式：

$$
\hat{y} = a + bx
$$

例：「すばやさ」から「とくこう」の傾向を予測

---

27-2. 最小二乗法（Least Squares Method）
回帰係数 $a, b$ を誤差（残差）の二乗和を最小にするように求める

$$
\min \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2
$$

解法：

$$
b = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2},\quad
a = \bar{y} - b\bar{x}
$$

---

27-3. 重回帰分析（Multiple Regression）
複数の説明変数から目的変数を予測
例：
「HP」「こうげき」「ぼうぎょ」から「総合種族値」を予測
モデル：

$$
\hat{y} = a + b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + \cdots + b_kx_k
$$

---

27-4. 予測値と残差（Fitted Value and Residual）

• 予測値：モデルで推定された $\hat{y}$
• 残差：実測値と予測値の差 $e_i = y_i - \hat{y}_i$
  → 残差プロットでモデルの適合性をチェック

---

27-5. 決定係数と重相関係数（R² and Multiple R）

• 決定係数 R²：

$$
R^2 = 1 - \frac{\text{残差平方和}}{\text{全変動平方和}}
$$

→ 目的変数のどれだけが説明できたか（0～1）

• 重相関係数：説明変数すべてを考慮した相関係数

$$
R = \sqrt{R^2}
$$

---

27-6. 回帰の有意性の検定（F検定・t検定）

• 回帰モデル全体の有意性：F検定
  → 少なくとも1つの係数が有意かを確認
• 個々の係数の有意性：t検定
  → 各変数が目的変数に対して有意な影響を持つか

$$
t = \frac{\hat{b}}{\text{標準誤差}},\quad
\text{有意であれば}\ |t| > t_{\alpha/2, n-k-1}
$$

---

ポケモン例題：

• 「HP」「ぼうぎょ」「とくぼう」から「耐久力スコア（仮定）」を回帰
• 「すばやさ」「こうげき」から「先手撃破力」を予測するモデル構築
• 回帰係数・決定係数・残差分析・検定まで実施可能（Excel / Python）

---

28. 等分散性の検定とWelchのt検定（ポケモン種族値で学ぶ）

---

28-1. F分布（F-distribution）
異なる2つの群の分散比に基づく分布

$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2}
\quad (\text{ただし } s_1^2 > s_2^2)
$$

→ 分布は正の値をとり、非対称

---

28-2. F分布表
自由度 $\nu_1, \nu_2$ に対応した臨界値を表から取得
例：自由度 9, 14 のとき、5%有意水準で上側5%点 → F ≈ 2.85
※Excelでは：

=F.INV.RT(0.05, 9, 14)

---

28-3. 母分散の比の信頼区間の求め方
例：伝説ポケモンと通常ポケモンの「ぼうぎょ」分散比を調べる
信頼区間：

$$
\left( \frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2}},\
\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}} \right)
$$

---

28-4. 等分散性の検定（F検定による）
例：「こうげき」の分散が伝説と通常ポケモンで等しいか？

• H₀：σ₁² = σ₂²
• 検定統計量：F = s₁² / s₂²
• F分布表で臨界値と比較し、H₀棄却可否を判断

---

28-5. Welchのt検定（等分散性を仮定しないt検定）
分散が異なる2群間の平均比較に使用

$$
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}
{\sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} }}
$$

自由度はWelch–Satterthwaiteの式で近似
→ 伝説と通常ポケモンで「とくこう」の平均比較に等分散性がなければこちらを使用

---

29. 一元配置分散分析（One-Way ANOVA）

---

29-1. 分散分析とは
複数グループ間の平均値の差を、1回の検定で評価する方法

• H₀：全グループの平均は等しい
  例：地方別（カントー、ジョウト、ガラル）に「HP」平均値に差があるか？

---

29-2. 一元配置分散分析の流れ1：モデル式と仮説

• 観測値： $y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$
• H₀：すべての $\alpha_i = 0$（平均差なし）
• H₁：少なくとも1つの群に差あり

---

29-3. 一元配置分散分析の流れ2：平方和の分解
全体のばらつき（全変動）を

• 群間変動（SSA）と群内変動（SSE）に分解

$$
SST = SSA + SSE
$$

$$
F = \frac{MSA}{MSE}
\quad (MS = \text{mean square} = \text{SS} / df)
$$

---

29-4. 一元配置分散分析の流れ3：F値と有意性判断

• 自由度：dfA = k−1、dfE = N−k
• F分布により有意性判定
• p値が有意水準未満なら、平均差ありと判断
  → どの地方の平均が特に異なるかは「多重比較」（Tukey法など）で分析可能

---

30. 二元配置分散分析（ポケモン種族値で学ぶ）

---

概要：
二元配置分散分析（Two-way ANOVA）は、2つの要因が目的変数に与える影響を分析する方法。
例：ポケモンの「とくこう種族値」に対して

• 要因A：タイプ（ほのお／みず／くさ）
• 要因B：分類（通常／伝説）
  の影響と交互作用を調べる。

---

30-1. 二元配置分散分析の分散分析表1：モデル式

$$
Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta){ij} + \epsilon{ijk}
$$

• $\mu$：全体平均
• $\alpha_i$：要因Aの効果（タイプ）
• $\beta_j$：要因Bの効果（分類）
• $(\alpha\beta)_{ij}$：交互作用効果
• $\epsilon_{ijk}$：誤差項

---

30-2. 二元配置分散分析の分散分析表2：平方和の分解
全体のばらつきを以下に分解

• SSA：要因Aの平方和（タイプ間の差）
• SSB：要因Bの平方和（分類の差）
• SSAB：交互作用の平方和
• SSE：誤差平方和
• SSTotal：全体平方和

---

30-3. 二元配置分散分析の分散分析表3：分散分析表の構造

要因	自由度	平方和 (SS)	平均平方 (MS)	F値
タイプ（A）	$a - 1$	SSA	MSA = SSA / dfA	$F_A = MSA / MSE$
分類（B）	$b - 1$	SSB	MSB = SSB / dfB	$F_B = MSB / MSE$
交互作用（A×B）	$(a - 1)(b - 1)$	SSAB	MSAB = SSAB / dfAB	$F_{AB} = MSAB / MSE$
誤差	$ab(n - 1)$	SSE	MSE = SSE / dfE	—
合計	$N - 1$	SSTotal	—	—

---

30-4. 二元配置分散分析の分散分析表4：計算例（ポケモン）
例：

• タイプ（A）：ほのお、みず、くさ（3水準）
• 分類（B）：伝説、通常（2水準）
• 各セルに5体ずつ（n=5）

→ 総自由度：$3 \times 2 \times 5 = 30$
→ 分析表に各群の「とくこう」平均を用いてSSA, SSB, SSAB, SSE を求める

---

30-5. 交互作用とは
交互作用：要因Aの効果が要因Bの水準によって変わること
例：

• 「ほのお」タイプのとくこうは伝説では非常に高いが、通常では平均的
  → 要因「タイプ」の効果が「分類」に依存して変化している ⇒ 交互作用あり

グラフで交互作用を確認：

• 平行な線 → 交互作用なし
• 線が交差または離れていく → 交互作用あり

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31. 実験計画（ポケモン種族値・バトル性能評価で学ぶ）

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31-1. フィッシャーの3原則（実験計画の基本）
① 比較（Comparison）：複数の処置群を比較（例：道具あり／なしでこうげき変化）
② 無作為化（Randomization）：割り当てをランダム化（例：ポケモンのタイプをランダムに選ぶ）
③ 反復（Replication）：繰り返し測定で誤差を小さく（例：同じ条件下でバトルを複数回）

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31-2. 効果量1（Effect Size）
標準化された差を示し、統計的有意性と実際の影響の大きさを分離

• Cohen’s d（2群間平均差）

$$
d = \frac{|\bar{x}_1 - \bar{x}_2|}{s_p}
$$

例：伝説と通常ポケモンの「すばやさ」平均の効果量

---

31-3. 効果量2（η²、r²など）
分散分析における効果量：

• η²（イータ二乗）：群間平方和／全体平方和
• $r^2$：決定係数（重回帰）
  → 例：タイプ別の「とくこう」への影響割合（η²）

---

31-4. 検出力（Power）
真の差を見抜ける確率（1 − β）

• β：第2種の過誤（本当の差を見逃す）
  例：伝説と通常の「こうげき」に差があるとき、検出できる確率

---

31-5. 検出力の計算
Excel／Pythonで可能
必要項目：

• 有意水準（α）
• 効果量（dやη²）
• サンプルサイズ（n）
• 標本分散

例（Python）：

from statsmodels.stats.power import TTestIndPower
analysis = TTestIndPower()
power = analysis.power(effect_size=0.5, nobs1=100, alpha=0.05)

---

31-6. サンプルサイズの設計と検出力分析
必要なサンプル数 n を逆算：
例：

• 効果量 d = 0.5
• α = 0.05
• 検出力 0.8
  → 約64体／群 必要（Cohenの表やG*Powerで求める）

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32. その他の統計的考察

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32-1. 外れ値（Outliers）
異常な値。箱ひげ図／Zスコアで検出
例：種族値の「すばやさ」で300超えなど

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32-2. 正規性の確認（Normality）

• ヒストグラム／Q-Qプロット
• Shapiro-Wilk検定／Kolmogorov-Smirnov検定
  例：「とくこう」が正規分布に従うか？

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32-3. 時系列データと移動平均（Moving Average）
例：毎年登場するポケモンの「すばやさ」平均をプロット
→ トレンド把握
移動平均：3年平均などで滑らかにする

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32-4. 時系列データにおける周期変動（Seasonality）
例：特定世代ごとの「こうげき」インフレ傾向
→ 高速アタッカーが増えるサイクル

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32-5. 自己相関（Autocorrelation）
過去データとの相関（ARモデル）
例：「ポケモン図鑑番号」と「種族値傾向」の系列分析

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32-6. さまざまな指数（Index）

• 単純指数：現在値 / 基準値 × 100
• チェーン指数：前年と比
  例：ポケモン第何世代かによる「平均合計種族値」の推移を指数化し比較

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1. 2×2のクロス集計表とさまざまな比率（ポケモン分類データで学ぶ）

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1-1. 検査精度（感度・特異度・陽性的中率など）
分類例：

• 真：伝説ポケモン
• 判定：総合種族値600以上 → 伝説と判断

	判定：伝説	判定：非伝説	合計
実際：伝説	TP	FN	P
実際：非伝説	FP	TN	N

• 感度（Sensitivity）＝ TP / (TP + FN)
• 特異度（Specificity）＝ TN / (TN + FP)
• 陽性的中率（PPV）＝ TP / (TP + FP)
• 陰性的中率（NPV）＝ TN / (TN + FN)

---

1-2. 検査精度の信頼区間
例：感度90%（TP=90/100）の信頼区間
→ 正規近似で

$$
CI = \hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
$$

---

1-3. オッズ比1（Odds Ratio 基本）
例：伝説ポケモンの「こうげき」>100の割合 vs 通常ポケモン
オッズ比 OR：

$$
OR = \frac{TP \cdot TN}{FP \cdot FN}
$$

---

1-4. オッズ比2（対数オッズと信頼区間）

• 対数オッズ：$\log(OR)$
• 標準誤差：

$$
SE = \sqrt{\frac{1}{TP} + \frac{1}{FP} + \frac{1}{FN} + \frac{1}{TN}}
$$

• CI：

$$
\log(OR) \pm z \cdot SE \quad → \exp()で戻す

---

1-5. マクネマー検定（対応のある2分類）
例：ポケモンのフォルム変更前後で「600族か否か」が変化したか

	After: 〇	After: ✕
Before: 〇	a	b
Before: ✕	c	d

[
\chi^2 = \frac{(b - c)^2}{b + c}
$$

（b ≠ c が有意なら分類変化あり）

---

1-6. コクラン＝アーミテージ検定（順序カテゴリにおける傾向）
例：ポケモン世代（第1～第8）ごとの「600族割合」に増加傾向があるか
→ 順序尺度 × 2値データで傾向検定

• H₀：傾向なし
• H₁：傾向あり（直線的関係）

---

2. 確率分布（ポケモン種族値や出現数で学ぶ）

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2-1. さまざまな確率分布

• 二項分布：特性持ちポケモンが一定割合で登場（例：10回中5回でんきタイプ）
• ポアソン分布：時間内出現数（例：10分で3体の確率）
• 正規分布：種族値の自然分布
• t分布／χ²分布／F分布：小標本検定や分散分析に使用

---

2-2. モーメント（Moment）

• 1次モーメント：平均
• 2次モーメント中心化：分散
• 3次・4次モーメント：歪度（非対称性）・尖度（鋭さ）

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2-3. チェビシェフの不等式（Chebyshev’s Inequality）
どんな分布でも使える

$$
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
$$

例：標準偏差の2倍以内に収まる確率 ≥ 75%

---

2-4. 歪度と尖度（Skewness & Kurtosis）

• 歪度：平均より左右どちらに偏っているか

  • 正：右に長い（速いポケモン種族値など）

• 尖度：分布のとがり具合

  • 正：鋭く中心集中（伝説ポケモン）

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3. 離散型確率分布（ポケモンの出現数・分類で学ぶ）

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3-1. 二項分布（Binomial Distribution）
成功確率 $p$、試行回数 $n$ の成功回数の分布
例：ある場所でほのおタイプが出る確率が0.3、10回中x回出現する確率

$$
P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x}
$$

---

3-2. ポアソン分布（Poisson Distribution）
一定時間内の事象発生回数の分布
例：1時間あたり**2体出現する「レアポケモン」**が、x体現れる確率

$$
P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
\quad (\lambda = \text{平均出現数})
$$

---

3-3. 幾何分布（Geometric Distribution）
最初の成功までにかかる試行回数の分布
例：初めて「でんき」タイプが出現するまでの試行回数

$$
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p
$$

---

3-4. 多項分布（Multinomial Distribution）
複数カテゴリに分かれる確率付き試行の回数分布
例：10体のポケモンがそれぞれ

• ほのお30%
• みず40%
• くさ30%
  出現するときのそれぞれのカテゴリ体数の分布

$$
P(x_1, x_2, ..., x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! ... x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} ... p_k^{x_k}
$$

---

4. 連続型確率分布（ポケモン種族値で学ぶ）

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4-1. 正規分布（Normal Distribution）
自然な分布。中心付近にデータが集中し、左右対称
例：「とくこう種族値」が平均110、標準偏差15の正規分布に従うと仮定
確率密度関数：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

---

4-2. ガンマ分布（Gamma Distribution）
正の連続変数（待ち時間・寿命など）によく使われる
例：ポケモン捕獲にかかる時間の合計がガンマ分布に従うと仮定
確率密度関数：

$$
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}
\quad (x > 0)
$$

• 指数分布はガンマ分布（α=1）の特殊形
• χ²分布もガンマ分布の特殊形（β=1/2, α=k/2）

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5. 統計的検定（ポケモンにおける適合性と精度分析）

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5-1. 適合度検定（Goodness-of-Fit Test）

● 目的

観測されたデータが、理論的に仮定された分布（期待分布）に適合しているかを検定する。

● ポケモン例

「でんき・みず・くさ・ほのお」4タイプの出現割合が**等しい（25%ずつ）**と仮定して、観測値と比較。

タイプ	観測数（O）	期待数（E=全体数×0.25）
でんき	30	25
みず	20	25
くさ	35	25
ほのお	15	25

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = \frac{(30-25)^2}{25} + \cdots = 8.0
$$

自由度 = カテゴリ数 − 1 = 3、5%有意水準の臨界値 = 7.815
→ $\chi^2 = 8.0 > 7.815$ → 帰無仮説棄却 → タイプ分布に偏りあり

---

5-2. フィッシャーの正確確率検定（Fisher's Exact Test）

● 目的

2×2クロス集計表でのカテゴリ間の独立性検定。標本数が少ない場合に有効。

● ポケモン例

「伝説」かつ「こうげき > 100」の割合に偏りがあるか？

	こうげき > 100	≤ 100	合計
伝説ポケモン	15	5	20
非伝説ポケモン	10	30	40

→ 通常のカイ二乗検定だと誤差が大きいため、**すべての2×2表を考慮した「正確確率」**を用いて計算。
→ Python・R・Excel等で直接求められる（SciPyのfisher_exactなど）。

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6. ノンパラメトリック検定（分布を仮定しない柔軟な手法）

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6-1. ノンパラメトリック検定とは

• 正規分布や等分散性を仮定しない
• 順位・符号・秩などを使って比較する
• 外れ値・歪みが大きいデータにも強い

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6-2. 順位相関係数（Spearman / Kendall）

● 目的

順位情報に基づく相関の検出
→ 種族値どうしの非線形な関係でも使える

● ポケモン例

「すばやさ」と「とくこう」に順位相関があるか？

• すべてのポケモンに順位（rank）をつける
• 順位の差からSpearman相関係数 $\rho$ を計算：

$$
\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}
\quad (d_i = 順位の差)
$$

---

6-3. 対応のない2標本の差の検定（Mann–Whitney U検定）

● 目的

2つの独立群の中央値が等しいかを検定（t検定のノンパラ版）

● ポケモン例

伝説 vs 通常で「ぼうぎょ」順位に差があるか？

• 両群を結合して順位をつける
• U統計量を算出して、Uの近似正規分布でp値を求める

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6-4. 対応のある2標本の差の検定（Wilcoxon符号付き順位検定）

● 目的

同じ対象の前後比較（対応あり）
→ 進化前と進化後、フォルムチェンジ前後など

● ポケモン例

シールドフォルムとブレードフォルムで「こうげき」差を比較

• 差を取り、その差に順位をつける
• 符号を考慮して順位を合計し、検定統計量を算出

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6-5. 対応のない3群以上の差の検定（Kruskal–Wallis検定）

● 目的

3群以上で中央値に差があるか？（一元配置分散分析のノンパラ版）

● ポケモン例

カントー／ジョウト／ガラルの「すばやさ」に差があるか？

• 3群を結合して順位を付ける
• 群ごとの順位合計を元にH統計量を計算：

$$
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)
\quad (R_i = 群iの順位合計)
$$

---

7. 多変量解析（ポケモン種族値と分類の理解を深める解析手法）

---

7-1. ロジスティック回帰分析1：2値分類の基本

● 目的

「伝説」か「非伝説」のような2クラスのカテゴリを予測するための回帰モデル。
説明変数：連続値（例：「こうげき」「すばやさ」など）
目的変数：カテゴリ（0/1）

● ポケモン例

• y = 1：伝説ポケモン
• y = 0：非伝説ポケモン
• $x_1 =$ すばやさ, $x_2 =$ とくこう

$$
P(y = 1) = \frac{1}{1 + \exp(-(b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2))}
$$

→ 「すばやさ」「とくこう」が高いと伝説である確率が上がるかを評価。

---

🔹 ロジスティック回帰分析に関する式

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【1】ロジスティック回帰モデルの基本式

$$
P(y = 1 \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{1 + \exp(-z)} \quad \text{（シグモイド関数）}
$$

$$
z = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_k x_k
$$

• $y \in {0, 1}$：例：伝説(1)／非伝説(0)の判別
• $x_i$：説明変数（例：こうげき、すばやさ）
• $\beta_i$：係数（学習で推定）

---

【2】オッズとオッズ比

$$
\text{オッズ} = \frac{P(y=1)}{1 - P(y=1)} = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k)
$$

$$
\text{オッズ比} = \exp(\beta_i)
$$

• $x_i$ が1単位増加したときのオッズの変化倍率（掛け算）

---

【3】Wald検定統計量とp値

$$
z_i = \frac{\hat{\beta}_i}{\text{SE}(\hat{\beta}_i)}
$$

• $\text{SE}(\hat{\beta}_i)$：係数の標準誤差
• $|z_i|$ が大きい → 変数が統計的に有意
• 対応する p値 を算出し、p < 0.05 で有意と判定

---

【4】モデルの性能評価指標

指標	式	説明
Accuracy	$\frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN}$	正解率
Precision (適合率)	$\frac{TP}{TP + FP}$	伝説と予測して当たる確率
Recall (再現率)	$\frac{TP}{TP + FN}$	実際に伝説をどれだけ拾えているか
F1スコア	$2 \cdot \frac{\text{Precision} \cdot \text{Recall}}{\text{Precision} + \text{Recall}}$	精度と網羅性の調和平均
AUC	ROC曲線の下の面積（0～1）	識別能力全体の指標
擬似決定係数（Nagelkerke R² など）	$\displaystyle R^2 = 1 - \frac{L_1}{L_0}$（Log-likelihood比など）	線形モデルにおけるR²の類似指標

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🔹 クラスタリング分析に関する式

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【5】距離の定義

距離指標	式	特徴
ユークリッド距離	$\displaystyle d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$	最も一般的な直線距離
マンハッタン距離	(\displaystyle d(x, y) = \sum_{i=1}^{n}	x_i - y_i	)	ブロック単位の距離

---

【6】階層型クラスタリング：クラスタ間の距離

手法	距離の定義
単連結法（最短距離）	$\min d(x_i, x_j)$（異なるクラスタ間の最短距離）
完全連結法（最長距離）	$\max d(x_i, x_j)$
ウォード法（分散最小化）	クラスタ内分散の増加を最小にするように統合

---

【7】非階層型クラスタリング（K-means）

● クラスタ重心の計算：

$$
\mu_k = \frac{1}{n_k} \sum_{i \in C_k} x_i
$$

• 各クラスタ $C_k$ に属するサンプルの平均値を新しい重心とする

● 目的関数（SSE: 群内平方和）：

$$
\text{SSE} = \sum_{k=1}^{K} \sum_{i \in C_k} |x_i - \mu_k|^2
$$

• 小さいほど良い
• エルボー法：SSEの減り方を見て適切なKを判断

---

【8】クラスタの分離評価（シルエット係数）

$$
s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max{a(i), b(i)}}
$$

• $a(i)$：自身のクラスタ内の平均距離
• $b(i)$：他クラスタとの最小平均距離
  → $s(i) \in [-1, 1]$、1に近いほど分離が明確

---

まとめ

分析手法	代表式	評価・意味
ロジスティック回帰	$P(y=1) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$	2クラスの分類確率
オッズ比	$e^{\beta_i}$	x_i の増加に対する影響度
Wald検定	$z = \frac{\beta}{SE}$	変数の有意性確認
クラスタ距離	$\sqrt{\sum(x_i - y_i)^2}$	クラスタの類似度
SSE	$\sum_{k} \sum_{i \in C_k} |x_i - \mu_k|^2$	K-meansの最小化目的関数
シルエット係数	$\frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))}$	分離度の指標

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1. データの整理と可視化（ポケモン種族値・分類データの見える化）

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1-1. 箱ひげ図（Boxplot）

目的：データの分布・中央値・外れ値を視覚的に確認
例：「こうげき種族値」の箱ひげ図をタイプ別に作成

• 箱：第1四分位数～第3四分位数（IQR）
• 線：中央値
• 点：外れ値（±1.5×IQR）

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1-2. 相関係数と散布図（Scatter plot with correlation）

目的：「すばやさ」と「とくこう」など、2変数間の関係性を見る

• 散布図：視覚的な関係
• 相関係数 $r$：

$$
r = \frac{\text{共分散}}{\text{標準偏差の積}}
$$

例：r > 0.7 なら強い正の相関（アタッカー型）

---

1-3. 基本統計量とヒストグラム（Histogram）

目的：データの分布を確認（平均・中央値・分散・歪度など）
例：「とくぼう種族値」のヒストグラム
→ 正規分布に近いか？歪みがあるか？を確認
基本統計量：mean, median, variance, SD, skewness, kurtosis

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1-4. 積み上げ棒グラフ（Stacked Bar Chart）

目的：カテゴリ内訳を比較
例：各タイプ内の「物理アタッカー・特殊アタッカー・タンク」の割合

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1-5. 折れ線グラフ（Line Chart）

目的：時間・世代など順序付き変化を追う
例：ポケモン第1世代～第9世代における平均「すばやさ」の推移

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1-6. ベン図（Venn Diagram）

目的：属性の共通・排他関係の視覚化
例：「600族 ∩ 伝説 ∩ ドラゴンタイプ」など複数属性の重なりを可視化

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2. 推定と検定（ポケモン種族値データを統計解析）

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2-1. 対応のない2標本t検定

目的：伝説 vs 通常で「ぼうぎょ」平均に差があるか検定

$$
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}
{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

---

2-2. 独立性の検定（カイ二乗検定）

目的：「タイプ」と「伝説／通常」の関係性が独立かを検定
→ クロス表を作り、観測度数と期待度数を比較

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2-3. 回帰分析1（単回帰）

目的：「すばやさ」から「とくこう」を予測
モデル：

$$
\hat{y} = a + bx
$$

---

2-4. 回帰分析2（重回帰）

目的：「HP」「こうげき」「ぼうぎょ」から「合計種族値」を予測
モデル：

$$
\hat{y} = a + b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3
$$

---

2-5. 一元配置分散分析（One-Way ANOVA）

目的：「タイプ別」で「とくこう」平均に差があるか
→ 群間分散と群内分散の比（F値）を計算して検定

---

2-6. 二元配置分散分析（Two-Way ANOVA）

目的：「タイプ × 伝説か否か」の2要因の効果と交互作用を見る
→ 両方の主効果＋交互作用を同時に検定

---

■ 推定・検定に関する式

項目	式	意味・用途
信頼区間（母平均）	$\bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$	母平均の区間推定（正規近似）
信頼区間（母比率）	$\hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	母比率の区間推定
標準誤差（SE）	$\frac{s}{\sqrt{n}}$	平均の誤差の大きさを表す
t検定（対応なし）	$\displaystyle t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$	2群の平均の差の有意性検定
Welchのt検定	上と同じ（ただし自由度を近似計算）	等分散性がないときの2群t検定
z検定	$\displaystyle z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$	母分散既知のときの平均の検定
カイ二乗検定（適合度）	$\displaystyle \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$	観測値と理論値の適合度を検定
カイ二乗検定（独立性）	同上（クロス表での検定）	2つのカテゴリ変数の独立性を検証
F検定	$\displaystyle F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$	2群の分散が等しいかを検定
ANOVA（分散分析）F値	$\displaystyle F = \frac{MSA}{MSE} = \frac{SSA/df_A}{SSE/df_E}$	群間分散と群内分散の比

---

■ 回帰分析関連の式

項目	式	意味・用途
単回帰モデル	$\hat{y} = a + bx$	xからyを予測する最小二乗線形モデル
重回帰モデル	$\hat{y} = a + b_1x_1 + b_2x_2 + \cdots + b_kx_k$	複数の変数からyを予測
回帰係数（b）	$\displaystyle b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$	傾きの推定値
決定係数（R²）	$\displaystyle R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{total}}}$	回帰モデルがどれだけ説明できたか
残差（e）	$e_i = y_i - \hat{y}_i$	予測値と実測値の差

---

■ 相関・分布に関する式

項目	式	意味・用途
相関係数（ピアソン）	$\displaystyle r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \sum(y_i - \bar{y})^2}}$	xとyの線形関係の強さ
Spearman順位相関	$\displaystyle \rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}$	順位ベースの相関（ノンパラ用）
標準化（Zスコア）	$\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$	正規分布での相対位置を表す

---

■ 確率分布に関する式（代表例）

分布	式	意味・用途
二項分布	$\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	成功確率pの試行がk回成功
ポアソン分布	$\displaystyle P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$	単位時間内の発生回数
正規分布（PDF）	$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$	平均μ、分散σ²の正規分布の密度関数
ガンマ分布	$\displaystyle f(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$	正の連続変数に対する分布

---

■ 効果量・検出力・サンプリングに関する式

項目	式	意味・用途
効果量（Cohen’s d）	(\displaystyle d = \frac{	\bar{x}_1 - \bar{x}_2	}{s_p})	2群平均の差の実質的影響の大きさ
検出力（Power）	$1 - \beta$	差があるときに正しく検出できる確率
必要サンプル数（比率）	$\displaystyle n = \frac{z^2 \cdot \hat{p}(1 - \hat{p})}{e^2}$	信頼区間の誤差幅eで必要なnを計算

---

---

1. シグマ記号（Σ）：合計を表す演算子

\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n

使う場面：

• 平均 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i$
• 分散 $\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$

---

2. 微分：変化率（傾き）を求める道具

f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x

使う場面：

• 最小二乗法（残差の二乗和を最小化）
• 最尤推定（尤度関数の最大化）

Python例（最小二乗法）：

import numpy as np

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([2, 4, 6])
a = np.sum(x*y) / np.sum(x**2)  # y = ax

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3. 積分：確率密度の下の「面積」

\int_a^b f(x) dx = P(a \le X \le b)

使う場面：

• 正規分布の確率計算
• 連続型確率変数の期待値

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4. 指数・累乗・平方根

• 指数：$a^x$ → 成長モデル、指数分布、対数変換で使う
• 累乗根：$\sqrt{x}$ → 標準偏差 $\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$

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5. 対数（log）

• 自然対数 $\ln(x)$ は、微分しやすく、尤度関数で頻出
• ロジスティック回帰では「オッズの対数」を使う

\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = b_0 + b_1 x

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6. 標本分散の定義と不偏性

標本分散（不偏分散）：

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2

なぜ $n-1$？

→ 標本平均 $\bar{x}$ を使ってしまった時点で、自由に選べるデータは $n-1$ 個。

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7. 自由度（degrees of freedom）

定義：
「制約を除いた後に自由に動かせる変数の数」

登場する場面：

• $t$分布や$\chi^2$分布の自由度
• 回帰分析の残差の自由度 $n - p$

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■ 時系列データとは（ポケモン例）

ポケモンセンターの月別売上、毎月のポケモンカード販売数、ゲーム内イベントの参加者数など、「時間の流れに沿って記録されたデータ」のことを指します。

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■ 時系列変動の3要素（ポケモンの例）

種類	説明	ポケモンの例
傾向変動	長期的な増加・減少	ポケモンカード全体の売上が年々増加している傾向
季節変動	毎年繰り返されるパターン	夏休み・冬休み期間中に「イベント参加者」や「ゲームログイン数」が増加
不規則変動	偶発的な要因による変動	突然の人気キャラ登場（例：新作御三家発表）やプロモカード配布による売上急増

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■ 移動平均（ポケモン売上の傾向を滑らかにする）

たとえば、ポケモンカード月別売上の3か月移動平均：

月	売上（万円）	移動平均
1月	120	―
2月	130	―
3月	140	(120+130+140)/3 = 130
4月	160	(130+140+160)/3 = 143.3
…	…	…

目的： 急なイベント効果をならし、長期的な人気傾向を見る。

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■ コレログラム（自己相関）とポケモン

例：月別「ミュウ」関連商品の売上

• ラグ1（1ヶ月ずらし）：直前月との関連
• ラグ12（1年ずらし）：前年同月との関連 → 季節限定イベントの影響確認に使える

アイスクリーム＝夏、灯油＝冬のように
→ ポケモン：伝説イベントや映画公開時期と売上が強く相関する場合がある

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■ 変化率（売上やプレイヤー数の成長を測る）

例：前年4月と今年4月のポケモンカード売上比較

[
\text{変化率} = \frac{\text{今年の売上} - \text{去年の売上}}{\text{去年の売上}} \times 100
]

例：去年＝1000万円、今年＝1200万円
→ 変化率 = ((1200 - 1000)/1000 \times 100 = 20%)

平均変化率（3年かけて伸びた場合）

[
r = \left( \frac{売上_{\text{最終年}}}{売上_{\text{初年度}}} \right)^{1/n} - 1
]

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■ ラスパイレス指数・パーシェ指数（ポケモングッズ価格の比較）

例：ポケモングッズ（ピカチュウTシャツ・イーブイキーホルダー）の価格と売上数量

商品	基準年価格	基準年数量	比較年価格	比較年数量
ピカチュウT	3000円	100個	3300円	120個
イーブイキー	1000円	200個	1100円	180個

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● ラスパイレス指数（基準年数量で物価変動を測る）

[
\frac{3300 \times 100 + 1100 \times 200}{3000 \times 100 + 1000 \times 200} \times 100
= \frac{(330000 + 220000)}{(300000 + 200000)} \times 100 = \frac{550000}{500000} \times 100 = 110
]

→ 物価上昇率は10%

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● パーシェ指数（比較年数量で測る）

[
\frac{3300 \times 120 + 1100 \times 180}{3000 \times 120 + 1000 \times 180} \times 100
= \frac{(396000 + 198000)}{(360000 + 180000)} \times 100 = \frac{594000}{540000} \times 100 = 110
]

※この例では結果同じだが、実際はズレが出ることもある。

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まとめ

概念	ポケモンの例
時系列変動	売上、ログイン数、イベント参加数
移動平均	売上の平滑化
コレログラム	イベント効果の周期確認
変化率	売上成長率・人口推移など
指数	グッズ価格変化の物価指数化

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